Quais são os subconjuntos de 1 2 3 4?

P rimeiro vou começar por explicar a definição de conjunto. Antes das crianças aprenderem a contar, elas aprendem a agrupar objetos. Não interessa que tipo de agrupamento estão a formar, podem juntar seis lápis, ou agrupar quatro canetas, é indiferente. Quer no caso dos lápis, quer no caso das canetas, as crianças sem conhecerem ainda a Teoria dos Conjuntos, acabaram de formar dois conjuntos, o primeiro com 6 elementos e o segundo com 4 elementos.

Já percebi o que é um conjunto, mas quantos subconjuntos posso formar?

Calma, já lá vamos, antes de mais, deixem-me esclarecer que um subconjunto é um conjunto que está contido noutro conjunto. Posto isto, vamos supor que temos 3 frutas, banana, laranja e morango, que naturalmente formam um conjunto que podemos designar da seguinte forma: Frutos = {banana, laranja, morango}. A partir deste conjunto posso formar 3 conjuntos só com um elemento, ou seja, {banana}, {laranja} e {morango}. Posso ainda formar outros 3 conjuntos com dois elementos, isto é, {banana, laranja}, {laranja e morango} e {banana, morango}. Mas ainda não terminamos, uma vez que é possível formar um conjunto com todos os elementos {banana, laranja e morango} e por último, ainda é possível formar um conjunto vazio, representado desta forma: { }. Fazendo a contagem, a partir de um conjunto com 3 elementos foi possível formar 8 subconjuntos diferentes.

Mas, não há nenhum modo mais fácil, sem estar a contar manualmente?

Sim, felizmente existe uma fórmula que nos dá imediatamente o número de subconjuntos presente num conjunto. Vamos supor que a letra `n` representa o número de elementos do conjunto, então para calcular o número de subconjuntos basta fazer `2^n`. No exemplo dos três tipos de frutos ficaria `2^3=8`. Na imagem acima temos um conjunto designado por `A` que contém 8 pessoas. Neste caso, é possível formar 256 subconjuntos diferentes, uma vez que `2^8=256`. Que trabalheira seria contar isto manualmente!

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Gostarias de referir este texto num trabalho escolar?

NUNES, Vitor F. R. "Quantos subconjuntos existem num conjunto?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/subconjunto-conjunto.php, acedido em 20 de Outubro de 2022.

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Foram feitos 4 comentários/dúvidas.

28 de Outubro de 2019, 18h44

Mensagem de Breno Mesquita Costa Cavalcant

Boa tarde, estou em dúvida nessa questão, pois coloquei uma resposta e o gabarito mostra que são 14. "Considere o conjunto A={12, 17, 19, 23}. Sobre o número de subconjuntos não vazios de A, com três ou menos elementos, assinale a alternativa correta.". Desde já agradeço.

29 de Outubro de 2019, 12h24

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Breno,
Repara que o conjunto `A` possui 4 elementos (é indiferente se são números ou outro objeto qualquer). Para poder contar quantos subconjuntos com 3 ou menos elementos é possível formar, vamos contar quantos subconjuntos com 1 elemento, com 2 elementos e com 3 elementos é que conseguimos formar, no final é só somar tudo. Para fazer a contabilização, vamos utilizar combinações, uma vez que a ordem não interessa. Número de subconjuntos com 1 elemento: `text()^4C_1=4`; número de subconjuntos com 2 elementos: `text()^4C_2=6`; número de subconjuntos com 3 elementos: `text()^4C_3=4`; total de subconjuntos não vazios: `4+6+4=14`. Também podemos chegar ao resultado final através de um outro processo, que consiste em contar o total de subconjuntos que é possível formar: `2^4=16`. Por fim, vamos subtrair o conjunto vazio e o conjunto que contém os 4 elementos, ou seja, `16-2=14`. Espero que tenha ficado claro.

10 de Setembro de 2021, 14h59

Mensagem de Bruna

Gostaria de saber como posso deduzir essa fórmula que você usou (2^n)? Desde já agradeço!

10 de Setembro de 2021, 19h28

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Bruna,
A dedução dessa fórmula é relativamente simples. Imagine que possui `n` elementos. Agora imagine um conjunto, por agora vazio, onde vai colocar esses elementos. Para cada elemento tem duas escolhas possíveis: está presente no conjunto ou não está presente. Multiplicando essas duas escolhas possíveis por cada um dos elementos, vamos obter o número de conjuntos que é possível formar: `2^n`

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