Radical é o símbolo utilizado para indicar o cálculo de raízes. Quando falamos em simplificação de radicais, referimo-nos à utilização de algumas das propriedades das raízes para facilitar os cálculos que os envolvem. As simplificações discutidas aqui serão divididas em alguns casos que serão expostos da seguinte maneira: primeiro, a propriedade dos radicias que permite a simplificação e, depois, um exemplo. Observe: Caso 1 – Expoente e índice múltiplos Quando os radicais apresentarem índices múltiplos do expoente do radicando (ou vice-versa), a seguinte propriedade dos radicais poderá ser utilizada: Essa propriedade garante que índice e expoente podem ser multiplicados ou divididos por um número qualquer sem mudar o valor da raiz. Exemplo: Note que o número pelo qual o índice e o expoente do radicando foram divididos é 3. Caso 2 – Utilizando fatoração Para simplificar alguns radicais, basta reescrever o radicando como produto de fatores primos. Para tanto, fatore o radicando e observe o índice do radical. Supondo que esse índice seja 3, reagrupe os fatores primos encontrados em potências de expoente 3. Depois, basta utilizar a seguinte propriedade: Esse caso é útil para simplificar radicais como os do exemplo a seguir: Como x7 = x2·x2·x2·x, substitua o radicando por esse resultado e utilize a propriedade descrita acima. Caso 3 – Raízes de frações Quando for necessário simplificar uma raiz de algum número na forma de fração, utilize a seguinte propriedade: Após cumprir esse passo, basta seguir com a simplificação de raízes para o numerador e para o denominador separadamente. Caso 4 – Racionalização Quando aparecem radicais no denominador, é necessário fazer a racionalização deles para prosseguir com a simplificação. Racionalização é o processo feito para criar frações equivalentes em que os radicais estejam apenas no numerador. Para racionalizar uma fração, multiplique numerador e denominador pelo radical presente no denominador. Observe o exemplo: Repare no exemplo acima que a fração com radical no denominador foi simplificada e o resultado é apenas raiz de 3. Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades. → Teorema fundamental da aritmética Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número. Exemplos: a) 192 = 25·3 b) 75 = 3·52 c) 300 = 2·3·52 → Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes: A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando. → Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração: Passo 1: Fatore o radicando Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética. Passo 2: Reagrupe os fatores primos Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Passo 3: Aplique a propriedade I Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada. Passo 4: Aplique a propriedade II Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele. Passo 5: Cálculo numérico Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados. Exemplo: Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592. Solução: Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592: 2592|2 1296|2 648|2 324|2 162|2 81|3 27|3 9|3 3|3 1| 2592 = 25·34 Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível: 2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2 Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte: Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19. Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima. Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas. Calculando raízes Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado. A representação de raízes é feita da seguinte maneira: *n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz. Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a. L·L·L·L...L·L = a Raízes exatas e não exatas Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas: a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9 b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8 c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16 Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas: a) Raiz quadrada de 2 b) Raiz cúbica de 3 c) Raiz quarta de 5 Cálculo de raízes não exatas Caso 1 – Radicando primo Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31: Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois: 3,143 = 30,959144 Caso 2 – Radicando não primo Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz. Exemplo: Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule: Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256: 256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2 1 256 = 23·23·22 Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe: Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado: Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira: Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação. 4·1,26·1,26 = 6,35 Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática |