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Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.Morbi adipiscing gravdio, sit amet suscipit risus ultrices eu.Fusce viverra neque at purus laoreet consequa.Vivamus vulputate posuere nisl quis consequat. A razão entre dois números é dada pela sua divisão obedecendo a ordem na qual eles foram dados. Tal razão pode ser representada na forma fracionária, decimal e percentual. A relação entre duas ou mais razões é uma importante ferramenta para solucionar problemas práticos, essa igualdade é chamada de proporção. Leia também: Propriedades da proporção: quais são e para que servem? Razão e proporção→ Definição de razão: Considere dois números racionais x e y, com y diferente de zero. A razão de x por y, nessa ordem, é dada pelo quociente: A razão entre os números: a) 3 e 4 b) 5 e 7 Devemos ficar bastante atentos à ordem na qual os números são dados, o primeiro número sempre será o numerador, e o segundo número sempre será o denominador. Veja: → Definição de proporção: Quando igualamos duas razões, estamos formando uma proporção. Considere duas razões em que b ≠ 0 e y ≠ 0: A igualdade será uma proporção se a · y = b · x, ou seja, se multiplicando cruzado encontrarmos uma igualdade verdadeira, então teremos uma proporção Verificar se os números 2, 3, 10 e 15 são proporcionais nessa ordem. Para isso, devemos montar a razão entre esses números e, em seguida, multiplicar cruzado. Se encontrarmos uma igualdade verdadeira, então eles serão proporcionais, caso contrário, eles não serão proporcionais.  Veja também: Proporcionalidade entre grandezas: tipos e exemplos Como representar uma razão?Vimos que uma razão é dada por uma divisão, que, por sua vez, pode ser representada por uma fração. Ao realizar a divisão do numerador pelo denominador dessa fração, obteremos a forma decimal da razão. Com base na forma decimal, podemos escrever a razão em sua forma percentual, bastando multiplicar esse número decimal por 100. Veja os exemplos. Representação da razão entre 2 e 4 na forma fracionária, decimal e percentual. A razão entre 2 e 4 é dada por: Para determinar a forma decimal, basta realizar a divisão do numerador pelo denominador. 2 ÷ 4 = 0,5 Portanto, 0,5 é a representação decimal da razão dos números 2 e 4. Para escrevermos essa razão na forma percentual, devemos multiplicar por 100 o número 0,5. Veja: 0,5 · 100 = 50% Portanto: Exercícios resolvidosQuestão 1 – (Unisinos-RS) Sabendo que a distância entre duas cidades num mapa, na escala 1 : 1 600 000, é de 8 cm, qual é a distância real entre elas? a) 2 km b) 12,8 km c) 20 km d) 128 km e) 200 km Solução Alternativa d. Do enunciado temos a escala 1 : 1 600 000, ou seja, cada 1 centímetro no mapa corresponde a 1 600 000 centímetros na realidade. Interpretando tal escala como sendo a razão entre 1 e 1 600 000, devemos determinar a media real de uma distância de 8 centímetros no mapa, logo: Observe que as alternativas são dadas utilizando-se a unidade de medida quilômetro. Para transformar centímetro em quilômetro, devemos dividir o último resultado por 100.000: 12.800.000 ÷ 100.000 = 128 km Questão 2 – A razão entre a idade de duas pessoas é de 12 para 11. Sabe-se que a soma das idades é 115, determine a idade de cada uma dessas pessoas. SoluçãoComo desconhecemos a idade das duas pessoas, vamos nomeá-las a e b. Como a razão entre essas idades é de 12 para 11, podemos montar uma proporção: Sabemos que a soma das idades é 115, logo: a + b = 115 a = 115 – b Substituindo o valor de a na primeira equação, teremos: 11 · a = 12 · b 11 · (115 – b) = 12 · b 1.265 – 11b = 12b 1.265 = 12b + 11b 1.265 = 23b b = 1.265 ÷ 23 b = 55 Como a = 115 – b, então: a = 115 – 55 a = 60 Portanto, essas pessoas possuem, respectivamente, 60 anos e 55 anos. Por Robson Luiz
