Qual a probabilidade de que no lançamento de dois dados conseguirmos uma soma igual a 4?

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• Qual a probabilidade de no lançamento simultâneo de dois dados sair o número 4 em ambos?
• Qual e a probabilidade de obtermos um número maior que 4?
• Qual e a probabilidade de que a soma de dois dados lançados tenha resultado igual a 8?
• Qual a probabilidade do lançamento de dois dados?

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VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O LANÇAMENTO DE DOIS DADOS NO QUAL O EVENTO A SIGNIFIQUE UMA SOMA DAS FACES DELES IGUAL A 6 E O
EVENTO B, UM RESULTADO PAR APRESENTADO POR AMBOS. QUAL É A PROBABILIDADE DE A SOMA DAS FACES SER IGUAL A 6
DADO QUE OS NÚMEROS SÃO PARES?
A) 1/6
B) 2/3
C) 2/9
D) 1/2
E) 1/12
2. (UFRJ − PROBEST − P1/2013) PARA SER CAMPEÃO DE UM TORNEIO DE TÊNIS, UM JOGADOR PRECISA VENCER QUATRO
PARTIDAS SUCESSIVAS (TODAS ELAS ELIMINATÓRIAS). JOSÉ É UM DOS PARTICIPANTES. SUAS PROBABILIDADES DE VITÓRIA
EM CADA PARTIDA (CASO ELE NÃO TENHA SIDO ELIMINADO ATÉ ENTÃO) FORAM ESTIMADAS: 80% NA 1ª PARTIDA, 70% NA 2ª,
60% NA 3ª (SEMIFINAL) E 50% NA 4ª (FINAL). OBSERVE QUE ELAS INDEPENDEM DE QUEM SEJA O SEU ADVERSÁRIO EM CADA
PARTIDA.
CALCULE A PROBABILIDADE DE JOSÉ CONSEGUIR CHEGAR A UMA SEMIFINAL DADO QUE ELE NÃO SERÁ O CAMPEÃO.
A) 0,392
B) 0,3
C) 0,832
D) 0,6
E) 0,471
GABARITO
1. Considere o lançamento de dois dados no qual o evento A signifique uma soma das faces deles igual a 6 e o evento B, um
resultado par apresentado por ambos. Qual é a probabilidade de a soma das faces ser igual a 6 dado que os números são pares?
A alternativa "C " está correta.
Para cada dado, existem seis possibilidades de resultado. Como temos dois dados, elas são 36, uma vez que, para cada possibilidade do
primeiro, há seis possibilidades do segundo.
Para encontrarmos P(A), precisaremos obter as combinações que somam seis:
(5,1); (4,2); (3,3); (2,4); (1;5)
Ou seja, P(A)=5/36.
As possíveis combinações nas quais os dois dados dão um resultado par estão expressas a seguir:
(6,6); (6,4); (6,2); (4,6); (4,4); (4,2); (2,6); (2,4); (2,2)
Ou seja, são nove eventos. Assim, P(B) = 9/36.
Temos apenas duas opções que atendem simultaneamente aos dois requisitos: (2,4) e (4,2). Assim, P(A∩B) = 2/36.
Desse modo:
P(A|B) = P(A∩B)P(B) = 236936=236·369 = 29
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2. (UFRJ − Probest − P1/2013) Para ser campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas (todas
elas eliminatórias). José é um dos participantes. Suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado
até então) foram estimadas: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª, 60% na 3ª (semifinal) e 50% na 4ª (final). Observe que elas independem de
quem seja o seu adversário em cada partida.
Calcule a probabilidade de José conseguir chegar a uma semifinal dado que ele não será o campeão.
A alternativa "E " está correta.
Consideremos o evento de José perder na primeira partida denotado por P1. A probabilidade de derrota nessa partida é o evento complementar
a ele ganhar.
Assim:
P(P1) =1 - 0,8 = 0,2
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De forma análoga, podemos calcular a probabilidade de ele perder na segunda partida:
P(P2) = P(P1C)·(1- PROB. DE VENCER 2ª PARTIDA) = 0,8·0,3 = 0,24
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Na terceira partida, a probabilidade de derrota é a de ele ganhar na 1ª partida vezes a de ele ganhar na 2ª multiplicada pela probabilidade de
perder na terceira.
Com isso, vemos que:
P(P3) = P(P1C)·P(P2C)·(1- PROB DE VENCER 3ª PARTIDA) = 0,8·0,7·0,4=0,224 
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De forma análoga, a probabilidade de ele perder na final é calculada por:
P(P4) = P(P1C)·P(P2C)·P(P3C)·(1- PROB DE VENCER 4ª PARTIDA) = 0,8·0,7·0,6·0,5 =0,168
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Desse modo, a probabilidade de José ser campeão, P(C), é 0,168. Com isso, a de ele chegar à semifinal, dado que ele não é campeão, é dada
por esta fórmula:
P(S|CC) = P(S∩CC)P(CC)
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Sabemos que:
P(CC) = 1 - 0,168 = 0,832
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Também sabemos que:
S∩CC={P3, P4} E P(S∩CC) = P(P3) + P(P4) = 0,392
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Fazendo a substituição, chegamos a:
P(S|CC) = 0,3920,832≈0,471
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MÓDULO 2
 Examinar o conceito de independência
INDEPENDÊNCIA
Em probabilidade, dizemos que dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de outro ocorrer.
Podemos escrever que o evento A é independente do evento B da seguinte maneira:
P ( A | B ) = P ( A )
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Em algumas ocasiões, o conhecimento sobre a ocorrência de um evento não muda a probabilidade de um outro — esse é o conceito de
independência estatística.
 
