A análise combinatória é a matéria que desenvolve métodos para fazer a contagem com eficiência. Os problemas de contagem estão presentes no cotidiano, por exemplo, no planejamento de pratos em um cardápio, a combinação de números em um jogo de loteria, nas placas dos veículos, entre inúmeras outras situações. Show
A ideia é a seguinte: Imagine que você tenha 3 calças, 5 camisas e 2 sapatos e queira saber quantas são as combinações possíveis utilizando essas peças. Para isso basta efetuar a multiplicação, assim: 5 . 3 . 2 = 30 possibilidades de combinações. Esse é chamado de princípio multiplicativo. Exemplo 1. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6? Muitos problemas de Análise combinatória podem ser resolvidos utilizando o fatorial (n!), que é a multiplicação de números consecutivos: 4!= 4.3.2.1= 24. Exemplo 2. Calcule o valor de: 5! Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) 5.4.3.2.1 Essa propriedade utilizada na análise combinatória é a permutação, significa mudar a ordem, pense: De quantas maneiras distintas sete pessoas podem sentar em sete poltronas? Temos uma permutação de sete elementos, então: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 maneiras. Outras propriedades são: combinação e arranjo. A combinação é a formação de um grupo não ordenado. Vamos pensar dentro da contagem: Em uma turma de 30 alunos, 6 serão sorteados para uma viagem. Quantas possibilidades possíveis para esse sorteio? Lembre-se que a ordem do sorteio não importa.  Já arranjo forma grupos específicos, vejamos uma situação: Na formação de senhas para clientes, um banco disponibiliza oito dígitos entre: 0, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 8. Sabendo que cada senha é formada por três dígitos distintos, qual o número de senha? Lembre-se, aqui é importante a ordem dos elementos: A8,3= 8! 8! 8.7.6.5! 8 . 7 . 6 336 senhas. Grátis 164 pág.
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A6, 3 = 6 ? 5 ? 4 = 120 ou
A6, 3 = _
=
? ? ?
( )
6!
6 3 !
6 5 4 3!
3!
= 120
Portanto, podemos formar 120 números.
5. Quantos números de cinco algarismos distin-
tos podem ser formados, usando-se os alga-
rismos 1, 3, 5, 7 e 8?
Resolução
Queremos formar números (agrupamentos)
de cinco algarismos com os cinco algarismos
dados (1, 3, 5, 7 e 8). Dessa maneira, qualquer
um dos cinco algarismos dados pode ocupar
a ordem das dezenas de milhar, restando,
então, quatro algarismos para a unidade de
milhar, três para a centena, dois para a dezena
e, finalmente, um para a unidade.
5 algarismos
A5, 5 = P5
P5 = 5! = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120
Portanto, podem ser formados 120 números.
6. Considere a palavra LIVRO.
a) Quantos anagramas são formados com as
letras dessa palavra?
b) Quantos deles começam com L e terminam
com O?
c) Quantos contêm as letras RO juntas e nessa
ordem?
d) Quantos anagramas começam com I ou
terminam com V?
Resolução
a) Queremos formar anagramas (agrupamen-
tos) com um total de cinco letras distintas.
Nesse caso, os agrupamentos diferem
entre si pela ordem das letras.
5 letras
— — — — —
P5 = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120
Portanto, são formados 120 anagramas.
b) Os anagramas que iniciam com a letra L e
têm a letra O no final são do tipo:
3 letras
L — — — O
Fixadas essas duas letras, serão então:
P3 = 3 ? 2 ? 1 = 6
Portanto, são formados 6 anagramas.
c) Se as letras RO ficarem juntas, nessa ordem,
temos:
1 só letra 3 letras
— —R O — — —
As letras RO serão contadas como uma só
letra e, com as três letras restantes, teremos
um total de quatro letras para serem agru-
padas 4 a 4. Assim, obtemos:
P4 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24
Portanto, são formados 24 anagramas.
d) Anagramas que começam com I:
4 letras
I — — — —
P4 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24
Anagramas que terminam com V:
4 letras
— — — — V
P4 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24
Pelo princípio aditivo, temos, então, no má-
ximo 48 possibilidades, pois:
P4 + P4 = 24 + 24 = 48
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G
U
I A
P
N
L
D
Agora, precisamos analisar se existem re-
petições nessas possibilidades calculadas.
• Apresente dois casos para exemplificar
que essas repetições existem.
• Como são essas repetições?
PENSE E
RESPONDA
Essas repetições são os anagramas que co-
meçam com I e terminam com V:
3 letras
I — — — V
P3 = 3 ? 2 ? 1 = 6
Portanto, temos de excluir essa intersecção.
Assim, temos:
48 _ 6 = 42
Portanto, são 42 anagramas com essa
configuração.
7. Quantas comissões de três participantes
podem ser formadas com cinco pessoas?
Resolução
Para classificar um agrupamento como arran-
jo ou combinação, procedemos da seguinte
maneira:
1o) Formamos o agrupamento sugerido pelo
problema;
2o) Mudamos a ordem de seus elementos;
3o) Se com essa mudança de ordem
obtivermos agrupamentos que são consi-
derados iguais, esses agrupamentos serão
combinações.
As comissões devem ter três participantes,
isto é, nem todos os participantes farão parte
da comissão.
