Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } Show
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número. É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N Ì Z. Define-se o módulo de um número inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico. Assim é que , representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos: | –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo. Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a. Propriedades dos números inteiros:1 – Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. 2 – Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições : Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ³ ou £ os quais possuem a seguinte leitura: Assim por exemplo, x £ 3, significa que x poderá assumir em Z os valores Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ... É óbvio que o zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número negativo é menor do que zero. ... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... A qualidade dos números negativosTodo número natural tem um aspecto quantitativo, pois mede a quantidade de elementos de um conjunto. Mas esse número também traz uma ideia qualitativa, que é a positividade. Assim, ao dizer “5 livros”, traduzimos uma afirmação positiva sobre essa especifica quantidade de livros. Mas a experiência nos leva à necessidade de considerar números naturais com a qualidade de negativo. Podemos fazer isso com uma construção do tipo “faltam-me 5 livros”, ou então “a temperatura está 8 graus abaixo de zero”. A Álgebra também apresenta situações em que se faz necessário considerar os números naturais com a qualidade de negatividade. Por exemplo, ao procurar uma possível solução x da equação 7 + x = 3, vemos que nenhum número natural pode exercer esse papel. Percebemos que o valor quantitativo de x deve ser 4, mas x deve agir na operação 7+x de forma oposta à adição usual. É necessário que +x opere retirando quatro unidades de 7, para resultar 3. Essas observações nos trazem a ideia de considerar, para cada número natural n 6= 0, um outro número, quantitativamente igual a n mas de qualidade oposta. Chamaremos de negativos a esses números. Convém criar uma notação para esse novo número, por exemplo, ñ. Vemos que ñ deve ser caracterizado pelas relações n + ñ = 0 = ñ + n para todo número natural Em particular, com a construção desses números, poderemos dizer que a solução da equação 7 + x = 3 dada acima passaria a ser x = ~4, pois 7 + ˜4 = 3 + 4 + ˜4 = 3 + 0 = 3. O estudante bem sabe que a Matemática consagrou a notação −n para o número negativo correspondente a n. Diremos que −n é o oposto de n. Existem razões práticas para a escolha da notação −n para o oposto de n. Ela simplifica a manipulação de expressões algébricas, combinando a notação de subtração com a de oposto. Por exemplo, a adição de 8 com −5, a ser representada por 8 + (−5), poderá ser simplificada para 8−5, pois ambas as expressões tem o mesmo significado: estão sendo retiradas 5 unidades de 8. Observamos que a consideração dos números negativos não constituem uma mera substituição da subtração. No contexto dos números naturais a subtração a−b só tem sentido quando a ≥ b. No novo contexto, com o acréscimo dos números negativos, poderemos processar a subtração a − b quaisquer que sejam o números naturais a e b. Se b > a o valor de a − b será um desses números negativos, mais exatamente, o oposto de b − a. Operações em Z1 – Adição:a + b = a mais b.A adição é a primeira operaçãoo fundamental da Aritmética, e dela derivam todas as outras. A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras: a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum. Exemplos: (-3) + (-5) + (-2) = - 10 b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em módulo. Exemplos: (-3) + (+7) = + 4 Propriedades: Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
2 – Subtração:A subtração é inversa da adição. Enquanto a adição está relacionada com os conceitos de acrescentar e juntar, a subtração corresponde a retirar e completar. Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números inteiros, sempre será um outro número inteiro. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7. A subtração de dois números inteiros será feita de acordo com a seguinte regra: a – b = a + (-b) Exemplos: 10 – (-3) = 10 + (+3) = 13 3 – MultiplicaçãoÉ um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número inteiro a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n A multiplicação de números inteiros, dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais: (+) x (+) = + (-3) x (-4) = +12 = 12 Propriedades:Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, através de um exemplo, para o fato do produto de dois números negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir: Considere o seguinte produto: Observa-se então que realmente: [(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30. 4 – Potenciação:É um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a n , onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc. Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que: a) Toda potencia de base negativa e expoente par não nulo, tem como resultado um número positivo. Exemplos: (-2)4 = +16 = 16 b) Toda potencia de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo. Exemplos: (-2)3 = - 8 5 – DivisãoO conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o quociente de dois números inteiros nem sempre é um inteiro. A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a multiplicação, ou seja:
(+) : (+) = + Exemplos: (–10) : (– 2) = + 5 = 5 Para finalizar, vamos mostrar duas regras de eliminação de parêntesis ( ), que poderão ser bastante úteis: R1) Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores. Exemplo: + (3 + 5 – 7) = 3 + 5 – 7 = 1 R2) Todo parêntese precedido do sinal – pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das parcelas interiores. Exemplos: – (3 + 4 – 7) = – 3 – 4 + 7 = 0 Originalmente publicado em: http://www.paulomarques.com.br/arq11-10.htm (com adptações)Qual é o resultado da multiplicação de um número inteiro positivo ou negativo por?+ · + = + → O produto de dois números positivos é sempre positivo. – · – = + → O produto de dois números negativos é sempre positivo. + · – = – → O produto de um número positivo por um número negativo é sempre negativo. – · + = + → O produto de um número negativo por um número positivo é sempre negativo.
Qual é o resultado da divisão de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo?A divisão exata de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo resulta em um número negativo.
Qual é o resultado da multiplicação de um número inteiro?Os dois números possuem o mesmo sinal. Podemos verificar que na multiplicação de números inteiros ao multiplicamos números com sinais iguais, temos que o resultado é um número positivo, e quando multiplicamos números com sinais diferentes, o resultado é um número negativo.
Qual é o resultado da divisão de zero por um número inteiro positivo ou negativo?O zero dividido por um número positivo ou negativo é tanto zero ou expresso como uma fração com zero como numerador. Zero dividido por zero é zero."
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