Você sabia que a Fórmula de Bháskara só existe no Brasil? Na verdade, esse grande matemático Indiano nunca a criou, uma vez que não se utilizavam fórmulas em sua época . A Fórmula resolutiva da equação quadrática se estabeleceu com o nome de Fórmula de Bháskara por um erro histórico, o qual vem se perpetuando até os dias de hoje (para se aprofundar neste tema clique aqui). Neste artigo iremos discutir a dependência brasileira desta fórmula para o ensino da resolução de equações quadráticas, vamos traçar um panorama de opções para o trabalho com este tema e, por fim vamos chegar à dedução da famosa fórmula de Bháskara (que não é de Bháskara). Vamos nessa? Show
Você sabia que a Fórmula de Bháskara só existe no Brasil? Na verdade, esse grande matemático Indiano nunca a criou, uma vez que não se utilizavam fórmulas em sua época . A Fórmula resolutiva da equação quadrática se estabeleceu com o nome de Fórmula de Bháskara por um erro histórico, o qual vem se perpetuando até os dias de hoje (para se aprofundar neste tema clique aqui). Neste artigo iremos discutir a dependência brasileira desta fórmula para o ensino da resolução de equações quadráticas, vamos traçar um panorama de opções para o trabalho com este tema e, por fim vamos chegar à dedução da famosa fórmula de Bháskara (que não é de Bháskara). Vamos nessa?
 De quantas maneiras diferentes é possível encontrar as raízes de x²+2x+1=0? Se você só consegue pensar na fórmula de "Bháskara" você não está sozinho! Em minhas andanças pelo Brasil e em minha longa estrada como professora, o que tenho visto é uma "Bháskaradependência" da maioria das pessoas que participaram de minhas aulas. Tal dependência é resultado do ensino brasileiro de matemática, o qual é excessivamente centrado em fórmulas. Antes de sair calculando loucamente, devemos parar e analisar o que está sendo pedido pelo problema. Veja que o enunciado: "Calcule as raízes de x²+2x+1=0?" pode ser traduzido para: Quais valores de x tornam a minha equação igual a zero? Agora que sabemos o que está sendo pedido e que raízes são os valores que, quando substituídos no lugar das incógnitas, tornam a equação igual a zero, podemos prosseguir. Uma possibilidade de resolução é nos perguntarmos, em x²+2x+1=0, a qual, generalizada, é do tipo ax²+bx+c=0, quais números somados resultam em 2 (ou seja, b) e quais números multiplicados resultam em 1 (ou seja, c). A resposta é 1 e 1, pois 1+1=2 e 1.1=1. O que fizemos aqui? Acabamos de fatorar x²+2x+1=0 e obtivemos a expressão (x+1).(x+1)=0 (faça a distributividade e veja que retornaremos à forma inicial x²+2x+1=0, é esta propriedade que faz com que seja possível resolver uma equação por soma e produto). Agora estamos prontos para calcular as raízes (números que quando colocados no lugar da incógnita tornam a equação igual a zero). Dito isto, vamos calcular as raízes de (x+1).(x+1)=0. Ora, podemos ver que os únicos valores possíveis para zerar a equação são -1 e -1. Substituindo, temos: ( -1+1).(-1+1)=0. (Lembre-se que as raízes são duas devido ao Teorema Fundamental da Álgebra que diz que o número de raízes de um polinômio é igual ao seu grau, no caso o grau da equação quadrática é 2 e ela terá, portanto, duas raízes)
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| É por isso que (x+1)² é um quadrado perfeito! Isto representa literalmente um quadrado!!! |
A área do quadrado é lado ao quadrado, logo a área do quadrado colorido também pode ser expressa por (x+1)². Ou seja, acabamos de fatorar a nossa equação e já podemos calcular suas raízes, como anteriormente. Veja:
x²+2x+1=0 = (x+1).(x+1)=0 , os únicos valores que zeram a equação são -1 e -1. Logo, as raízes são -1 e -1
Quando temos equações do tipo x²+6x+1=0 não conseguimos "fechar o nosso quebra cabeça", o nosso "quadrado" fica incompleto... veja!
Vemos claramente aqui que faltam 8 peças de área 1 para completar o nosso quebra cabeça. Algebricamente, isto significa que teremos que completar o nosso quadrado, assim.
x²+6x+1 +8 =0 +8
Acrescentamos 8 aos dois lados da equação, porque como uma igualdade ela exige que tudo o que seja feito de um lado, seja também feito do outro.
Simplificando x²+6x+1 +8 =0 +8, temos: x²+6x+9=8.
Fatorando x²+6x+9=8, via algeplan, temos (x+3). (x+3)=8 :
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| Outro quadrado perfeito, agora de área (x+3)² |
Podemos agora reescrever:
x²+6x+9=8 é igual a (x+3). (x+3)=8 que, simplificando fica igual a (x+3)²=8.
Aplicando raiz quadrada dos dois lados da equação, temos:
x+3 = +- raiz quadrada de 8.
Isolando x, chegamos às raízes da equação proposta:
x+3-3 = -3 +- raiz quadrada de 8.
Daí, as respostas finais são:
x'= -3 +-raiz quadrada de 8.
x"= -3 - raiz quadrada de 8.
A equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio do tipo ax2+bx+c, em que a, b e c são números reais. Ao resolvermos uma equação de grau 2, estamos interessados em encontrar valores para a incógnita x que torne o valor da expressão igual a 0, que são chamadas de raízes, isto é, ax2 + bx +c = 0.
Leia também: Diferenças entre função e equação
Tipos de equações do 2º grau
A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0.
→ Exemplos
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 e c = – 6
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 e c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 e c = –1
A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os coeficientes são diferentes de 0, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.
