O cálculo de áreas na geometria está presente em diversas situações cotidianas. As unidades mais utilizadas na especificação de áreas são o metro quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²) e o centímetro quadrado (cm²). Determinar a área de uma figura significa medir o tamanho de sua superfície, utilizando as medidas de suas dimensões: comprimento e largura. Show Na geometria, cada figura regular está associada a uma expressão matemática capaz de determinar a medida de sua superfície. Mas em alguns casos, a determinação da área deve ser calculada utilizando duas ou mais expressões. Esse tipo de cálculo exige uma interpretação espacial da figura, diagnosticando o tipo de expressão que será usado no cálculo da área. Exemplo 1  Resolução Área do quadrado é dada pela expressão: A = l² O raio da circunferência é igual a 4 metros, dessa forma seu diâmetro vale 8. A medida do lado do quadrado será correspondente ao diâmetro da circunferência, medindo 8 metros. Área do quadrado Área da circunferência A área da parte destacada é resultante da subtração entre a área do quadrado e a área da circunferência. Portanto, a área destacada é igual a 13,76 metros quadrados. Exemplo 2 A figura a seguir representa uma peça de cerâmica para revestimento de pisos. Sabemos que a medida do raio de cada circunferência é igual a 10 cm. Determine a área em negrito, após o revestimento de uma sala retangular de dimensões 8m x 12m.
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Área em negrito da cerâmica Sabemos que o raio de cada circunferência mede 10 cm, portanto o diâmetro de cada circunferência medirá 20 cm. Existe uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro da circunferência, observe ilustração: Para determinarmos a área em negrito da cerâmica devemos calcular a área do quadrado e subtrair das áreas das circunferências.
Área do quadrado (cerâmica) Área das circunferências 314 * 4 = 1256 cm² Área em negrito da cerâmica: A = 1600 – 1256 Precisamos calcular a área da sala revestida pela cerâmica, veja: Área da sala = 12 x 8 = 96 m² Cada cerâmica possui 1600 cm² de área, precisamos saber quantas peças serão gastas no
piso da sala. Para isso precisamos dividir a área da sala pela área da cerâmica. Antes da divisão precisamos igualar as unidades de área, 1600 cm² é igual a 0,16 m². Portanto, Agora basta multiplicarmos a área em negrito da cerâmica pelo número de peças que serão gastas no revestimento da sala. 600 * 344 = 206 400 cm² ou 20,64 m² Portanto, após revestida a sala, a área em negrito corresponderá a 20,64 m². Relações métricas em um quadrado inscrito são aquelas encontradas entre as medidas de seus lados, ângulos e outros elementos. Dizemos que um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices. A imagem a seguir mostra um quadrado ABCD de lado l inscrito em uma circunferência de raio r. Nesse caso, o centro da circunferência e seu raio são chamados, respectivamente, de centro do polígono e raio do polígono. Assim, as relações métricas do quadrado inscrito podem depender da circunferência que contém seus lados. 1ª Relação: Os vértices consecutivos do quadrado inscrito determinam ângulos centrais retos. Existe uma propriedade que garante que as diagonais de um quadrado são congruentes e encontram-se em seus pontos médios. Sendo assim, a distância entre o ponto de encontro das diagonais O e a circunferência é a mesma. Logo, podemos presumir que o centro do quadrado também é o centro da circunferência, como mostra a figura a seguir: Além disso, existe outra propriedade que garante que as diagonais do quadrado são perpendiculares. Assim, o ângulo entre elas é reto. Logo, ângulos centrais no quadrado inscrito são retos. 2ª Relação: É possível calcular o lado do quadrado inscrito usando a fórmula: l = r√2 Para mostrar isso, usaremos o triângulo APO, cujos lados são o apótema OP relativo ao lado AD, o raio OA e o lado PA, formado a partir da construção do apótema. A imagem a seguir destaca esse triângulo a fim de facilitar a compreensão do problema. Observe que o triângulo AOP é retângulo em P e que a medida de PA é metade do lado do quadrado. Isso acontece porque o apótema é altura do triângulo AOD, que, por sua vez, é isósceles. A altura de um triângulo isósceles também é mediana de sua base. Além disso, note também que o apótema OP e o segmento PA têm o mesmo comprimento. Isso faz com que o triângulo AOP também seja isósceles, fazendo com que os ângulos de sua base sejam iguais. Como o ângulo P é reto, os outros dois ângulos medem 45° cada. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Com isso, temos todas as medidas necessárias para calcular o lado do quadrado. Para facilitar a compreensão, a figura a seguir destaca o triângulo AOP com todas as medidas descritas acima. Para encontrar a medida l do lado do quadrado, podemos usar o cosseno: cos45° =
l/2 Substituindo o valor do cosseno e realizando a divisão de frações do segundo membro, temos: √2 = l · 1 √2 = l l = r√2 Então, o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r é obtido multiplicando r pela raiz de 2. 3ª Relação: É possível encontrar a medida do apótema do quadrado inscrito usando a fórmula: x = r√2 Para mostrar isso, podemos usar quase todo o desenvolvimento da relação anterior. Apenas modificando cosseno de 45° para o seno de 45°. Toda a construção do triângulo AOP (na imagem abaixo) será exatamente igual à construção do triângulo AOP na relação métrica anterior. Sabendo disso, calcule: sen45° = x √2 = x r√2 = x x = r√2 Exemplo: Calcule o apótema e o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Solução: Para calcular o lado, basta usar a primeira fórmula, substituindo r por 10: l = r√2 l = 10√2 l = 10·1,41 O lado do quadrado mede aproximadamente 14,1 cm. Já o apótema é obtido por meio da expressão a seguir, na qual é suficiente substituir a medida do raio: x = r√2 x = 10√2 x = 5√2 x = 7,05 aproximadamente Como calcular a área de um quadrado inscrito?Portanto, a área mínima de um quadrado inscrito em um quadrado de lados com comprimento a é A=a22.
Qual é a área de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio R?Então, o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r é obtido multiplicando r pela raiz de 2.
Qual é a relação entre o raio da circunferência e a diagonal do quadrado?A diagonal do quadrado inscrito na circunferência é o dobro do raio da circunferência.
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Determine a área de um quadrado inscrito Em uma semicircunferência de raio 5cm
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