Observe na figura um ângulo inscrito e o ângulo central correspondente. determine o valor de x

Os estudos referentes a ângulos na circunferência auxiliaram e auxiliam até hoje a geometria plana. Com aplicações na astronomia e em outras áreas do conhecimento, esse estudo foi se aprofundando e desenvolvendo relações e propriedades diferentes para cada um dos casos. Os casos são:

• ângulo central;
• ângulo inscrito;
• ângulo interno;
• ângulo excêntrico interno;
• ângulo excêntrico externo;
• ângulo de segmento.

Para cada um dos casos, existem propriedades específicas que relacionam o arco da circunferência com o ângulo.

Leia também: Quais as diferenças entre círculo e circunferência?

Elementos da circunferência

A circunferência possui elementos importantes para a compreensão dessa forma geométrica. Conhecemos como circunferência o conjunto de pontos que estão equidistantes do ponto C, conhecido como centro.

C → centro

r → raio

Além do centro e do raio, a circunferência possui também como elemento importante a corda, que são os segmentos que ligam uma extremidade à outra da circunferência.

Quando essa corda passa pelo centro, ela é conhecida como diâmetro. O diâmetro de uma circunferência possui comprimento igual ao comprimento de dois raios e é um caso especial de corda.

Casos de ângulos na circunferência

Os estudos dos ângulos na circunferência relacionam os arcos formados pelos ângulos com o próprio ângulo.

Ocorre quando o ângulo está no centro da circunferência. Quando isso acontece, podemos dizer que a amplitude do ângulo central é igual à amplitude do arco.

Exemplo:

Calcule o valor do arco d.

Como o ângulo central é igual a 50º, a amplitude do arco denotado por d também possui 50º.

Veja também: Como encontrar o centro de uma circunferência?

Um ângulo é conhecido como inscrito quando o seu vértice for um ponto da circunferência. Quando isso ocorre, a amplitude do arco é igual à metade da medida do ângulo.

Exemplo:

Calcule o valor de α na imagem.

O arco é igual ao dobro do ângulo, ou seja, para encontrar o valor de α, basta dividir 72 por 2.

α = 72º : 2

α = 36º

Um ângulo é conhecido como excêntrico interno quando ele não está no centro da circunferência, mas está localizado na parte interior da circunferência, não podendo ser um ângulo inscrito. Quando isso ocorre, podemos definir dois arcos. O ângulo será a média aritmética entre eles, ou seja, a soma dividida por dois.

Exemplo:

Calcule o valor do ângulo α na circunferência sabendo que C não é o centro da circunferência.

Acesse também: Como construir polígonos circunscritos?

Conhecemos como excêntrico externo o ângulo que é externo à circunferência. Quando isso ocorre, ele forma dois arcos, e o valor do ângulo é calculado pela metade da diferença entre o arco maior e o arco menor.

Exemplo:

Calcule o valor do ângulo α.

O ângulo é conhecido como ângulo de segmento quando ele é formato por um segmento de reta tangente à circunferência e o outro não. Quando isso ocorre, o ângulo é igual à metade do arco.

Exemplo:

Qual é o valor do ângulo α na circunferência a seguir?

Analisando a imagem, sabemos que o ângulo α é igual à metade do arco, ou seja, metade de 120º, então α  = 60º.

Veja também: Cálculos e fórmula da equação reduzida da circunferência

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Podemos afirmar que o valor do ângulo BÂC no triângulo a seguir é:

A) 60º

B) 65º

C) 70º

D) 75º

E) 90º

Resolução

Alternativa B.

Analisando a circunferência, o arco formado pelos pontos AB tem amplitude igual à meia circunferência, ou seja, 180º.Como o ângulo C é inscrito, então ele corresponde à metade de 180º, logo o ângulo C é igual a 90º.

A soma dos ângulos internos do triângulo é sempre igual a 180º, então temos que:

25º + BÂC + 90º = 180º

BÂC  = 180º – 90º – 25º

BÂC  = 90º – 25º

BÂC  = 65º

Questão 2 – Calcule o valor de x na circunferência a seguir.

A) 10

B) 15º

C) 20º

D) 40º

E) 45º

Resolução

Alternativa C.

Sabendo que AÔB é o ângulo central e que ele corresponde ao valor do arco, então temos que:

2x + 5º = 45º

2x = 45º – 5º

2x = 40º

x = 40º: 2

x = 20º

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Se você não lembra mais das aulas sobre as definições e os cálculos envolvendo os Ângulos na Circunferência, a hora é esta. Veja abaixo aula gratuita de revisão.

Vamos começar pelo começo. Você lembra a definição de circunferência ? Vamos lá: Circunferência é a linha fechada que contorna uma região chamada círculo. 

A diferença entre Círculo e Circunferência:

• O Círculo: Para você diferenciar claramente a circunferência (a linha que demarca) o círculo (o disco), perceba na imagem  acima que o Círculo “é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma”.
• Se ficou complicado de entender, volte na imagem com calma e observe novamente:
• A Circunferência é a linha preta que envolve a região cinza, enquanto o círculo é toda a região pintada de cinza reunida com a circunferência.

Para começar bem o seu resumo sobre os ângulos na circunferência acompanhe esta introdução completa com o professor Lucas Borguesan, do canal do Curso Enem Gratuito. Depois tem o segundo vídeo, com o complemento.