A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos coeficientes b ou c são iguais a 0, isto é, b = 0 ou c = 0.
→ Exemplos
a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 e c= – 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 e c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b =0 e c =0
Atenção: o valor do coeficiente a nunca é igual a 0, caso isso ocorra, a equação deixa de ser do 2º grau.
A solução de uma equação do 2º grau ocorre, quando as raízes são encontradas, ou seja, os valores atribuídos a x . Esses valores de x devem tornar a igualdade verdadeira, isto é, ao substituir o valor de x na expressão, o resultado deve ser igual a 0.
→ Exemplo
Considerando a equação x2 – 1 = 0 temos que x’ = 1 e x’’ = – 1 são soluções da equação, pois substituindo esses valores na expressão, temos uma igualdade verdadeira. Veja:
x2 – 1 = 0
(1)2 – 1 = 0 e (–1)2 – 1 = 0
Para encontrar a solução de uma equação, é preciso analisar se a equação é completa e incompleta e selecionar qual método será utilizado.
O método para determinar a solução de equações incompletas que possuem b=0 consiste em isolar a incógnita x, assim:
→ Exemplo
Encontre as raízes da equação 3x2 – 27 = 0.
Se quiser saber mais sobre esse método, acesse: equação incompleta do 2º grau com coeficiente b nulo.
O método para determinar as possíveis soluções de uma equação com c =0, consiste em utilizar a fatoração por evidência. Veja:
ax2 + bx = 0
x·(ax + b) = 0
Ao observar a última igualdade, é notável que há uma multiplicação e que para o resultado ser 0, é necessário que, pelo menos, um dos fatores seja igual a 0.
x·(ax + b) = 0
x = 0 ou ax + b = 0
Assim, a solução da equação é dada por:
→ Exemplo
Determine a solução da equação 5x2 – 45x = 0
Se quiser saber mais sobre esse método, acesse: equação incompleta do 2º grau com coeficiente c nulo.
O método conhecido como método de Bhaskara ou fórmula de Bhaskara aponta que as raízes de uma equação do 2º grau do tipo ax2 + bx + c = 0 é dada pela seguinte relação:
→ Exemplo
Determine a solução da equação x2 – x – 12 = 0.
Note que os coeficientes da equação são: a = 1; b= – 1 e c = – 12. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
O delta (Δ) recebe o nome de discriminante e note que ele está dentro de uma raiz quadrada e, conforme sabemos, levando em conta os números reais, não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo.
Conhecendo o valor do discriminante, podemos realizar algumas afirmações a respeito da solução da equação do 2º grau:
→ discriminante positivo (Δ > 0): duas soluções para a equação;
→ discriminante igual a zero (Δ = 0): as soluções da equação são repetidas;
→ discriminante negativo (Δ < 0): não admite solução real.
Sistemas de equações do segundo grau
Quando consideramos simultaneamente duas ou mais equações, temos um sistema de equações. A solução de um sistema de 2 variáveis é o conjunto de pares ordenados que satisfaz simultaneamente todas as equações envolvidas.
→ Exemplo
Considere o sistema:
Com os valores: x’ = 2, x’’ = – 2 e y’ = 2, y’’ = – 2 podemos montar pares ordenados que satisfazem as equações do sistema simultaneamente. Veja: (2, 2), (2, – 2), (– 2, 2), (– 2, – 2).
Lembre-se de que um par ordenado é escrito da forma (x, y).
Os métodos para encontrar a solução de um sistema de equações são semelhantes ao de sistemas lineares.
→ Exemplo
Considere o sistema:
Da equação x – y = 0, vamos isolar a incógnita x, assim:
x – y = 0
x = y
Agora devemos substituir o valor isolado na outra equação, assim:
x2 – x –12 = 0
y2 – y –12 = 0
Utilizando método de Bhaskara, temos que:
Como x = y, teremos que x’ = y’ e x’’ = y’’. Ou seja:
x’ = 4
x’’ = -3
Assim, os pares ordenados são soluções do sistema (4, 4) e (– 3,– 3).
Leia mais: Sistema de equações do 1º e 2º grau
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (ESPM -SP) As soluções da equação abaixo são dois números
a) primos.
b) positivos.
c) negativos.
d) pares.
e) ímpares.
Solução
Sabemos que os denominadores de uma fração não podem ser iguais a zero, logo x ≠1 e x≠3. E como temos uma igualdade de frações, podemos realizar a multiplicação cruzada, obtendo:
(x+3) · (x+3) = (x – 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 – 2x – 1
x2 – 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) – 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 – 8x – 10 = 0
Dividindo por 2 ambos os lados da equação, temos:
x2 – 4x – 5 = 0
Utilizando a fórmula de Bhaskara segue que:
Observe que as raízes da equação são números ímpares.
Alternativa e.
Questão 2 – (UFPI) Um criador de aves verificou que, após colocar (n +2) aves em cada um dos n viveiros disponíveis, sobraria apenas uma ave. O número total de aves, para qualquer valor de n natural, é sempre
a) um número par.
b) um número ímpar.
c) um quadrado perfeito.
d) um número divisível por 3.
e) um número primo.
Solução
A quantidade de aves pode ser encontrada multiplicando o número de viveiros pela quantidade de aves colocada em cada um deles, pelo enunciado do exercício depois de fazer esse processo ainda sobra uma ave, podemos escrever tudo isso da seguinte maneira:
n·(n+2) +1
Realizando a distributividade vamos obter:
n2 + 2n +1
E fatorando esse polinômio segue que:
(n +1)2
Assim, o número toral de aves é sempre um quadrado perfeito para qualquer número natural n.
Alternativa C
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
