Relações métricas no triângulo retângulo exercícios enem

Índice Show

Agora você pode fazer provas completas de vestibulares anteriores. Quer conhecer?
Olá, estamos implementando um modelo pioneiro de preparatório para o vestibular, baseado em tecnologia. E queremos te convidar para participar, gratuitamente.
Relações métricas nos triângulos no triângulo retângulo
Acesse aqui os Aulões do Blog do Enem! São videoaulas gratuitas e completas com os conteúdos mais relevantes para o Exame Nacional do Ensino Médio.
TERNOS PITAGÓRICOS
FÓRMULAS DE EUCLIDES

Agora você pode fazer provas completas de vestibulares anteriores. Quer conhecer?

Olá, estamos implementando um modelo pioneiro de preparatório para o vestibular, baseado em tecnologia. E queremos te convidar para participar, gratuitamente.

A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo retângulo, por isso é importante estudar tanto as suas características, como os seus elementos e as suas relações. Participe desta aula e dê um show em matemática no Enem!

Relações métricas nos triângulos no triângulo retângulo

O que é um triângulo retângulo? – É uma figura geométrica plana, composta por três lados e três ângulos internos. O que diferencia esse triângulo dos demais é que um dos seus ângulos inteiros é sempre igual a 90° (ângulo reto).

Revise o Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras está na raiz da Trigonometria. Se você ainda não domina com segurança que ‘A soma do quadrado dos Catetos é igual ao quadrado da Hipotenusa’, então é preciso revisar com esta aula online do professor Vinny, do Canal Curso Enem Gratuito.

Ela começa com as noções básicas de Geometria Plana, e logo entra no tema dos Triângulos. Veja:

https://youtu.be/m3FUnhCmWLs

Veja agora outra explicação para as Relações Métricas no Triângulo Retângulo:

Você precisa entender o triângulo para poder avançar nos cálculos de trigonometria. Na solução dos problemas sobre o triângulo retângulo, aplicaremos um conjunto de fórmulas denominadas relações métricas. Em outra oportunidade, veremos a existência de outro grupo de fórmulas denominadas relações trigonométricas.

As Relações métricas: são fórmulas que relacionam as medidas dos lados do triângulo e suas projeções entre si. Para isso vamos representar o triângulo retângulo apoiado sobre a hipotenusa.

Nessa representação que você viu acima temos:

Hipotenusa = a
Catetos = b e c
Altura relativa à hipotenusa = h
Projeções dos catetos sobre a hipotenusa = m e n

1) Teorema de Pitágoras: hip 2 = cat 2 + cat 2 Ou, traduzindo em palavras a representação da fórmula: a soma do quadrado dos catetos é igual ao cateto da hipotenusa. Agora, feche os olhos e tente fazer uma representação mental do Teorema de Pitágoras atuando nos cálculos de um Triângulo Retângulo.

Veja agora uma demonstração do Teorema de Pitágoras com a visualização da área gerada pelo Quadrado da Hipotenusa e pelo Quadrado de cada um dos Catetos.

Observe na demonstração gráfica do Teorema de Pitágoras na imagem abaixo que se você ‘somar as áreas geradas pelos quadrados dos catetos’ vai encontrar exatamente a mesma ‘área gerada pelo quadrado da hipotenusa’.

Veja esta imagem a seguir com calma. Trabalhe mentalmente esta representação gráfica para compreender o Teorema de Pitágoras. Nunca mais você esquece:

Confira novamente na figura acima a Demonstração Gráfica do Teorema de Pitágoras. Nunca mais você esquece esta lógica básica da matemática que está na raiz da Trigonometria. Observe novamente a imagem sem pressa para entender o Teorema de Pitágoras.

Assista agora a aula selecionada com o professor Sérgio Sarkis do Curso Enem Gratuito para melhor compreender o tópico abordado:

https://youtu.be/5bdiMyQWzRM

Gostou da aula?
Então, o professor Sérgio Sarkis é mesmo um show. Veja agora mais uma explicação das Relações no Triângulo Retângulo.

Curso Enem Gratuito

Quer aumentar suas chances no próximo Exame Nacional do Ensino Médio e mandar bem nas Notas de Corte do Enem? Estude com as apostilas e aulas gratuitas do Curso Enem Online. Todas as matérias do Exame e ainda as Dicas de Redação. Acesse aqui o Curso Enem Gratuito Online.

Acesse aqui os Aulões do Blog do Enem! São videoaulas gratuitas e completas com os conteúdos mais relevantes para o Exame Nacional do Ensino Médio.

Os textos e exemplos acima foram preparados pela professora Jaceli Eccher para o Blog do Enem. Jaceli é formada em Matemática habilitação Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina com Especialização no ensino de Ciências pelo Instituto Federal de Santa Catarina. Facebook: https://www.facebook.com/Jacelieccher

Encontrou algum erro? Avise-nos para que possamos corrigir.

Considere um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A.

Nesse triângulo retângulo ABC temos:

é a hipotenusa.

, são os catetos.

é a altura relativa a hipotenusa.

é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.

é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa.

As seguintes relações métricas são verdadeiras:

Vamos agora demonstrar essas relações.

Note que,

Traçando a altura

e dividindo em dois triângulos, temos:

Dessa forma, podemos observar que os três triângulos são semelhantes dois a dois.

Semelhança 1:

Como

, temos que

em que

Além disso, temos também que

em que

Semelhança 2:

Usando agora

, temos que em que b² = a.m.

Semelhança 3:

Usando agora

, temos que

em que h² = m.n.

Resumindo:

(o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto)

(o quadrado da altura é igual ao produto das projeções)

(o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura)

Uma consideração importante é que uma das formas de obtermos a fórmula do Teorema de Pitágoras vem dessas semelhanças. Note que somando, membro a membro, as duas relações a seguir, vem:

Colocando a em evidência, temos:

Sabemos que dessa forma, obtemos .

(A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa – Teorema de Pitágoras)

TERNOS PITAGÓRICOS

Chamamos de ternos pitagóricos os ternos de números naturais que atendem ao Teorema de Pitágoras.

Observe abaixo alguns exemplos:

3, 4 e 5.

6, 8 e 10.

9, 12 e 15.

5, 12 e 13.

10, 24 e 26.

Podemos notar que existe uma relação de proporcionalidade entre elementos dos ternos 3, 4 e 5 e os elementos dos ternos 6, 8 e 10 e do terno 9, 12 e 15.

Dizemos então que estes três ternos são da mesma família. Observe que ainda poderíamos obter mais ternos desta família apenas multiplicando o terno 3, 4 e 5 por outros números naturais.

Chamaremos de primitivo um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4 e 5), (5, 12 e 13), (7, 24 e 25), (8, 15 e 17) entre outros…