PROBABILIDADE DEFENSIVA Show 1. O que é Probabilidade? Experiências que são repetidas sob as mesmas condições e que produzem resultados diferentes são chamadas de aleatórias. Como por exemplo: lançar uma moeda, lançar um dado, retirar uma carta de um baralho, sortear um número. Em experiências aleatórias não temos como garantir o resultado que será encontrado, mas podemos calcular as chances de um determinado resultado ocorrer, ou seja, calcular a probabilidade de certo resultado (que chamaremos de evento) ocorrer. Podemos definir a probabilidade como as chances de um resultado ocorrer entre todos os demais que podem acontecer. Esses resultados são chamados de EVENTO e todos os eventos que podem ocorrer são chamados de ESPAÇO AMOSTRAL. Vamos às definições: 2. Espaço Amostral Definimos por Espaço Amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, geralmente esse
conjunto é indicado por U ou S Exemplos: 1) Jogar um dado e observar o número da face que ficar para cima, o espaço amostral desse experimento aleatório seriam todas as possibilidades, ou seja: S={1,2,3,4,5,6} e o número de possibilidades seria 6, ou seja; n(S)=6 2) Sortear uma bola em uma urna que contém 100 bolas numeradas de 1 à 100. S = {1,2,3,4,...,100} e o número de possibilidades
seria 1000, ou seja: n(s) = 100 3. Evento Um Evento pode ser definido como a ocorrência ou resultado desejado entre todos os possíveis. Dessa forma, definimos como evento qualquer subconjunto de um Espaço Amostral S. Exemplos: Assim, E = {2,4,6} e o número de possibilidades de E é
igual a 3, ou seja n(E) = 3 . 2) O Evento “ lançar uma moeda e observar a face voltada para cima e esta ser Coroa” é o subconjunto E {coroa} de todos os resultados possíveis S {cara, coroa} Assim, E = {coroa} e o número de possibilidades de E é igual a 1, ou seja, n(E) = 1. 4. Probabilidade de um Evento ocorrer Podemos definir a probabilidade P(E) de um evento equiprovável ocorrer é dada pela razão (divisão) entre o número de elementos dos eventos
desejados (subconjunto do espaço amostral) pelo número total de eventos possíveis (espaço amostral) P(E) = ________Número de elementos dos evento desejado________ ou seja : P(E) = N(E) Exemplo: Vamos calcular a seguinte probabilidade: Considere o lançamento de um dado honesto (ou seja, todos os resultados são igualmente possíveis) , ao lançar o dado e observarmos a face voltada para cima, qual será a probabilidade da face ser igual ao número 5? Temos então: Então a Probabilidade deste evento ocorrer é : P(E) =
n(E) = 1 = 0,16666666.... = 16,66% ou 16,67% 5. Probabilidade da União de Dois Eventos Tratamos como união de dois eventos quando são eventos que podem ocorrer em um mesmo espaço amostral, ou seja, levamos em consideração o resultado de um ou o resultado do outro. Assim, e A e B são eventos em um mesmo espaço amostral S, então A união com B, ou seja A U B é o evento que ocorre se, e somente se, ocorre o Evento A ou ocorre o Evento B. Calculamos essa probabilidade somando a probabilidade dos dois eventos, mas subtraindo a probabilidade de eventos que podem ser comum aos dois eventos. Da seguinte forma: Ou seja: é a soma das probabilidades dos dois eventos, porém subtraindo aquilo que é comum aos dois eventos (para que não seja somado em duplicidade) Exemplo: Vamos considerar novamente o lançamento de um dado honesto, e os seguintes eventos: E1 = “ser par” e E1 = “ sem divisor de 6” Não podemos simplesmente somar as duas Probabilidades, pois se olharmos mais detalhadamente verificaremos que o número 6 aparece tanto no Evento E1 (ser par) como no Evento E2 (divisor de 6) , assim, estaremos contando duas vezes um mesmo elemento, por isso a necessidade de diminuir o elemento que é comum aos dois eventos. Dessa forma, temos então que a Probabilidade de “ser par” ou “ ser divisor de 6” é dada por: P(E1 U P2) = P(E1) + P(E2) - P (E1 ∩ E2) P(E1 U P2) = 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6 = 5/6 = 0,8333333... = 83,33% 6. Probabilidade de Eventos Simultâneos (ou sucessivos) Considere A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, eles