Exercícios Teorema de Pitágoras Enem

O básico do Teorema de Pitágoras e do Triângulo Retângulo você já sabe: A soma do quadrado dos Catetos é igual ao quadrado da Hipotenusa. Mas, o fundamental é ‘entender’ o que isto significa. Observe com calma a imagem e tente abstrair este Teorema a partir da ilustração:

Somou? Então , você tem na soma dos quadrados de b + c a mesma quantidade dos quadradinhos de a. É o Teorema de Pitágoras:

Entenda o Triângulo Retângulo. Ele vai te ajudar a mandar bem no Enem, no Encceja, e nos vestibulares: Os lados que formam o ângulo reto são denominados de catetos. O lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa.

Os cálculos algébricos envolvendo o Triângulo Retângulo partem de propriedades que nos permitem saber que calcular as medidas dos demais lados e ângulos se você tiver os dados (medidas) de dois lados e mais a medida de um dos ângulos agudos.

O Triângulo Retângulo e o Teorema de Pitágoras.

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Na solução dos problemas sobre o triângulo retângulo, aplicaremos um conjunto de fórmulas denominadas relações métricas. Em outra oportunidade, veremos a existência de outro grupo de fórmulas denominadas relações trigonométricas. 

As Relações métricas: são fórmulas que relacionam as medidas dos lados do triângulo e suas projeções entre si. Para isso vamos representar o triângulo retângulo apoiado sobre a hipotenusa.

1.  Hipotenusa = a
2.  Catetos = b e c
3.  Altura relativa à hipotenusa = h
4.  Projeções dos catetos sobre a hipotenusa = m e n

1) Teorema de Pitágoras: hip 2 = cat 2 + cat 2  Ou, traduzindo em palavras a representação da fórmula: a soma do quadrado dos catetos é igual ao cateto da hipotenusa.

Agora, feche os olhos e tente fazer uma representação mental do Teorema de Pitágoras atuando nos cálculos de um Triângulo Retângulo.  

Exercício Resolvido sobre Relações Métricas no Triângulo

Veja agora o que são o Cateto Oposto; o Cateto Adjacente, e como fazer a resolução de problemas básicos que caem no Enem e no Encceja:

https://youtu.be/eGv5yeylFy0

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Resumo sobre o Teorema de Pitágoras

Veja agora uma demonstração do Teorema de Pitágoras com a visualização da área gerada pelo Quadrado da Hipotenusa e pelo Quadrado de cada um dos Catetos.

Observe na demonstração gráfica do Teorema de Pitágoras na imagem abaixo que se você ‘somar as áreas geradas pelos quadrados dos catetos’ vai encontrar exatamente a mesma ‘área gerada pelo quadrado da hipotenusa’.

Veja esta imagem a seguir com calma. Trabalhe mentalmente esta representação gráfica para compreender o Teorema de Pitágoras. Nunca mais você esquece:

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Agora, bora responder o Simulado sobre o Teorema de Pitágoras.

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3. (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:

   Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. “Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical. “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” ………………………………………………………………………..

   (Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)

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O Teorema de Pitágoras é associado com o comprimento dos lados do triângulo retângulo, que é formado por um ângulo interno de 90°, denominado ângulo reto. A fórmula desse teorema é a²= b² + c².  Faça os Exercícios sobre Teorema de Pitágoras.

Essa matéria é cobrada na prova de Matemática e suas Tecnologias no ENEM. Por isso, fazer os exercícios sobre Teorema de Pitágoras e revisar o conteúdo vai te preparar ainda mais para os principais vestibulares.

O que é Teorema de Pitágoras?

Teorema de Pitágoras é um dos teoremas com maior destaque na Matemática. Ele é importante e essencial para a resolução de questões que envolvem geometria analítica, geometria plana, geometria espacial, trigonometria, etc.

• Aproveite e confira os nossos exercícios de TRIGONOMETRIA.

Teorema de Pitágoras possui relação com o comprimento dos lados do triângulo retângulo. O triângulo retângulo é formado por um ângulo interno (90º), denominado ângulo reto.

Esse teorema é definido pelo seguinte enunciado: “a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa.”

