Uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função. Essa função aparece na equação sob a forma das suas derivadas. Show Veja um exemplo de uma equação diferencial simples: $$ \frac{dy(t)}{dt}= 2 y(t) $$ Essa equação pode ser lida como “qual é a função y(t) cuja derivada é igual a duas vezes ela mesma?” Resolver uma equação dessas pode ser bastante trabalhoso.1) Mas se uma inspiração sobrenatural te disser que “a resposta é $\exp(2x)$”, nós podemos verificar que essa resposta está correta. Se $y(t)=\exp(2x)$, a derivada de $y(t)$ é $2\exp(2x)$ (lembre da regra da cadeia), que é, de fato, duas vezes a própria $y(t)$. Normalmente, escrevemos a EDO com a derivada de $y(t)$ do lado esquerdo. Um caso simples de EDO é aquele em que o lado direito não envolve a função $y$, e portanto depende só de $t$: $$ \frac{dy(t)}{dt}= f(t) $$ Podemos solucionar essa equação da seguinte forma:
O que nos dá uma solução geral: $$ y = \int{f(t) dt} $$ Um caso mais complicado é aquele em que a derivada da função depende tanto de $y$ como de $t$. Escrevemos: $$ \frac{dy(t)}{dt}= f(y, t) $$ Vamos retomar esse caso na sessão de soluções numéricas. Uma EDO simples no MaximaVamos usar o Maxima para resolver uma função simples para nós. Lembre-se da EDO da sessão anterior, mas agora vamos trocar a constante 2 por um parâmetro $r$: $$ \frac{dy(t)}{dt} = r y(t)$$ Nossa equação verbalmente colocado é: a taxa de variação instantânea da nossa variável de interesse é proporcional a ela própria. Ou seja: quanto maior o valor de $y$, maior a taxa de crescimento! Para resolver isso no Maxima, use 'diff(y(t),t)=r*y(t); ode2(%, y(t), t);Essa equação parece familiar? Vamos resgatá-la mais a frente no curso: é a equação do modelo de crescimento populacional exponencial, a estrutura básica de muitos outro modelos. Faça o gráfico dessa função para $ r=0.2 $ e estado inicial igual a 10! plot2d(10*exp(0.2*t),[t,0,20]);Outra função simplesVamos pensar em outro caso, onde a taxa de variação instantânea é positiva e tende a zero quando o valor da nossa variável aproxima a um. Em outras aumenta muito quando o valor e pequeno e muito pouco quando o valor aproxima-se a um. $$ f(x)=f(x)* (1-f(x)) $$ 'diff(f(t),t)=f(t)*(1-f(t)); ode2(%,f(t),t);Talvez não reconheça essa função, faça exponenciação de ambos os lados que ela parecerá mais simpática. Ela é a solução do exemplo anterior multiplicada por uma expressão que funciona como um freio que aperta mais forte conforme chega perto de um. Elá é a base dos modelos logísticos populacionais. Soluções NuméricasEssas primeiras equações diferencial foram fáceis de resolver no Maxima . Mas não se acostume, nem sempre é assim. Muitas equações não tem soluções algébricas2) e precisam ser resolvidas com métodos chamados de “força bruta”. São geralmente computacionalmente intensos, mas com um computador pessoal podemos fazer maravilhas… O processo básico é bem simples, muito parecido com o que fizemos para resolver as derivadas, mas existem muitas outras técnicas mais robustas.Método de EulerEle é bastante simples, e consiste em fazer uma aproximação da curva usando as tangentes em diferentes pontos. Vamos pegar a função:
Como vimos:
Podemos usar um intervalo de tempo arbitrário, por exemplo 0.1, o que nós dá :
Ou seja, sendo que $N(0)=20$, no tempo 0.1, temos que:
No tempo 0.2, temos que:
E assim por diante …. $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ Note que quanto menor o intervalo de tempo que usamos melhor é a precisão da nossa aproximação, lembrando que $\Delta t -> 0 $ Podemos repetir isso para os próximos intervalos de tempo no .A aproximação foi boa? Tente repetir o mesmo código com dt = 0.01 e 0.001 e compare. Integração Numérica no RNão precisamos fazer todo o procedimento anterior para fazer a integração numérica no , existem soluções implementadas previamente que são muito mais eficientes e robusta que a nossa. Vamos integrar numericamente algumas equações usando o pacote deSolve e a função ode. Antes de tudo precisa instalar e carregar o pacote. Para instalar você pode usar o menu do RGui ou pela linha de comando, digite: install.packages("deSolve")Carregando o pacote e olhando o help da função ode: library(deSolve) ?odeMuito bem! Agora que já temos o pacote carregado, vamos integrar numericamente algumas funções, ou seja, calcular o valor para cada tempo infinitesimal dentro de um amplitude de valores. Uma função simplesVamos primeiro usar uma função simples: $$ \frac{dy}{dt} = y-\frac{y^2}{K} $$
Será que a função ode fez mágica? Ela apenas usa um método parecido com o de Euler, que vimos acima, para achar a solução numérica de uma ode. Uma outra função simplesAgora nossa equação é: $$\frac{dy}{dt}= y(ay^2 + by + r) $$ Veja o código abaixo: fy2 <- function(time,y,parms) { n=y[1] a=parms[1] b=parms[2] r=parms[3] dy.dt=n*(a*n^2 + b*n + r) return(list(c(dy.dt))) } prmt = c(a=-1,b=4, r=-1) y0 = 1 st=seq(0.1,20,by=0.1) res.fy2= ode(y=y0,times=st, fy2,parms=prmt) plot(res.fy2[,1], res.fy2[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")Agora é com vc.
Agora é realmente com vc.Faça a integração numérica para as seguintes funções:
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