Z = {... , � 4, � 3, � 2, �1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } Show � trivial entender que o conjunto dos n�meros naturais N � um subconjunto do conjunto dos n�meros inteiros Z, ou seja: N � Z. Define-se o m�dulo de um n�mero inteiro como sendo o n�mero sem o seu sinal alg�brico. Assim � que , representando-se o m�dulo de um n�mero inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:| �7 | = 7; | � 32 | = 32; | 0 | = 0; etc O m�dulo de um n�mero inteiro �, ent�o, sempre positivo ou nulo. Chama-se oposto (ou sim�trico aditivo) de um n�mero inteiro a ao n�mero � a. Propriedades dos n�meros inteiros:1 � Todo n�mero inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. Exemplos: suc(� 3) = � 3 + 1 = - 2; suc(3) = 3 + 1 = 4. 2 � Dados dois n�meros inteiros m e n, ocorrer� uma e somente uma das condi��es : Nota: �s vezes teremos que recorrer aos s�mbolos � ou � os quais possuem a seguinte leitura: Assim por exemplo, x � 3, significa que x poder� assumir em Z os valores J� x < 3, ter�amos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ... � �bvio que o zero � maior do que qualquer n�mero negativo ou na sua forma equivalente, qualquer n�mero negativo � menor do que zero. ... �10, � 9, � 8, � 7, � 6, � 5, � 4, � 3, � 2, � 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... 1 � Adi��o: a + b = a mais b.A adi��o de dois n�meros inteiros obedece �s seguintes regras: a ) n�meros de mesmo sinal : somam-se os m�dulos e conserva-se o sinal comum. Exemplos: b) n�meros de sinais opostos: subtraem-se os m�dulos e conserva-se o sinal do maior em m�dulo. Exemplos: (-3) + (+7) = + 4 Propriedades: Dados os n�meros inteiros a, b e c, s�o v�lidas as seguintes propriedades: 1.1 � Fechamento: a soma de dois n�meros inteiros � sempre um n�mero inteiro. Diz-se ent�o que o conjunto Z dos n�meros inteiros � fechado em rela��o � adi��o. 1.2 � Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c 1.3 � Comutativa: a + b = b + a 1.4 � Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero � o elemento neutro da adi��o. 1.5 � Un�voca: o resultado da adi��o de dois n�meros inteiros � �nico. 1.6 � Monot�nica: Uma desigualdade n�o se altera, se somarmos um mesmo n�mero inteiro a ambos os membros, ou seja, se a > b ent�o a + c > b + c. 2 � Subtra��o: Observa-se que a subtra��o (diferen�a) � uma opera��o inversa da adi��o. A subtra��o de dois n�meros inteiros ser� feita de acordo com a seguinte regra: a � b = a + (-b) Exemplos: 10 � (-3) = 10 + (+3) = 13 3 � Multiplica��o: � um caso particular da adi��o (soma), pois somando-se um
n�mero inteiro a si pr�prio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n A multiplica��o de n�meros inteiros, dar-se-� segundo a seguinte regra de sinais: (+) x (+) = + (+) x (-) = - (-) x (+) = - (-) x (-) = + Apresentaremos uma justificativa para a regra acima, mais adiante neste cap�tulo, ou seja, o porqu� de MENOS x MENOS ser MAIS! Exemplos: (-3) x (-4) = +12 = 12 Dados os n�meros inteiros a, b e c, s�o v�lidas as seguintes propriedades: 3.1 � Fechamento: a multiplica��o de dois n�meros inteiros � sempre outro n�mero inteiro. Dizemos ent�o que o conjunto Z dos n�meros inteiros � fechado em rela��o � opera��o de multiplica��o. 3.2 � Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c 3.3 � Comutativa: a x b = b x a 3.4 � Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O n�mero 1 � o elemento neutro da multiplica��o. 3.5 � Un�voca: o resultado da multiplica��o de dois n�meros inteiros � �nico. 3.6 � Uma desigualdade n�o se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo n�mero inteiro positivo, ou seja, se a > b ent�o a .c > b . c3.7 - Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo 3.8 � Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c). A
propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, atrav�s de um exemplo, para o fato do produto de dois n�meros negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir: [(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30 .4 � Potencia��o: � um caso particular da multiplica��o, onde os fatores s�o iguais. Assim � que multiplicando-se um n�mero inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que ser� indicado pelo s�mbolo a n , onde a ser� denominado base e n expoente. Assim � que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc. Com base nas regras de multiplica��o de n�meros inteiros, � f�cil concluir que: a) Toda potencia de base negativa e expoente par n�o nulo, tem como resultado um n�mero positivo. Exemplos: (-2)4 = +16 = 16 b) Toda potencia de base negativa e expoente �mpar, tem como resultado um n�mero negativo. Exemplos: (-2)3 = - 8 5 � Divis�o: O conjunto Z dos n�meros inteiros n�o � fechado em rela��o � divis�o, pois o quociente de dois n�meros inteiros nem sempre � um inteiro. A divis�o de n�meros inteiros, no que concerne � regra de sinais, obedece �s mesmas regras vistas para a multiplica��o, ou seja: (+) : (+) = + (+) : (-) = - (-) : (+) = - (-) : (-) = + Exemplos: (�10) : (� 2) = + 5 =
5 Para finalizar, vamos mostrar duas regras de elimina��o de par�ntesis ( ), que poder�o ser bastante �teis: R1) Todo par�ntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores. Exemplo: + (3 + 5 � 7) = 3 + 5 � 7 = 1 R2) Todo par�ntese precedido do sinal � pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das parcelas interiores. Exemplos: � (3 + 4 � 7) = � 3 � 4 + 7 = 0 Exerc�cios resolvidos 1 � A temperatura de um corpo variou de � 20� C para 20� C. Qual a varia��o total da temperatura do corpo? Solu��o: Sendo DT a varia��o total da temperatura, vem: 2 � Um ve�culo movendo-se a uma velocidade de 20 m/s, parou ap�s 50 m. Qual a varia��o da velocidade at� o ve�culo parar? Solu��o: Sendo Dv a varia��o total da velocidade, vem: Paulo Marques, Feira de Santana � BA � 30 de dezembro de 2001. É verdade que há sempre um número inteiro entre dois números inteiros?Não é possível localizar um número inteiro entre dois números inteiros consecutivos, pois os inteiros estão em ordem crescente e entre um e outro há outros números, mas nenhum inteiro. Exemplo: -2 e o -1 (impossível um número inteiro entre eles.)
Qual é a diferença entre dois números inteiros?Entendemos que a subtração é a operação inversa da adição. Por exemplo, quando dizemos que o resultado de 7 – 3 = 4, queremos dizer que a diferença entre 7 e 3 é 4 e também que 3 + 4 = 7. Para contas mais simples, é possível calcular a subtração de forma direta: 9 – 7 = 2, pois 2 + 7 = 9.
É verdade que todo número é inteiro?Observe que todo número natural é inteiro, mas nem todo número inteiro é natural. Dizemos que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
Quando um número é considerado inteiro?Um número é considerado inteiro quando não apresenta casas decimais, ou seja, números após uma vírgula. Pertencem a esse conjunto os números inteiros positivos, inteiros negativos e o zero.
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