Como achar raiz quadrada de complexo

Os números complexos, também conhecidos como números imaginários, são números que não existem no mundo real, mas nem por isso eles deixam de ser importantes. Na página sobre conjuntos numéricos, falamos um pouco sobre esse conjunto e dissemos que ele abrange todos os números reais. Mas então, o que mais eles têm a oferecer?

Os números complexos são formados por duas partes, sendo uma real e uma imaginária. A real é representada por um número real, já a imaginária é formada pela multiplicação entre um número qualquer e o símbolo i.

Chamando o número complexo de “z”, segue que:

 sendo a e b números reais e i a unidade imaginária

Esse tipo de numeral foi criado com um objetivo: encontrar soluções para equações polinomiais de segundo e terceiro grau que resultam em raízes quadradas de números negativos. Mas qual o valor de i?

Por convenção, dizemos que i = \( \sqrt{-1} \). Os valores de i para outros expoentes são:

• i1 = i =
  
• i2 = -1
• i3 =  -i
• i4 = 1

Se quiser saber como cada valor de i foi encontrado, confira o vídeo “Números Complexos – Noções básicas” do canal Marcos Aba Math teacher.

Beleza, mas como utilizar o i?

Vamos supor que você esteja resolvendo uma equação de segundo grau, e no momento que calcula o valor do delta, com a fórmula b2 – 4 * a * c, encontra o valor -81 como resultado.

Você sabe que agora terá que usar a fórmula de Bhaskara

Opa, não existe raiz real, mas existe raiz complexa. Perceba que -81 é a mesma coisa que 81 * (-1), e como ambos estão dentro da raiz, podemos escrever desta forma: \( \sqrt{81} * \sqrt{-1} \). Como mostrado anteriormente, \( \sqrt{-1} \) = i, portanto, basta substituir essa raiz negativa por “i”, tirar a raiz quadrada de 81 (que é 9), que temos nosso número complexo 9i.

Se não houvesse uma raiz inteira para o número, como por exemplo em \( \sqrt{15} \), então a resposta seria: \( \sqrt{15} i \), com o i fora da raiz.

Em outra página do ramo da Aritmética, falamos sobre as operações fundamentais da matemática, e elas continuam valendo para os números complexos. Caso queira saber mais sobre essas operações, recomendo a playlist “Números Complexos” do canal Marcos Aba Math teacher.

Como você viu, os números complexos foram criados com o princípio de oferecer soluções para raízes de números negativos. Em geral, as aplicações são voltadas para as engenharias:

• elétrica, na parte de circuitos elétricos; 
• e de controle, como por exemplo, no controle da quantidade de água e taxa de saída ou no controle de temperatura de tanques e fornos, onde o sinal da parte real do número complexo encontrado a partir de uma equação de segunda ordem (ou segundo grau) serve para determinar o comportamento do sistema ao longo do tempo. Dessa forma, esses números ajudam a encontrar os sistemas mais eficientes e melhor controlados.

Para mais informações sobre essas aplicações, acesse a monografia “Números Complexos”, realizada por estudantes da Licenciatura em Matemática na UNICAMP.

As operações com números complexos na forma trigonométrica facilitam o cálculo envolvendo os elementos desse conjunto. Multiplicação e divisão de complexos que estão na forma trigonométrica são feitas quase que instantaneamente, enquanto que na forma algébrica o processo requer mais cálculos. A potenciação e a radiciação de complexos na forma trigonométrica também ficam facilitadas com a utilização das fórmulas de Moivre. Vejamos como se procede a radiciação desses números: Considere um número complexo qualquer z = a + bi. A forma trigonométrica de z é:

As raízes de índice n de z são dadas pela segunda fórmula de Moivre:

Exemplo 1. Determine as raízes quadradas de 2i. Solução: Primeiro devemos escrever o número complexo na forma trigonométrica.

Todo do número complexo é da forma z = a + bi. Assim, temos que:

Sabemos também que:

Por Marcelo Rigonatto Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Equipe Brasil Escola

Números Complexos - Matemática - Brasil Escola

Da WikiCiências

Referência : Tavares, J.N., Geraldo, A., (2013) Raízes de números complexos, Rev. Ciência Elem., V1(1):062
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2013.062]

Definição

As raízes de índice \(n \in \mathbb{N}\) de um número complexo \(w\) são os números complexos \(z\) tais que \(z^{n}=w\).

Portanto, calcular \(\sqrt[n]{w}\) é equivalente a calcular os números complexos cuja potência de índice \(n\) seja igual a \(w\).

