Como encontrar a raiz quadrada apartir de uma fatoraçao

Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas.

Calculando raízes

Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado.

A representação de raízes é feita da seguinte maneira:

*n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz.

Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a.

L·L·L·L...L·L = a

Raízes exatas e não exatas

Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas:

a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9

b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8

c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16

Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas:

a) Raiz quadrada de 2

b) Raiz cúbica de 3

c) Raiz quarta de 5

Cálculo de raízes não exatas

Caso 1 – Radicando primo

Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31:

Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois:

3,143 = 30,959144

Caso 2 – Radicando não primo

Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz.

Exemplo:

Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule:

Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256:

256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2

256 = 23·23·22

Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe:

Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado:

Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira:

Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação.

4·1,26·1,26 = 6,35

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestre em Física Teórica (UNICSUL, 2020)

Números decimais quando dentro de uma raiz quadrada possuem algumas peculiaridades ao calcular o seu valor, mas as propriedades sobre radiciação continuam valendo. Seja a igualdade dizemos que b é a raiz quadrada de a, ou seja:

O símbolo é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice.