Escolha dois números diferentes cujo MMC é 24

MDC significa máximo divisor comum. O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais é o maior de seus divisores. Dois números naturais sempre têm divisores em comum.

Os divisores de um número natural podem ser encontrados dividindo este número pelos números naturais maiores que zero. Quando a divisão for exata, ou seja, com resto zero, então tal número é divisor do número dado.

Exemplo:

Considere o número 30.

O número 30 é divisível por 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2 e 1. Assim, chamamos estes números como os divisores do número 30.

Como calcular o MDC de dois ou mais números?

Para calcular o MDC devemos fazer uma das seguintes operações: decomposição em fatores primos ou decomposição simultânea.

Decomposição em fatores primos

Para encontrar o MDC pela decomposição em fatores primos devemos seguir as seguintes regras:

• Decompor os números dados em fatores primos;
• Pegar os fatores primos comuns com seus expoentes menores;
• Fazer o produto desses fatores.

Exemplo:

Vamos encontrar o máximo divisor comum para os números 16 e 24.

• 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24
• 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3

Os fatores primos comuns aos dois números dados 24 e 2³. Desses dois temos 2³ com o menor expoente. Logo, 2³ = 8.

Portanto, o MDC(16; 24) = 8, que é o maior número natural que divide ambos os números dados.

Vamos ver mais um exemplo?

Considere os números 30, 50 e 20, o MDC deles é?

• 30 = 2 x 3 x 5
• 50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 5²
• 20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5

Os únicos fatores que dividem ambos ao mesmo tempo, são 2 e 5, veja acima na multiplicação dos números primos. Dessa forma pegamos os fatores com menores expoente e fazemos a multiplicação.

Logo, 2 x 5 = 10

Portanto, o MDC(30; 50; 20) = 10

Curiosidade: dois números são primos entre si quando o maior divisor comum (MDC) entre eles é 1.

Exemplo: Sejam 13 e 5, o único número que divide ambos ao mesmo tempo é o número 1.

• Veja os exercícios de MDC.

Decomposição simultânea

A decomposição simultânea ou fatoração simultânea consiste em dividir varias vezes os números dados pelo menor fator primo, se o número não for divisível pelo menor fator, ele deve ser repetido.

O MDC é obtido pela multiplicação dos fatores primos comuns, ou seja, os fatores que dividem os números dados simultaneamente.

Exemplo:

Encontre o máximo divisor comum dos números 180, 240 e 270.

Pela decomposição simultânea devemos dividir simultaneamente os três números dados começando pelo menor número primo possível até chegar ao resto 1.

O que fizemos foi dividir os números dados pelo menor primo, o número 2. Dividimos os três números. Depois verificamos se ainda é possível continuar dividindo pelo 2, sim. Os números que não puderem ser divididos devem ser repetidos, como o 135.

Seguimos dividindo pelo 2. Quando não for mais possível dividi-los pelo 2, procuramos o menor número primo possível que possamos dividir pelo menos um deles, neste caso o número primo 3 pode dividir 45, 15 e 135.

Seguimos dividindo pelo 3, quando possível, e conservando aqueles que não podem. Por fim, somente o número 5, que também é primo, pode dividir o número 5, resto das divisões anteriores.

Esse processo acaba quando encontramos resto 1 para todos os números dados. O MDC é a multiplicação dos números primos que puderam dividir todos os números dados ao mesmo tempo.

Portanto, o MDC (180; 240; 270) = 2 x 3 x 5 = 30.

O número 2 dividiu todos os números na primeira vez, o 3 e o 5 também.

Veja mais um exemplo para destruir qualquer dúvida.

Exemplo: calcular o MDC para 20, 50.

• Veja os exercícios de MDC.

Propriedades básicas

• Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o MDC dos números dados;
  • Exemplo: MDC (3; 6; 12) = 3. O 3 é divisor de 6 e 12, então ele é o máximo divisor comum.
• Dois números consecutivos são sempre primos entre si.
  • Exemplo: MDC (25, 26) = 1.  O maior número que divide 25 e 26 é 1.  Então, ele é o máximo divisor entre 25 e 26.

Exercícios propostos

Veja os exercícios de MDC acessando o link a seguir:

Bons estudos!

Leia também…

MMC – Mínimo Múltiplo Comum

Tabuada

Máximo divisor comum, representado por MDC, de dois ou mais números inteiros positivos é o maior número que está na lista de divisores de cada um desses números simultaneamente. Os divisores de um número inteiro são os números que, quando divididos por esse número inteiro, deixam resto zero, ou seja, trata-se de uma divisão exata.

Com base nessa ideia, podemos dizer que essa lista de divisores nunca passa do número que estamos analisando. Para facilitar a determinação do MDC, vamos utilizar um famoso teorema da matemática conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética. Esse teorema permite-nos realizar a decomposição de um número em fatores primos ao afirmar que todo número composto pode ser escrito como produto de números primos.

Leia também: Dicas para divisão: 7 dicas para facilitar a solução dessa operação

Divisor comum

Imagine dois ou mais números inteiros positivos, agora, vamos listar os divisores desses números. Quando realizamos essa listagem, percebemos a existência de divisores em comum, isto é: divisores que aparecem ao mesmo tempo em mais de uma lista. Ficou confuso? Veja o exemplo a seguir.

Os divisores dos números 10, 15 e 20:

D (10) = {1, 2, 5, 10}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Pelo exemplo, entre os números 10 e 15 temos o número 5 como maior número que aparece na lista de divisores, assim: MDC (10, 15) = 5. E a mesma ideia vale para os números 10 e 20, que possuem o 10 como maior número comum na lista de divisores, logo: MDC (10, 20) = 10. Assim é válido para os números 15 e 20, que possuem como maior divisor comum o número 5, ou seja: MDC (15 e 20) = 5.

Quando dois ou mais números possuem como maior divisor comum o número 1, dizemos que eles são primos entre si. Veja o exemplo.

Os divisores dos números 4, 13, 15:

D (4) = {1, 2, 4}

D (13) = {1, 13}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

Observe que, entre os números 4, 13 e 15, o maior número comum é o 1. Então 4, 13 e 15 são primos entre si.

Leia também: Divisão com resultado decimal - veja como proceder

Como se calcula o MDC?

Uma das maneiras de calcular o MDC entre dois ou mais números inteiros é realizando a listagem dos divisores de cada número envolvido e verificando qual é o maior deles que aparece igualmente nas listas em questão. No entanto, quando um desses números é muito grande, realizar essa listagem torna-se uma tarefa difícil e cansativa.

A fim de facilitar o cálculo para encontrar o MDC, utilizaremos a decomposição em fatores primos da seguinte maneira:

Ao fazer a decomposição em fatores primos, o que consiste em realizar divisões por números primos, devemos marcar os primos que dividem todos os números em questão e, ao final, realizar a multiplicação entre eles. Confira os exemplos.

1. Neste exemplo sabemos que o resultado é 10. Chegaremos a esse resultado utilizando o método da fatoração em números primos.

Perceba que só marcamos em vermelho os primos que dividem os dois números. Assim, o MDC (20,10) = 5 · 2 = 10.

2. Determine o MDC (20, 15, 10)

Como o único número que divide os três números ao mesmo tempo é o 5, então MDC (20, 15, 10) = 5.

Propriedades do MDC

Veja a seguir as propriedades do máximo divisor comum.

O produto do máximo divisor comum com o mínimo múltiplo comum de dois números a e b é igual ao módulo do produto desses números.

MDC (a, b) · MMC (a, b) = |a · b|

Sabemos que o MDC (20,10) = 10 e o MMC (20,10) = 20. Veja:

MDC (20,10) · MMC (20,10) = | 20 · 10 |

Os divisores comuns de dois ou mais números são os divisores do mdc desses números.

Exercício resolvido

Questão 1 - (ESPM-SP) As moedas de 10 e 25 centavos de real têm, praticamente, a mesma espessura. 162 moedas de 10 centavos e 90 moedas de 25 centavos serão empilhadas de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura. O menor número possível de pilhas é:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

Solução

Observe que, para termos o menor número de pilhas, devemos ter então o maior número de moedas em cada uma dessas pilhas. Assim, primeiramente, calcularemos o MDC entre 162 e 90.

Assim, o MDC (162, 90) = 2 · 3 · 3 = 18, logo, cada pilha deverá ter 18 moedas. Portanto temos: 162:18 = 9 pilhas de moedas de 10 centavos e 90:18 = 5 pilhas de moedas de 25 centavos, e, assim, um total de 14 pilhas de moedas.

Alternativa c