NUNCA MAIS PASSE RAIVA POR NÃO CONSEGUIR RESOLVER UM PROBLEMA COM O EXCEL - GARANTIDO! UNIVERSIDADE DO VBA - Domine o VBA no Excel Criando Sistemas Completos - Passo a Passo - CLIQUE AQUI Matemática para Concursos– 46ª ParteEstes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste tutorial serão tratados assuntos sobre progressões aritméticas, suas principais formas de resolução, exemplos práticos resolvidos, bem como definições sobre o tema. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS - II* Definição No tutorial anterior, foi visto que progressão aritmética é uma sucessão de termos, tais que a diferença entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é chamada de razão (r). Para relembrar o que é o termo PA :  Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta soma indicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética. * Propriedades de uma PA Iremos abordar agora, as propriedades de uma progressão aritmética, onde é possível através destas resolver várias questões de PA. - 1ª Propriedade Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, é média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente. Desta forma na P.A. abaixo temos : (a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an ...) Ex.: a) P.A = (1,3,5,7,9,11) Temos: 5 = 7 + 3 7 = 5 + 9 2 2 b) P.A = (2,4,6,8,10,12) Temos: 6 = 4 + 8 10 = 12 + 8 2 2 - 2ª Propriedade Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Desta forma na P.A. abaixo temos : (a1, a2, a3, ..., ai, ...ak, ... an-2, an-1, an) P termos P termos Ex.: a) Se em uma P.A. n = 27, então, podemos afirmar que os termos “a7” e “a31”, são eqüidistantes dos extremos, pois: 7 + 31 = 31 + 7 b) 1,2,3,...98, 99, 100. Logo: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100 c) 1,2,3,...88,89,90. Logo: 2 + 89 = 3 + 88 = ... = 1 + 90 - 3ª Propriedade Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a média aritmética dos extremos. Assim, na P.A. (com número ímpar) (a1, a2, ..., ai, ...ak, ... an-1, an) P termo P termo Conclui-se que: Ex.: a) 3, 5, 7, 9, 11, 7 = 3 + 11 2 b) 15,17,19,21,23 19 = 15 + 23 2 * Soma de uma Progressão Aritmética (P.A.) A soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos. Ex.: Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...) Sn = (a1 + an)N 2 S20 = (a1 + a20)20 2 a20 = ?? a20 = a1 + 19r = a20 = 2 + 19r = a20 = 2 + 19.(3) = ---> a20 = 2 + 57 = 59 S20 = (a1 + a20)20 = ---> S20 = (2 + 59)20 2 2 S20 = 61 . 20 = 1.220 = ---> S20 = 610 2 2 * Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.) Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.A. de n = k + 2 termos onde a1 e an são os extremos. Como a1 é sempre dado, basta determinar a razão (r). Ex.: a) Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38 3, ____,____,____,_____,38 a1 = 3 an = 38 n = 6 r = ? an = a1 + (n – 1)r ---> Resolvendo r = 7 Resposta: 3, 10, 17, 24,31,38 * Exercícios para fixação de conteúdo Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teorias juntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possa treinar os fundamentos. a) Determinar o valor de x, de modo que os números (x + 4)2, (x – 1)2 e (x + 2)2 estejam, nessa ordem, em uma P.A. Resolvendo: P.A. [(x + 4)2, (x - 1)2, (x + 2)2] Sendo: a1 = (x + 4)2 | a2 = (x - 1)2 | a3 = (x + 2)2 Onde : a2 – a1 = a3 – a2 ---> (x - 1)2 - (x + 4)2 = (x + 2)2 - (x - 1)2 ----> (x2 – 2x + 1) – (x2 + 8x + 16) = (x2 + 4x + 4) – (x2 – 2x + 1) = ----> -2x – 8x + 1 - 16 = 4x + 2x + 4 – 1 = ---> -10x - 15 = 6x + 3 = ----> -10x – 6x = 3 + 15 = -16x = 18 ---> 16x = -18 ----> x = -18/16 ---> x = -9/8 b) Encontrar o termo geral da P.A. (4,7,...) Resolvendo: Dados do problema: a1 = 4 r = 7 – 4 = 3 n = n an = a1 + (n – 1)r an = 4 + (n – 1)3 an = 4 + 3n – 3 an = 3n + 1 Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos. Até a próxima. Confira todos os artigos de Matemática para Concursos:
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O valor de x de modo que os números 3x – 1 x + 3 e x + 9 estejam nessa ordem em pa é
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