Qual a probabilidade de sair cara duas vezes?

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES

Ronaldo Entler, 1997

Num jogo de cara ou coroa, qual a probabilidade de a moeda cair do lado cara? O cálculo é bastante simples: o número de resultados esperados (1, exatamente o resultado cara) dividido pelo número de resultados possíveis (2, cara e coroa). Ou seja, a probabilidade é de 1/2, isto é um resultado satisfatório a cada dois lances (nesse caso, podemos dizer ainda que a probabilidade é de "um para dois", ou que temos "50% de chance").

Isso pode ser traduzido enganosamente como: terei um resultado cara a cada dois lances. Mas não é tão simples assim. Se você espera cara e, no primeiro lance, você obteve coroa, o lance seguinte tende a resultar em cara? NÃO. Dizemos que os lances sucessivos são independentes, o que significa que a cada lance o cálculo deve ser refeito. Se no primeiro lance deu coroa, no segundo, a probabilidade de obter cara continua sendo de 1/2. Esse número significa que, após a opbservação de um número imenso de lances (um número que tende ao infinito), você terá aproximadamente a mesma quantidade de resultados cara e de resultados coroa. É por isso que a teoria das probabilidades é conhecida como teoria dos grandes números. No máximo, podemos dizer que essa teoria sugere que, se você apostar um número muito grande de vezes nesse jogo, você tende a ganhar em 50% dos casos e perder nos outros 50%.

Algumas pessoas, quando apostam na loto, observam os últimos sorteios e constatam que há um conjunto de números que ocorreu poucas vezes, ou nenhuma vez. Se a probabilidade diz que todos os números tem as mesmas chances de serem sorteados, essa pessoa conclui que no próximo sorteio, esses números têm maiores chances de ocorer. Essa idéia é equivocada, pois cada sorteio é independente, e a probabilidade de cada número ser sorteado continua sendo a mesma do  dia em que a loto foi inventada.

Se quisermos saber as probabilidades de tirarmos cara duas vezes, em dois lances consecutivos, as probabilidades se multiplicam ("multiplicar" aqui não tem nada a ver com "obter um número maior", pois estamos multiplicando frações). Então, se quero ter cara em dois lances, o cálculo é 1/2 x 1/2 = 1/4 ou 25%. Cara em três lances: 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8 ou 12,5%.

Se o jogo consiste em obter o resultado cara, pelo menos uma vez, lançando simultaneamente duas moedas podemos ter a ilusão de que as probabilidades se somam: 50% para uma moeda + 50% para outra = 100%. Isso está errado! Para efetuar esse cálculo, é preciso voltar à definição básica de probabilidade: o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis. Quais são os casos possíveis no lançamento de duas moedas (chamaremos cada uma de moeda A e moeda B):

1) cara na moeda A e cara na moeda B (favorável) 
2) cara na moeda A e coroa na moeda B (favorável) 
3) coroa na moeda A e cara na moeda B (favorável) 
4) coroa na moeda A e coroa na moeda B (não favorável)

Temos 3 casos favoráveis dentro de 4 casos possíveis. Ou seja, a probabilidade em questão é de 3/4 ou 75%.

Vamos pensar agora num outro jogo, um pouco mais complexo. Se alguém joga um dado, a probabilidade de obter o número 6 é de 1/6. Suponha que o jogo consista em obter a soma 12 no lançamento de 2 dados, o que só é possível com dois números 6.

Qual é o número de combinações possíveis no lançamento de dois dados? Podemos anotar um a um e contar: 1 e 2, 1 e 3, 1 e 4 ... 2 e 1, 2 e 2 ... 3 e 1, 3 e 2 etc. Mas existe uma conta simples para isso: basta multiplicar os resultados possíveis em um dado, pelos resultados possíveis em outro dado: 6 x 6 = 36. Temos 36 combinações possíveis. Se a probabilidade é o número de resultados favoráveis dividido pelo número de resultados possíveis, a probabilidade de termos a soma 12 (6 e 6, em cada dado) é de 1/36.

Mas se a soma for 10, isso pode acontecer atrvés de 3 combinações diferentes: 4 e 6, 5 e 5 ou 6 e 4. Temos três resultados favoráveis em 36 resultados possíveis. As probabilidades são portanto de 3/36 = 1/12.