Confira a Aula 1

https://youtu.be/BB7EsFi95UE

As dicas do Professor Lucas:

1. Podemos dizer que todo polígono regular pode ser inscrito ou circunscrito a uma circunferência. Isso quer dizer que em todo polígono regular podemos “desenhar” uma circunferência no seu interior e no seu exterior.
2. Caso a circunferência esteja no interior do polígono, dizemos que a circunferência está inscrita ao polígono ou que o polígono está circunscrito à circunferência.
3. Por outro lado, caso a circunferência esteja no exterior do polígono, dizemos que a circunferência está circunscrita ao polígono ou que o polígono está inscrito à circunferência.
4. Nesta aula acima, o professor Lucas vai te introduzir nos cálculos de ângulos da circunferência.

Os tipos de ângulos mais importantes na circunferência.

Ângulo central – Ângulo central (α) é o ângulo formado a partir do centro O. Observe a figura abaixo:

O Ângulo inscrito na circunferência (β) é o ângulo formado a partir do arco mas com vértice sobre a circunferência.Seu valor corresponde à metade do ângulo central (α).

Valeu pra você este complemento do resumo do professor Lucas? De certeza que sim. Agora, vamos ver mais exemplos, e praticar.

Exemplo de ângulo inscrito na circunferência: 

Sendo a medida do arco ABC igual a 110º , determine o valor dos ângulos x e y, conforme a figura abaixo:

• Solução:Observe que a medida do arco é 110º e que o ângulo y representa a medida do ângulo central, ou seja, y = arco = 110º.
• O ângulo x da figura representa o ângulo inscrito na circunferência proveniente do mesmo arco que y, logo x vale a metade de y, ou seja, 55º.
• Resposta:x = 55º e y = 110º

• Este post está valendo pra você? - Então, compartilhe com os colegas!

1. 1. 1. Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência, onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.
      

1. 1. 2. Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.
      

1. 1. 3. Todos os ângulos de uma circunferência inscritos no mesmo arco são congruentes.
      

1. 4. Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos opostos são suplementares (somados valem 180º).
   

Veja O Círculo Trigonométrico

Quando falamos em seno, cosseno e tangente, tem quem até se arrepia! Todavia, a matéria é mais simples do que parece e ainda por cima é figurinha carimbada no Enem e nos vestibulares. Aqui, vamos simplificar o círculo trigonométrico para você!

Para compreender e desvendar os segredos da trigonometria, o  primeiro passo é entender o ciclo trigonométrico. Veja com o professor Lucas Borghesan, do canal do Curso Enem Gratuito, as dicas do CírculoTrigonométrico:

https://youtu.be/AKte_2v6Y9k?t=64

Observe a imagem, e tente recuperar os conteúdos relacionados que você já estudou antes de prosseguir na leitura.

É um bom exercício para você refrescar a memória, lembrar o que sabe, e recuperar as dúvidas também.

Assim, forma-se um terceiro vetor chamado de tangente, de varia de 0 até tendendo a +/- infinito. 

Seno e Cosseno:

Os sinais de seno, cosseno e tangente são respectivamente:

Veja as Relações do Círculo Trigonométrico

O valor de y = cos 150° + sen 300° – tg 225° – cos 90° é

Sendo sen x = – 4/5 e 3π/2 < x < 2π, então a tg x é igual a

A origem da Trigonometria

Confira agora com o professor Sérgio Sarkis, do canal do Curso Enem Gratuito, como você pode resolver as questões de Ângulos na prova de matemática do Enem.

https://youtu.be/5Lo79e-npCs

Confira no vídeo acima estratégias para gabaritar tanto na  geometria quanto na trigonometria com a resolução de problemas relacionados aos ângulos. Você vai entender o que é um ângulo, como pode medi-lo e, claro, tem resolução de problemas também.

Questão 01

Na circunferência abaixo, pode-se afirmar que:

a) as medidas dos arcos AHG e EDG são iguais.

b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º.

c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º.

d) o arco GFE é maior que o arco EDC.

e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.

Dica 1 – Você sabe a diferença entre um círculo e uma circunferência? Nesta aula de Matemática Enem você pode revisar tudo sobre essas duas formas geométricas – https://blogdoenem.com.br/circulo-e-circunferencia-matematica-enem/

Questão 02

Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. O valor de x + y é:

a) 242º

b) 121º

c) 118º

d) 59º

e) 62º

Dica 2 – Estude sobre Circunferência em mais esta aula de revisão para Matemática Enem. O Exame Nacional do Ensino Médio está chegando, estude com a gente! – https://blogdoenem.com.br/circunferencia-matematica-enem/

Questão 03

Determine o valor do ângulo x, conforme a figura abaixo:

a) 24º;  b) 28º;  c) 38º;  d) 17º;  e) 32º

Dica 3 – Preparado para o Exame Nacional do Ensino Médio? Revise tudo sobre Geometria Analítica em mais uma aula de Matemática Enem que preparamos para você – https://blogdoenem.com.br/geometria-analitica-matematica-enem/

Questão 04

Determine o valor do ângulo x, conforme a figura abaixo:

a) 70º;  b) 76º;  c) 80º;  d) 82º;  e) 85º

Questão 05

Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência de centro O. Determine a medida do ângulo ADC, sabendo que o ângulo BAC mede 35º.

a) 150º;  b) 176º;  c) 125º;  d) 182º;  e) 105º

Você consegue resolver estes exercícios? Então resolva e coloque um comentário no post, logo abaixo, explicando o seu raciocínio e apontando a alternativa correta para cada questão. Quem compartilha a resolução de um exercício ganha em dobro: ensina e aprende ao mesmo tempo. Ensinar é uma das melhores formas de aprender!