Qual a fórmula do Teorema de Pitágoras?

Como o próprio enunciado já diz:

a²= b² + c²

Sendo:

a: hipotenusa (maior lado do triângulo retângulo e está no lado oposto ao ângulo reto);

b: cateto (medida igual a 90º);

c: cateto (medida igual a 90º).

Veja a representação abaixo:

Os catetos são separados em oposto e adjacente, sendo isso definido a partir da posição de cada um. O cateto que está unido ao ângulo de referência, é definido de cateto adjacente, ou seja, se ele está contrário, denominamos de cateto oposto. Veja:

Pode ocorrer, que as medidas dos lados de um triângulo retângulo sejam caracterizados por números inteiros positivos. Caso isso aconteça, o triângulo passa a ser denominado triângulo pitagórico.

Então, os catetos, juntamente com a hipotenusa são chamados “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para confirmar se os três números formam de fato o trio pitagórico, é necessário usar a fórmula:

a² = b² + c²

O trio pitagórico que merece mais destaque, é composto pelos seguintes numerais: 3 (cateto oposto), 4 (cateto adjacente), 5 (hipotenusa). 

Perceba que os múltiplos desses números citados, formam um terno pitagórico. Então se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5, passa a ser 9, 12 e 15. Logo também formará terno pitagórico.

Outros ternos que podemos citar são:

• 5, 12, 13.
• 7, 24, 25.
• 20, 21, 29.
• 12, 35, 37.

Agora faça os exercícios sobre Teorema de Pitágoras para fixar ainda mais a matéria!

Exercícios sobre Teorema de Pitágoras

1 – (IFSC/2015) – Para acessar o topo de uma plataforma de saltos a 400 cm de altura, um atleta deve subir uma escadaria que possui 8 degraus no primeiro lance e 6 degraus no segundo lance de escada, conforme mostra a figura ao lado. Sabendo que cada degrau possui 30 cm de profundidade, é CORRETO afirmar que o comprimento, em cm, da haste metálica AB utilizada para dar sustentação à plataforma é:

a) 300

b) 400

c) 500

d) 200

e) 100

2 – (IFSP/2015) – O transporte alternativo é uma maneira de se locomover usando um meio diferente dos mais tradicionais. A bicicleta é um exemplo disso. Em alguns lugares, ela é usada porque é mais barata, como no interior do Brasil e em países como a Índia e China. Outras pessoas escolhem andar de bicicleta por uma questão ideológica, porque elas não agridem o meio ambiente e não causam tantos transtornos quanto os carros. Usando uma bicicleta, uma pessoa sai do ponto A e se dirige ao ponto B. O percurso, dado em km, representado pelos segmentos AC, CD e DB está esboçado no gráfico abaixo.

Considerando √2 = 1,4, assinale a alternativa que apresenta a distância percorrida pela pessoa do ponto A ao ponto B.

a) 56 km.

b) 21 km.

c) 20 km.

d) 15 km.

e) 10 km.

3 – (UFRN) – Um objeto desloca-se 10m no sentido oeste-leste sobre um plano, a partir de uma posição inicial. Em seguida, percorre mais 20m no sentido sul-norte, 30m no sentido leste-oeste, 40m no sentido norte-sul, 50m no sentido oeste-leste e 60m no sentido sul-norte. A distância entre a posição inicial e a posição final é:

a)  2√2

b)  2(√2−1)

c)  2(√2+1)

d)  2√2−1

e)  2√2+1

4 – (FATEC) – O valor do raio da circunferência da figura é:

a)  7,5

b)  14,4

c)  12,5

d)  9,5

e)  10,0

5 – (ENEM) – Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,8 mb) 1,9 mc) 2,0 md) 2,1 me) 2,2 m

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Respostas dos Exercícios sobre Teorema de Pitágoras

Exercício resolvido da questão 1 –

c) 500

Exercício resolvido da questão 2 –

a) 56 km.

Exercício resolvido da questão 3 –

b)  2(√2−1)

Exercício resolvido da questão 4 –

c)  12,5

Exercício resolvido da questão 5 –

d) 2,1 m

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