são ditos independentes quando a realização de um, não afeta a probabilidade do outro e vice-versa, e são ditos simultânenos ou sucessivos quando ocorre se, e somente se, o Evento A e ocorre o Evento B. Para eventos independentes, calculamos a probabilidade destes eventos através do teorema da multiplicação que é dado por: P(A ∩ B) = P(A) . P(B) Ou seja, a Probabilidade do evento A ocorrer e o evento B ocorrer, será dada pela multiplicação entre as probabilidades. Exemplo 1: Vamos inicialmente ao cálculo da probabilidade de cada um dos eventos. Vamos aos eventos: E1 = “ ser 2” , então E1 = {2} e temos que n(E1) = 1 P(E1 ∩ E2) = P(E1) . P(E2) P(E1 ∩ E2) = 1/6 . 2/6 = 2/36 = 1/18 = 0,05555555... = 5,55% Para eventos em que um pode interferir no resultado do outro (ou seja, eventos dependentes) precisamos de uma análise mais detalhada. Exemplo 2: Uma rifa contém 20 números e serão realizados dois sorteios sucessivos. Eu possuo 4 números dessa rifa, qual a probabilidade de eu ser premiado tanto no primeiro quando no segundo sorteio? Vamos a analise: O
detalhe que temos que considerar nesta questão é que se eu for premiado com um número no primeiro sorteio, eu tive 4 chances em 20 , e para ser premiado novamente em um segundo sorteio, eu terei 3 chances em 19 (pois já saiu um número no sorteio anterior) Assim a probabilidade será dada por: P(E1 ∩ E2) = P(E1) . P(E2) P(E1 ∩ E2) = 4/20 . 3/19 = 12 / 380 ≅ 3/95 = 0,0315789 ≅ 3,16% Também podemos utilizar a expressão P(E1 ∩ E2) = P(E1|E2) . P(E2) ou seja, E2|E1 que dizer, E2 ocorrer, sabendo que E1 já ocorreu, que nos leva ao mesmo raciocínio exposto acima. Exemplo 3: Dependendo da questão, quando o que nos interessa é uma combinação de resultados podemos construir um diagrama de árvore para o experimento e associar probabilidade a cada um de seus galhos. Vamos a um exemplo: Ao lançarmos uma moeda três vezes, qual a probabilidade de obtermos exatamente duas coroas? Vamos ao diagrama (no qual C= Coroa e K = Cara) Podemos calcular essa probabilidade de duas formas: 1) Através do diagrama, verificamos que são 8 resultados diferentes para os três lançamentos. Assim P(K) = 3/8 = 0,375 = 37,5% 2) Analisarmos como dois eventos sucessivos e dependentes, pois o segundo evento depende da ocorrência do segundo.
Caro(a) estudante, esperamos poder ajudá-lo no entendimento do tópico de Probabilidade. A probabilidade merece destaque, pois está ligada diretamente a vários fatos de nossa vida real como a previsão do tempo, a probabilidade aplicada a genética, em química, jogos e outros. Para saber mais sobre o assunto, deixamos aqui algumas sugestões de outros objetos de aprendizagem e de alguns textos interessantes sobre o assunto, converse com seu professor(a) e explore o tema, temos certeza de que será muito interessante. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI , Gelson et al – Matemática: ciências e aplicações - Volume 2 – São Paulo: Atual, 2004. Quantos e quais são os resultados possíveis para o lançamento de uma moeda três vezes?Resolução: Dentro da construção do espaço amostral do lançamento de uma moeda três vezes, observa-se que o evento de ocorrência de exatamente uma coroa é: {(coroa, cara, cara), (cara, coroa, cara), (cara, cara, coroa)} Logo, observa-se três resultados possíveis.
Quais e quantas são as possibilidades ao lançarmos 4 moedas diferentes?A probabilidade é igual a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Ao lançarmos 4 moedas distintas, podemos obter 2.2.2.2 = 16 resultados possíveis.
Qual é a chance de dar cara no lançamento de uma moeda?Pois bem, em certa ocasião, o matemático inglês John Kerrich teve a paciência de lançar uma moeda 10 mil vezes e anotar todas as ocorrências. Ao final do experimento, ele registrou um total de 5.067 caras e 4.933 coroas, ou seja, uma probabilidade de ocorrência de cara igual a 50,67%.
Qual é o número total de possibilidades de resultado no lançamento de cinco moedas?Qual é o número total de possibilidades de resultado no lançamento de 5 moedas? Portanto, são 32 possibilidades diferentes.
|