Ao simplificar o produto a seguir, no qual nenhum denominador é nulo, obtém-se como resposta

Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores aritméticos. O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) em um produto, e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação. Para compreender melhor o que é um polinômio, veja alguns exemplos:

5 Coeficiente: 5
Parte literal: Qualquer variável elevada a zero, ou seja, x0 = 1 → 5 . x0

Operadores aritméticos: Multiplicação
2 . x . y Coeficiente: 2 Parte literal: a . y
Operadores aritméticos: Multiplicação
3 . x . y + (4 . x : 2 . x) Coeficiente: 3, 4 e 2 Parte literal: x .y e x
Operadores aritméticos: Adição, multiplicação e divisão.
{[(2 . x + 6 . x)2 – 5] + 3 . y – 1 . x} Coeficiente: 1, 2, 3, 5 e 6 Parte literal: x e y
Operadores aritméticos: Adição, subtração, multiplicação e potenciação.

Classificação de Polinômios

Os polinômios podem ser classificados de acordo com a sua quantidade de termos:

Monômio: Possui um único produto com coeficiente e parte literal. Exemplos:

⇒ 2 . x . y

⇒ 6

⇒ 12 . x2

Binômio: É um polinômio que possui somente dois monômios. Exemplos:

⇒ 4 . x . y + 5 . x

⇒ 34 . z + 12 . x

⇒ 105 . z + 25 . z2

Trinômio: É um polinômio que possui somente três monômios. Exemplos:

⇒ 2 . x . y + 2x - y3
3

⇒ x. z4 + 25 – z . x

⇒ 2 . w + 12 . x – 5 . w2

Polinômio: possui uma infinidade de monômios. A sua expressão geral é dada por:

an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a

Grau de um Polinômio

Grau de polinômio com uma variável: Quando o polinômio possui somente uma variável (termo desconhecido), seu grau é dado pelo maior valor que o expoente da variável assume. Exemplos:

⇒ 2 . x2 + 3 . x

Variável: x Maior expoente em relação à variável x: 2

Grau: Polinômio de 2° grau

⇒ 3 . z + 4 + 5 . z3

Variável: z Maior expoente em relação à variável z: 3

Grau: Polinômio de 3° grau

Grau do polinômio com mais de uma variável: Quando o polinômio possui mais do que uma variável, para saber o seu grau, devemos somar os expoentes de cada monômio. A maior soma de expoentes determinará o grau. Exemplo:

3 + 12 . x . y – 2 . x . y2
Grau do monômio: x1 . Y1 → 1 + 1 = 2
Grau do monômio: x . y2 → 1 + 2 = 3

Da soma de expoentes de cada monômio, obtivemos que: para (x . y), o grau é 2; e para (x . y2), o grau é 3. Sendo assim, o polinômio (3 + 12 . x . y – 2 . x . y2) é de terceiro grau.

Tipos de Polinômio

Os polinômios podem ser de dois tipos: completo ou incompleto.

Polinômios completos: O polinômio será completo quando a ordem dos seus expoentes for decrescente (do maior para o menor número) e não faltar nenhum expoente na sequência. Veja:

⇒ 3. x5 + 2 . x4 – x3 + 12 . x2 + 5 . x1 – 2 . x0

Observe que os expoentes em relação à variável x seguem uma sequência decrescente, que é dada por: 5, 4, 3, 2, 1 e 0.

Polinômios incompletos: O polinômio será incompleto quando faltar algum número na sua sequência de expoentes. Veja:

⇒ 3. x5 + 5 . x1 – 2 . x0

A forma completa desse polinômio seria: 3. x5 + 0 . x4 – 0 . x3 + 0 . x2 + 5 . x1 – 2 . x0. Faltaram os expoentes em relação à variável x: x4, x3 e x2. Por esse motivo, o polinômio é incompleto.

Resolva nossos exercícios sobre fatorações simultâneas e teste seus conhecimentos sobre o assunto!

Questão 1

Resolva a expressão (x + y)² – (x – y)² de duas formas distintas.

Questão 2

Simplifique ao máximo a expressão a seguir utilizando os casos de fatoração:

a² – b² . a ³ – b³
a² – 2ab + b² a³ + b³

Questão 3

(U.E. FEIRA DE SANTANA) Simplificando a expressão abaixo obtém-se:

x² + xy . x² – y²
xy – y² x² + y² + 2xy

a) 1
x² + y²

b) 1
x² + y² + 3xy

c) 2x² + x
x² + y² + xy

d) x²
2y

e) x
y

Questão 4

(UFMG) Considere o conjunto de todos os valores de x e y para os quais a expressão a seguir está definida.