por: a. b. c. 12,5 d. 8 98 | MATEMÁTICA 6 | MATEMÁTICA d. A dízima periódica 0,33333333... está contida no conjunto dos racionais e dos reais. e. A raiz quadrada de 2 pertence ao conjunto dos inteiros e ao conjunto dos irracionais. f. O número 3,14159265359... pertence ao conjunto dos racionais e no conjunto dos irracionais. 2. Identifique a qual número se refere cada tópico e construa uma reta numérica, localizando-os na reta: • Ponto A: O oposto de 2 • Ponto B: Um sexto • Ponto C: A terça parte de 27 • Ponto D: A quarta parte de – 16 • Ponto E: A raiz quadrada de 6,25 • Ponto F: A raiz quadrada de 0,25 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Imagem: próprio autor MATEMÁTICA | 7 AULAS 7 E 8 - SISTEMATIZANDO O CONCEITO DE CONJUNTOS NUMÉRICOS Objetivos da aula: • Reconhecer as características dos números reais; Nesta etapa, vamos avaliar tudo o que aprendemos até aqui, estudante. A proposta é fazer uma verificação através da estratégia do jogo. Você e sua dupla terão o tempo estipulado pelo professor para responder cada uma das questões a seguir. É proibido o uso de calculadoras! Registre neste caderno seus cálculos! Boa sorte! 1. (AAP – 2016) Sabendo que 2,1666... = 2 + 0,1 + 0,06666..., então a fração geratriz deste número será. a. b. c. d. 2. (AAP – 2016) Dividir um número por 0,125 equivale a multiplicar por: a. b. c. 12,5 d. 8 MATEMÁTICA | 99 8 | MATEMÁTICA 3. (SARESP) O resultado de 2 – 0,789 é: a. 2,311 b. 1,321 c. 1,211 d. 0,221 4. (SARESP) Assinale a alternativa que mostra um número compreendido entre 2,31 e 2,32 a. 2,305 b. 2,205 c. 2,315 d. 2,309 5. (SARESP) Ao pesar ¼ de quilograma de salame, a balança mostrou. a. 0,250 kg b. 0,125 kg c. 0,150 kg d. 0,500 kg 100 | MATEMÁTICA 8 | MATEMÁTICA 3. (SARESP) O resultado de 2 – 0,789 é: a. 2,311 b. 1,321 c. 1,211 d. 0,221 4. (SARESP) Assinale a alternativa que mostra um número compreendido entre 2,31 e 2,32 a. 2,305 b. 2,205 c. 2,315 d. 2,309 5. (SARESP) Ao pesar ¼ de quilograma de salame, a balança mostrou. a. 0,250 kg b. 0,125 kg c. 0,150 kg d. 0,500 kg MATEMÁTICA | 101 MATEMÁTICA | 1 SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES 4 - AULAS 1 E 2 - RAZÃO: COMPARAR POR MEIO DE UMA RAZÃO Objetivos da aula: • Compreender o conceito de razão entre duas grandezas; • Identificar o conceito de razão em situações-problema; • Resolver problemas envolvendo o conceito de razão. Conforme o que foi apresentado pelo (a) professor (a), realize as atividades abaixo, discutindo-as com sua dupla de trabalho. 1. Escreva, em cada caso, a razão que há entre: a. O total de sete meninas de uma classe e o total de 14 meninos da mesma classe. b. A idade de Samuel, que tem 28 anos, e a idade de seu pai, que tem 35 anos. c. A quantidade de 16 professores e a quantidade de 160 alunos no 6º ano. d. O número de alunos do grêmio, que é 24, e as 12 chapas disponíveis para participação. e. O número de 12 meninos de um total de 24 amigos. 102 | MATEMÁTICA MATEMÁTICA | 1 SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES 4 - AULAS 1 E 2 - RAZÃO: COMPARAR POR MEIO DE UMA RAZÃO Objetivos da aula: • Compreender o conceito de razão entre duas grandezas; • Identificar o conceito de razão em situações-problema; • Resolver problemas envolvendo o conceito de razão. Conforme o que foi apresentado pelo (a) professor (a), realize as atividades abaixo, discutindo-as com sua dupla de trabalho. 1. Escreva, em cada caso, a razão que há entre: a. O total de sete meninas de uma classe e o total de 14 meninos da mesma classe. b. A idade de Samuel, que tem 28 anos, e a idade de seu pai, que tem 35 anos. c. A quantidade de 16 professores e a quantidade de 160 alunos no 6º ano. d. O número de alunos do grêmio, que é 24, e as 12 chapas disponíveis para participação. e. O número de 12 meninos de um total de 24 amigos. MATEMÁTICA | 103 2 | MATEMÁTICA 2. Um corredor faz 15 km em 1 hora. Qual a velocidade média, em metros por minuto, que o corredor faz? 3. Observe o quadro e responda: Região Extensão territorial(km2 ) População (habitantes) Centro-Oeste 1.606.371 14.058.094 Nordeste 1.554.257 53.081.950 Norte 3.853.327 15.864.454 Sudeste 924.511 80.364.410 Sul 576.409 27.386.891 IBGE: Sinopse do Censo Demográfico 2010 e Brasil em números, 2011. Qual é a segunda maior densidade demográfica entre as regiões apresentadas na tabela? MATEMÁTICA | 3 AULAS 3 E 4 – UTILIZAR O CONCEITO DE RAZÃO PARA RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMAS Objetivos da aula: • Resolver problemas que envolvam o conceito de razão em diferentes contextos. • Modelar situações-problema que envolvam o conceito de razão, como velocidade, densidade, escala, etc. 1. Em uma estrada, um carro percorre 120 km em 2,5 horas. A que velocidade média está o automóvel? 2. (CESGRANRIO) Uma pessoa, correndo, percorre 4,0 km com velocidade escalar média de 12 km/h. O tempo do percurso, em minutos, é de, aproximadamente. a. 3,0 min. b. 8,0 min. c. 20 min. d. 30 min. 104 | MATEMÁTICA 2 | MATEMÁTICA 2. Um corredor faz 15 km em 1 hora. Qual a velocidade média, em metros por minuto, que o corredor faz? 3. Observe o quadro e responda: Região Extensão territorial(km2 ) População (habitantes) Centro-Oeste 1.606.371 14.058.094 Nordeste 1.554.257 53.081.950 Norte 3.853.327 15.864.454 Sudeste 924.511 80.364.410 Sul 576.409 27.386.891 IBGE: Sinopse do Censo Demográfico 2010 e Brasil em números, 2011. Qual é a segunda maior densidade demográfica entre as regiões apresentadas na tabela? MATEMÁTICA | 3 AULAS 3 E 4 – UTILIZAR O CONCEITO DE RAZÃO PARA RESOLVER SITUAÇÕES-PROBLEMAS Objetivos da aula: • Resolver problemas que envolvam o conceito de razão em diferentes contextos. • Modelar situações-problema que envolvam o conceito de razão, como velocidade, densidade, escala, etc. 1. Em uma estrada, um carro percorre 120 km em 2,5 horas. A que velocidade média está o automóvel? 2. (CESGRANRIO) Uma pessoa, correndo, percorre 4,0 km com velocidade escalar média de 12 km/h. O tempo do percurso, em minutos, é de, aproximadamente. a. 3,0 min. b. 8,0 min. c. 20 min. d. 30 min. MATEMÁTICA | 105 4 | MATEMÁTICA 3. (UNICAMP) Escala, em cartografia, é a relação matemática entre as dimensões reais do objeto e a sua representação no mapa. Assim, em um mapa de escala 1:50.000, uma cidade que tem 4,5 km de extensão entre seus extremos será representada com: a. 9 cm. b. 90 cm. c. 225 mm. d. 11 mm. 4. Relate, com suas palavras, quais foram as estratégias que você utilizou para resolver os problemas acima. MATEMÁTICA | 5 AULAS 5 E 6 – PROPORCIONALIDADES DIRETA E INVERSA ENTRE DUAS GRANDEZAS Objetivos da aula: • Reconhecer as proporcionalidades direta e inversa na relação entre duas grandezas; • Diferenciar relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas; • Associar a relação de proporcionalidade entre grandezas a contextos diversos; • Identificar relações de proporcionalidade em escalas, divisões em partes proporcionais e taxas de varia- ção de duas grandezas. Leia a questão 1 e 2 e escreva, em cada uma, o que você consegue entender quando visualiza as tabelas expostas. 1. No teste de um automóvel, foram constatadas as seguintes situações: Velocidade Média (km/h) 30 60 120 240 Distância percorrida em 1 minuto (km) 0,5 1 2 4 Descreva, com suas palavras, o que você compreende da situação acima. 2. Ao testar uma moto que percorre uma distância fixa, variando apenas a velocidade, foram constatados os seguintes dados: Velocidade Média (km/h) 60 30 20 10 Tempo (h) 1 2 3 6 Descreva, com suas palavras, o que você compreende da situação acima. 106 | MATEMÁTICA 4 | MATEMÁTICA 3. (UNICAMP) Escala, em cartografia, é a relação matemática entre as dimensões reais do objeto e a sua representação no mapa. Assim, em um mapa de escala 1:50.000, uma cidade que tem 4,5 km de extensão entre seus extremos será representada com: a. 9 cm. |
Escreva em cada caso a razão que há entre
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