Raízes de índice \(n\)

Determinar as raízes de índice \(n \in \mathbb{N}\) de um número complexo \(w\), ou seja calcular \(\sqrt[n]{w}\) é então equivalente a determinar os números complexos \(z\) tais que:

\(z^n=w\)

Para isso consideramos os números complexos \(z\) e \(w\) na forma polar:

\(w=|w|\,cis\,\alpha\)

\(z=|z|\,cis\,\theta\)

Usando a fórmula de De Moivre temos então que

\(\displaystyle z^n=w \quad \Leftrightarrow \quad (|z|\,cis\,\theta)^n=|w|\,cis\,\alpha \quad \Leftrightarrow \quad |z|^n\,cis\,(n\theta)=|w|\,cis\,\alpha\)

Resolvendo a equação temos, atendendo à igualdade dos números complexos escritos na forma polar, que

\(|z|^n=|w| \Longrightarrow \,|z|=\sqrt[n]{w}=|w|^{1/n}\)

e

\(\displaystyle n\theta=\alpha+2k\pi \, \Longleftrightarrow \, \theta=\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n} , \quad k=0,1,2,\dots,n-1\).

Portanto, as \(n\) raízes distintas de índice \(n\) de um número complexo \(w=a+bi=|w|\,cis\,\alpha\) são dadas por:

\(\displaystyle z_{k}=|w|^{1/n}\, cis\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right) , \quad k=0,1,2,\dots,n-1\) (1),

logo têm o mesmo módulo pelo que pertencem à circunferência de centro na origem no referencial e raio \(|z|=|w|^{1/n}\). Note-se ainda que a diferença entre os argumentos de duas raízes \(z_k\) e \(z_{k+1}\), \(\quad k=0,1,2,\dots,n-1\), é \(\displaystyle \frac{2k\pi}{n}\), logo, as \(n\) raízes situam-se nos vértices de um polígono regular de \(n\) lados inscritos na referida circunferência.

Exemplos

Raízes cúbicas de -1

Para isso temos de escrever \(w = -1\) na forma polar:

\(-1=|w|\,cis\,\alpha \,\Longleftrightarrow \, -1=|w|\cos\alpha+i\,|w|\sin\alpha \, \Longleftrightarrow \)

\(\Longleftrightarrow\, |w|\cos\alpha=-1 \,\wedge \,|w|\sin\alpha =0 \,\Longleftrightarrow\, \, |w|=1 \,\wedge\, \alpha=\pi\)

Portanto, \(w=\, cis\, \pi\).

Aplicando a fórmula (1) obtemos três raízes cujo módulo é \(\displaystyle |z|=\sqrt[3]{1}=1 \,\) e argumento \(\displaystyle \theta_k=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3} \, , \quad k=0,1,2\), isto é,

\(\displaystyle |z|=1 \, \wedge \, \left(\theta=\frac{\pi}{3} \, \vee \, \theta=\pi \, \vee \, \theta=\frac{5\pi}{3}\right) \)

As raízes cúbicas de \(-1\) são então:

\(z_0\) \(\displaystyle =\, cis\, \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \, ; \quad \) \(z_1\) \(\displaystyle=\, cis\, \pi=-1 \, ; \quad \) \(z_3\) \(\displaystyle =\, cis\, \left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

Raízes de índice 4 de \(w=\sqrt{3}+i\)

Considerando \(w=\sqrt{3}+i\) pretendemos determinar \(\sqrt[4]{\sqrt{3}+i}\), ou seja, encontrar os números complexos \(z=|z|\,cis \,\theta\) tais que \(z^4=w\).

Mais uma vez precisamos de escrever \(w\) na sua forma polar:

\(\sqrt{3}+i=|w|\,cis\,\alpha \,\Longleftrightarrow \, \sqrt{3}=|w|\cos\alpha \, \wedge \, 1=|w|\sin\alpha \, \Longleftrightarrow \)

\(\displaystyle \Longleftrightarrow |w|=\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} \, \wedge \, |w|=\frac{1}{\sin\alpha}\)

\(|w| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1} = \sqrt{4} = 2\) e \(\sqrt{3} + i = 2 cis\alpha = 2\cos\alpha + 2i\sin\alpha\)

Então,

Portanto, \(\displaystyle w=2\,cis\,\frac{\pi}{6}\).

Aplicando a fórmula (1) temos então que as raízes têm módulo \(\displaystyle |z|=\sqrt[4]{2} \,\) e argumento \(\displaystyle \theta_k =\frac{\pi/6}{4}+\frac{2k\pi}{4} \, , \quad k=0,1,2,3\), isto é, \(\displaystyle |z|=\sqrt[4]{2} \, \wedge \, \left(\theta=\frac{\pi}{24} \, \vee \, \theta=\frac{13\pi}{24} \, \vee \, \theta=\frac{25\pi}{24} \, \vee \, \theta=\frac{37\pi}{24}\right) \)

As raízes de índice 4 de \(\sqrt{3}+i\) são, então:

\(z_0\)\(\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{\pi}{24}\right) \cong 1,18+0,16i \, ; \quad \) \(z_1\) \(\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{13\pi}{24}\right) \cong -0,16+1,18i \, ; \quad \) \(z_2\) \(\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{25\pi}{24}\right) \cong -1,18-0,16i \, ; \quad \) \(z_3\) \(\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{37\pi}{24}\right) \cong 0,16-1,18i \)