Assim, a expressão equivalente a M é:

a) (x – y)(x + y)

b) (x – y)(x² + y²)

c) x – y
x² + y²

d) x – y
x + y

e) (x – y)·(x² + y²)
x + y

Resposta - Questão 1

Resolveremos a expressão utilizando o caso de fatoração “trinômio quadrado perfeito”:

(x + y)² – (x – y)²
(x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²)
x² + 2xy + y² – x² + 2xy – y²
4xy

Agora, através da “diferença de dois quadrados”, resolveremos a expressão de outra forma:

(x + y)² – (x – y)²
[(x + y) + (x – y)]·[(x + y) – (x – y)]
(x + y + x – y) · (x + y – x + y)
(2x) · (2y)
4xy

Provamos por duas formas distintas que (x + y)² – (x – y)² = 4xy.

Resposta - Questão 2

Podemos reescrever o numerador da primeira fração utilizando a “diferença de dois quadrados” e o seu denominador através do “trinômio quadrado perfeito”:

(a + b) · (a – b) . a³ – b³
(a + b)² a³ + b³

(a + b) · (a – b) . a³ – b³
(a – b) · (a – b) a³ + b³

Simplificando o termo (a – b) no numerador e no denominador da primeira fração:

(a + b) . a³ – b³
(a – b) a³ + b³

Na segunda fração, desenvolveremos o numerador pela fatoração da “diferença de cubos”: a³ – b³ = (a – b)·(a² + ab + b²). Podemos ainda desenvolver o denominador pela “soma de cubos”, que afirma que a³ + b³ = (a + b)·(a² – ab + b²).

(a + b) . (a – b)·(a² + ab + b²)
(a – b) (a + b)·(a² – ab + b²)

Ao simplificar no denominador e no numerador os termos (a + b) e (a – b) que se repetem, chegamos à seguinte expressão:

a² + ab + b²
a² – ab + b²

Essa é a forma mais simples da expressão dada.

Resposta - Questão 3

Na primeira fração utilizaremos a técnica de fatoração do fator comum, colocando em evidência o x no numerador e o y no denominador da fração:

x·(x + y) . x² – y²
y·(x – y) x² + y² + 2xy

Na segunda fração, podemos aplicar dois casos de fatoração diferentes. No numerador, utilizaremos a diferença de dois quadrados; já no denominador, o trinômio quadrado perfeito:

x·(x + y) . (x + y)·(x – y)
y·(x – y) (x + y)²

x·(x + y)·(x + y)·(x – y)
y·(x – y)·(x + y)²

Como temos apenas multiplicações de termos tanto no numerador quanto no denominador da fração, podemos simplificar os termos que se repetem em ambos. Observe o destaque em cores dos termos que aparecem no numerador e no denominador simultaneamente:

x·(x + y)·(x + y)·(x – y) = x
y·(x – y)·(x + y)² y

Simplificando os termos comuns, resta apenas a fração x/y. Portanto, a resposta correta é a alternativa e.

Resposta - Questão 4

Para determinar o valor de M, vamos resolver a expressão em duas partes. Calculando apenas o numerador de M, temos:

x² – y² = x4 – y4
y² x² x²y²

Observe que podemos aplicar o caso de fatoração “diferença de dois quadrados” no numerador x4 – y4, escrevendo-o como (x² – y²)·(x² + y²). Mas nesse primeiro parêntese, podemos utilizar novamente a “diferença de dois quadrados”. Portanto, o numerador de M pode ser expresso como:

(x – y)·(x + y)·(x² + y²)
x²y²

Vamos agora resolver o denominador de M:

1 + 2 + 1 = y² + 2xy + x² = (x + y)²
x² xy y² x²y² x²y²

Unindo o numerador e o denominador de M que calculamos, teremos a seguinte expressão:

Podemos cancelar os dois denominadores x²y², restando apenas:

M = (x – y)·(x + y)·(x² + y²)
(x + y)²

Se reescrevermos o denominador sem utilizar a potência, podemos observar os termos que se repetem:

M = (x – y)·(x + y)·(x² + y²)
(x + y)·(x + y)

Simplificando os termos (x + y) no numerador e no denominador:

M = (x – y)·(x² + y²)
x + y

Portanto, a resposta correta está na alternativa e.

Fatorações Simultâneas