Equações diferenciais lineares de primeira ordem exercícios Resolvidos

Uma EDO linear de primeira ordem tem o seguinte formato:

$$y'+P(x)y=Q(x)$$

Chamaremos a forma acima de "forma padrão" da equação (o $$Q(x)$$ é uma expressão na qual o símbolo $$y$$ não aparece). Quando vamos resolver uma EDO desta natureza, devemos identificar quem é $$P(x)$$ (usando manipulações algébricas) em em seguida determinar o chamado "fator integrante" que indicaremos por $$I(x)$$ e é dado por

$$I(x)=e^{\int P(x)\;dx}$$

O resto do procedimento, fica ilustrado na solução abaixo.

Exercício: Resolva a seguinte equações linear de primeira ordem:

$$y'=x+5y$$

Solução: comece escrevendo a equação na forma padrão:

Identifique a função $$P$$:

Calcule a integral de $$P(x)$$:

$$\int P(x)\; dx=\int -5 \; dx = -5x$$

Determine o fator integrante:

$$I(x)=e^{\int P(x)\;dx}=e^{-5x}$$

Multiplique ambos os lados da equação (na forma padrão) pelo fator integrante e reescreva a igualdade:

$$(y'+(-5)y)e^{-5x}=xe^{-5x}$$

$$(y'-5y)e^{-5x}=xe^{-5x}$$

$$y'e^{-5x}-5ye^{-5x}=xe^{-5x}$$

$$y'\cdot e^{-5x}+y\cdot (-5e^{-5x})=xe^{-5x}$$

Use a regra do produto "de trás para frente" no lado esquerdo para obter:

$$\frac{d}{dx}[ye^{-5x}]=xe^{-5x}\;\;\;\;\;(*)$$

Observação:

a regra do produto diz que 

$$\frac{d}{dx}[uv] = u'v + uv'$$

Quando estamos resolvendo EDO's lineares de primeira ordem, geralmente utilizamos esta igualdade lendo-a da direita para a esquerda, ou seja, usamos que 

$$u'v + uv' = \frac{d}{dx}[uv]$$

No caso acima, $$u = y$$ e $$v = e^{-5x}$$.

Prosseguindo com a solução, integre ambos os lados da expressão $$(*)$$:

$$\int \frac{d}{dx}[ye^{-5x}]\;dx=\int xe^{-5x}$$

No primeiro membro sobrará apenas a função (isto é, o operador diferencial "desaparecerá") em virtude de que a integral e a derivada são operações inversas (no sentido do TFC). Logo, obtemos

$$ye^{-5x}=\int xe^{-5x}\;dx$$

Utilizando integração por partes no segundo membro obteremos

$$ye^{-5x}=-\frac{1}{5}xe^{-5x}-\frac{e^{-5x}}{25}+C$$

Simplifique o resultado (para tanto, "passe $$e^{-5x}$$ dividindo"):

$$y=-\frac{1}{5}x-\frac{1}{25}+Ce^{5x}$$

Referência: primeiro volume do livro de cálculo de James Stewart.
Erros podem ser relatados aqui.

— 1. Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais —

Abordamos alguns conceitos básicos sobre equações diferencias, agora vamos resolver alguns exercícios relacionados ao assunto.

Exercício 1.Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.

1. 
   Solução:Da função obtemos:

   Substituindo as derivadas na equação teremos:

2. 
   Solução:Da função obtemos:

   Substituindo a derivada de segunda ordem na ED teremos:

Exercício 2.Comprove que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada

Encontre pelo menos uma solução explicita

Solução:escrevendo e derivando, teremos:

Para acharmos a solução explicita temos que isolar x na solução implícita fazendo:

A solução explicita será:

Exercício 3.Verifique se a família de funções dada é uma solução da equação diferencial.

1. 
   Solução:Derivando a função obtemos: substituindo a derivada na equação diferencial teremos:

2. 
   Solução:Derivando a função teremos:

   substituindo as derivadas na equação diferencial teremos:

Exercício 4:A função é uma família de soluções da ED de primeira ordem Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e na condição inicial

Solução:substituindo as condições iniciais na função, teremos:

Determinando valor de teremos:

Substituindo o valor de na função teremos:

Exercício 5:A função é uma família de soluções da ED de segunda ordem Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e nas seguintes condições iniciais:

Solução:determinando a primeira derivada da função temos:

substituindo as condições iniciais na função e na primeira derivada temos:

Determinando valor de e teremos: e

Substituindo o valor de e na função teremos:

Exercício 6.Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto na região.

Solução:Pelo Teorema de Picard temos:

Derivando a função temos: assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde

Exercício 7.Verifique se o Teorema de Picard garante unicidade de solução para a equação diferencial passando pelo ponto dado:

1. (1,4)
2. (5,3)

Solução:Pelo Teorema de Picard temos que:

Derivando a função temos: assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde então:

1. a equação diferencial tem uma única solução no ponto (1,4).
2. a equação diferencial não garante uma única solução no ponto (5,3).

O que é uma equação diferencial linear de primeira ordem?

Como determinar a ordem da equação diferencial?

O que é uma solução de EDO?