Vamos chamar de A, B, C, D e E as cinco pes-
soas que podem ser indicadas para a comis-
são. Se tivermos, por exemplo, uma comissão
formada por A, B, C, mesmo se invertermos a
ordem para B, A, C ou C, B, A, continuaremos
com a mesma comissão. Assim, devemos re-
tirar as repetições, pois cada comissão gera 3!
sequências de três participantes. O problema,
portanto, é de combinação.
Temos, pelo princípio multiplicativo:
5 4 3
3 2 1
5 2 10
? ?
? ?
= ? = .
Resolvendo a questão com a fórmula da com-
binação, temos:
Cn, p = !
,A
p
n p h C5, 3 = 3!
5, 3A
C5, 3 =
60
6
= 10 ou
Cn, p =
!
! !
n
p n p_( ) h C5, 3 =
5!
3!2!
= 10
Portanto, podemos formar 10 comissões.
8. Uma classe tem dez estudantes do sexo femi-
nino e cinco estudantes do sexo masculino.
Formam-se comissões de quatro estudantes
do sexo feminino e dois estudantes do sexo
masculino. Determine o número de comissões
em que participa a estudante X e não partici-
pa o estudante Y.
Resolução
A comissão deve ter seis pessoas.
4 estudantes
do sexo feminino
X
2 estudantes do
sexo masculino
• Como a estudante X faz parte da comissão,
restam nove estudantes do sexo feminino,
dentre as quais devemos escolher três,
isto é, C9, 3.
• Como o estudante Y não faz parte da co-
missão, restam quatro estudantes do sexo
masculino, dentre os quais devemos esco-
lher dois, isto é, C4, 2.
Então, pelo princípio fundamental da conta-
gem, o número de comissões é dado por:
C9, 3 ? C4, 2 =
9!
3!6!
4 !
2! 2!
?
?
h C9, 3 ? C4, 2 = 504
Portanto, serão 504 comissões.
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G
U
I A
P
N
L
D
13. Quantos números de cinco algarismos distin-
tos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 e 9?
14. De quantas maneiras nove pessoas podem se
sentar em três cadeiras?
15. Quantos números de três algarismos, sem repe-
tição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?
16. Sabendo que uma bandeira tem quatro faixas
horizontais:
a) quantas são as possibilidades de pintá-la
com quatro cores distintas, escolhendo
entre: vermelho, laranja, amarelo, verde,
azul, roxo e marrom?
b) quantas bandeiras podemos pintar se,
além da condição do item a, a cor amarela
estiver sempre presente?
17. Considerando todos os números de seis alga-
rismos distintos formados com os algarismos
1, 2, 3, 4, 6, 7 e 9, determine quantos são:
a) pares; b) ímpares.
18. Considere o conjunto A = {0, 1, 4, 5, 7, 8}.
Utilizando os elementos desse conjunto,
responda:
a) Quantos números distintos podemos es-
crever com cinco algarismos?
b) Dentre os números do item a, quantos são
ímpares?
c) Quantos números de quatro algarismos
distintos contêm os dígitos 1 e 5?
19. Com os algarismos 0, 1, 2, 4 e 5, sem os repetir,
quantos números compreendidos entre 200 e
1 000 podemos formar?
20. Considere a palavra FELINO.
a) Quantos são os anagramas dessa palavra?
b) Quantos começam com a letra N?
c) Quantos terminam por vogal?
d) Quantos apresentam as letras E, L e I juntas
e nessa ordem?
e) Quantos apresentam as letras E, L e I juntas
e em qualquer ordem?
> ATIVIDADES NÃO ESCREVA NO LIVRO
21. (UFSM-RS) Para cuidar da saúde, muitas pes-
soas buscam atendimento em cidades maio-
res, onde há centros médicos especializados
e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o
transporte até essas cidades é feito por vans
disponibilizadas pelas prefeituras.
Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 pas-
sageiros e o motorista. De quantos modos
distintos os 9 passageiros podem ocupar suas
poltronas na van?
a) 4.032.
b) 36.288.
c) 40.320.
d) 362.880.
e) 403.200.
22. (UFMG) Permutando-se os algarismos do
número 123 456, formam-se números de seis
algarismos.
Supondo-se que todos os números formados
com esses seis algarismos tenham sido colo-
cados numa lista em ordem crescente,
a) DETERMINE quantos números possui essa
lista.
b) DETERMINE a posição do primeiro número
que começa com o algarismo 4.
c) DETERMINE a posição do primeiro número
que termina com o algarismo 2.
23. Quantos anagramas da palavra EDITORA:
a) começam com A?
b) começam com A e terminam com E?
24. Um estudante ganhou quatro livros diferentes
de Matemática, três diferentes de Física e dois
diferentes de Química. De quantos modos dis-
tintos esses livros podem ser enfileirados em
uma prateleira de uma estante, mantendo
juntos os da mesma disciplina?
25. Quantos anagramas tem cada palavra a seguir?
a) PATA
b) PARALELOGRAMO
c) GUANABARA
26. Determine a quantidade de números distintos
obtidos da permutação dos algarismos dos
números:
a) 73 431 b) 343 434
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Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados 1 2 3 4 5 6 7 8 9?Resposta : 120 números.
Quantos números distintos de 5 algarismos podemos formar usando o 1 2 3 4 é 5?Resposta correta: c) 720 maneiras.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar 1 2 3 4 5 6 7?Portanto, temos um total de 343 combinações diferentes.
Quantos números de cinco algarismos distintos podem ser formados UsandoQuantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9. Resposta: P(5)=120.
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Quantos números de cinco algarismos distintos formamos com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7?
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