Fonte: William Potter/Shutterstock
Intuitivamente, se tudo o que queremos saber é se A acontece ou não, informações sobre o evento B não vão nos ajudar em nada. Afinal,
mesmo que tenhamos a certeza de que este acontece, a probabilidade daquele não muda.
EVENTOS INDEPENDENTES
Neste vídeo, um especialista vai mostrar, a partir da definição de probabilidade condicional, como podemos concluir que dois eventos são
independentes se – e somente se – P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) = P ( B ) .
Se A e B são independentes, também o são AC e B, A e BC e AC e BC.
Lembre-se de que dois exemplos mutuamente exclusivos (ou disjuntos) não são independentes.
O QUE SÃO EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS?
RESPOSTA
RESPOSTA
São eventos em que a ocorrência de um deles impede a do outro. Por isso, eventos desse tipo são aqueles que não possuem pontos
em comum. Ou seja, A ∩ B =∅, o que implica que P ( A ∩ B ) = 0 . .
A partir da lei da multiplicação, vemos que:
P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) · P ( B )
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Pela definição de independência vimos que se A e B são independentes, segue que:
P ( A | B ) = P ( A )
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Supondo que A e B sejam independentes, poderíamos substituir P ( A | B ) por P ( A ) na lei da multiplicação, obtendo a seguinte fórmula:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) · P ( B )
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Portanto, dois eventos serão independentes caso a interseção deles seja igual ao produto de suas probabilidades. No caso de três eventos,
eles serão independentes se (e somente se) forem cumpridas as seguintes etapas:
P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) · P ( B ) · P ( C )
P ( A ∩ B ) = P ( A ) · P ( B )
P ( A ∩ C ) = P ( A ) · P ( C )
P ( B ∩ C ) = P ( B ) · P ( C )
Ou seja, é preciso que os eventos também sejam independentes dois a dois.
 EXEMPLO
Considere o lançamento de um dado em que A seja o evento em que a face é par e B, o evento em que a face é maior do que 3. Os eventos A
e B, neste caso, não são independentes, pois P ( A | B ) ≠ P ( A ) .
MÃO NA MASSA
1. SUPONHA DOIS EVENTOS A E B TAIS QUE P(A) = 0,3 E P(A∪B) = 0,5. DETERMINE O VALOR DE P(B) CONSIDERANDO QUE A E B
SÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS:
A) 0,15
B) 0,3
C) 0,8
D) 0,12
E) 0,25
2. HÁ DOIS EVENTOS A E B TAIS QUE P(A) = 0,3 E P(A∪B) = 0,5. DETERMINE O VALOR DE P(B) CONSIDERANDO QUE A E B SÃO
INDEPENDENTES:
A) 1/5
B) 1/3
C) 3/20
D) 2/7
E) 1/2
3. SUPONHA QUE A E B SEJAM EVENTOS INDEPENDENTES. OBSERVE AS AFIRMATIVAS ABAIXO E ASSINALE A ALTERNATIVA
INCORRETA:
A) P(A|B) = P(A)
B) AC e B também são eventos independentes.
C) A e BC também são eventos independentes.
D) AC e BC não são independentes.
E) P(A∩B) = P(A)·P(B)
4. IMAGINE DOIS EVENTOS A1 E A2 INDEPENDENTES CUJAS PROBABILIDADES SEJAM RESPECTIVAMENTE 0,1 E 0,2. QUAL É A
PROBABILIDADE DE QUE NENHUM DELES OCORRA?
A) 0,02
B) 0,98
C) 0,8
D) 0,3
E) 0,7
5 (ANPEC − 2015) DOIS NÚMEROS X E Y SÃO SELECIONADOS DE FORMA ALEATÓRIA ENTRE 0 E 1. A PARTIR DAÍ, DOIS EVENTOS
INDEPENDENTES SÃO DEFINIDOS DA SEGUINTE FORMA:

Qual a probabilidade de no lançamento simultâneo de dois dados sair o número 4 em ambos?

Qual e a probabilidade de obtermos um número maior que 4?

Qual e a probabilidade de que a soma de dois dados lançados tenha resultado igual a 8?

Qual a probabilidade do lançamento de dois dados?