Há uma regrinha aqui que podemos apreender. Se esperamos o resultado 6 num dado e 6 no outro, dizemos que esses eventos são compatíveis, porque podem acontecer ao mesmo tempo. Nesse caso, simplesmente multiplicamos a probabilidade referente a cada dado: 1/6 x 1/6 = 1/36. Multiplicamos as probabilidades quando se espera um "e" outro evento, ao mesmo tempo.

Se jogo consiste no lançamento de um único dado, onde eu ganho se o resultado for 1 ou 6, dizemos que esses resultados são incompatíveis, pois não podem acontecer simultaneamente. esses números são incompatíveis porque não podem ocorrer ao mesmo tempo. Neste caso, somamos a probabilidade de cada evento: 1/6 para o número 1 + 1/6 para o número 6 = 2/6 ou 1/3.

As probabilidades nos jogos

Há ainda um outro dado a ser considerado, no caso das loterias, bingos, jogos de cassinos e coisas do gênero. Eles são feitos de tal forma que a probabilidade de o jogador ganhar é menor do que a de perder. Vejamos, a esse respeito, dois argumentos diversos:

"O prazer de se entregar aos jogos do puro acaso, oscila entre a vertigem do desconhecido e o cálculo de combinações sutis, entre a subjetividade humana e a ciência exata das estatísticas. O jogador tem prazer em elaborar suas combinações originais. Ele desafia as leis do destino, ele sabe convenientemente que, se as probabilidades de ganhar são pequenas, há sempre essa possibilidade mágica de faturar o grande prêmio e, assim, se tornar rico instantaneamente, sem esforço! Com sorte, o feliz evento ocorre, mesmo que suas probabilidades de realização sejam pequenas".

Este parágrafo exprime bem as motivações que muitos tem para apostar seu dinheiro na esperança de ficar rico, mas observemos bem a sua origem: trata-se do fragmento de um texto publicado pela Associação Européia das Loterias e Lotos Estatais, que representa a única parte que sempre sai ganhando.

Em contrapartida, o físico David Ruelle observa:

"As loterias são uma forma de imposto livremente consentida pelas camadas menos favorecidas da sociedade. O usuário compra não muito caro um pouco de esperança de ficar rico. Mas a probabilidade de ganhar o grande prêmio é muito pequena: é o gênero de probabilidades que costumamos negligenciar (como a de receber na cabeça um objeto mortífero enquanto caminhamos pela rua). De fato, os ganhos, grandes ou pequenos, não compensam em média o preço dos bilhetes, e o cálculo das probabilidades mostra que temos praticamente certeza de perder dinheiro se jogarmos regularmente. Tomemos o exemplo de uma loteria um pouco simplificada, em que a probabilidade de ganhar é de 10% e em que se ganha cinco vezes a aposta. Num grande número de extrações, a proporção de vezes em que se ganha é próxima de 1/10 e, como ganhamos cinco vezes a aposta, o ganho total é de cerca de metade da despesa total. Assim, quanto mais bilhetes compramos, mais dinheiro perdemos, e isto continua a ser verdade para as loterias mais complicadas, já que todas as loterias são feitas para depenar o jogador em proveito do organizador.

(...) De fato, comprar um bilhete de loteria de vez em quando pode não ser loucura, se obtivermos com isso um prazer adequado. Os tratados de economia discutem a lógica da coisa (e também por que é bom subscrever contratos de seguros, mesmo se as companhias tem lucros indecentes). O que vimos é que não devemos esperar enriquecer comprando bilhetes de loteria" (David Ruelle, Acaso e Caos, São Paulo, Editora da Unesp, 1993. pp. 31-32).

Em todo o caso, se você quiser arriscar, e se lhe faltar alguma grande intuição, obtenha um palpite na seção "Jogos e números ao acaso", e aproveite para ver como funciona a simulação de um sorteio por um programa de computador.

Qual a probabilidade de sair cara 2 vezes?

Qual a chance de sair cara?

Qual a probabilidade de sair duas caras é duas coroas?

Qual a probabilidade de sair cara 3 vezes?