A probabilidade da união de dois eventos envolve a chance de o evento A ou de o evento B ocorrer. Por exemplo, imagine um espaço amostral formado por pessoas, e uma delas será sorteada aleatoriamente. Nesse caso, a probabilidade da união de dois eventos envolveria o cálculo da probabilidade de o sorteado ser uma mulher ou ter menos que 18 anos, por exemplo. Show
Existe uma fórmula específica para calcular a probabilidade da união de dois eventos. Dados dois eventos, A e B, a probabilidade da união de ambos é dada por: \(P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\) Caso a intersecção entre os eventos seja vazia, a probabilidade da união é calculada pela soma das probabilidades de cada um dos eventos, ou seja: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B).\) Leia também: Conceitos básicos no estudo da probabilidade Resumo sobre a probabilidade da união de dois eventos
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Fórmula da probabilidade da união de dois eventosA probabilidade da união de dois eventos, A e B, é representada por \(P\left(A\cup B\right)\). Ao calcular a probabilidade da união de dois eventos, estamos calculando qual é a probabilidade do evento A ou de o evento B ocorrer. Para isso, utilizamos a seguinte fórmula: \(P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\) Podemos dizer, então, que a probabilidade da união de dois eventos é calculada pela probabilidade do primeiro evento ocorrer mais a probabilidade do segundo evento ocorrer menos a probabilidade da intersecção de ambos, sendo que a probabilidade da intersecção de dois eventos é igual à probabilidade do primeiro e do segundo evento ocorrerem simultaneamente. A segunda fórmula de probabilidade da união serve para o caso de não haver intersecção entre os dois eventos, ou seja, quando eles são mutuamente exclusivos. Nesse caso, a intersecção é igual a 0, então a probabilidade da união de dois eventos mutuamente exclusivos é calculada por: \(P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\) Como calcular a probabilidade da união de dois eventosPara calcular a probabilidade da união de dois eventos, é importante calcularmos cada uma das probabilidades, pois temos que: \(P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}\) Consideramos que \(n\left(A\right)\) é o número de elementos no evento A e que \(n\left(U\right)\) é igual ao número de elementos no espaço amostral. De forma análoga, temos: \(P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)\ }{n\left(U\right)}e\ \ P\left(A\cap B\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\) Assim, para calcular a probabilidade da união, obtemos: \(P\left(A\cup B\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}-\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\) Exemplo: Dois dados serão lançados simultaneamente, e a soma daquilo que apareceu na face superior será anotada. Nessa situação, qual é a probabilidade de o resultado ser um número múltiplo de 3 ou maior que 8? Resolução: Primeiramente, vamos identificar os eventos:
Ao lançar dois dados, temos os seguintes resultados possíveis:
Analisando a tabela, temos que:
Agora, encontraremos a intersecção, que são os resultados maiores que 8 e múltiplos de 3, ou seja, o 9 que se repete 4 vezes e o 12. n \(\left(A\cap B\right)\) = 5 Há 5 resultados que são múltiplos de 3 e maiores que 8. Por fim, sabemos que há um total de 36 possibilidades. n(U) = 36 Calculando a probabilidade, temos: \(P\ (A\ \cup B)\ =\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}-\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\) \(P\left(A\cup B\right)=\frac{12}{36}+\frac{10}{36}-\frac{5}{36}\) \(P\left(A\cup B\right)=\frac{17}{36}\) Leia também: Três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade Exercícios resolvidos sobre probabilidade da união de dois eventosQuestão 1 Uma moeda será lançada três vezes consecutivas. Qual é a probabilidade de aparecer cara exatamente uma vez ou coroa exatamente uma vez? A) 2/3 B) 1/4 C) 1/2 D) 3/4 E) 7/8 Resolução: Alternativa D Primeiramente, identificaremos os eventos.
Agora, descreveremos o nosso conjunto universo: c: cara e k: coroa U = {ccc, cck, ckc, kcc, kkc, kck, ckk, kkk} n(U) = 8 Então, temos: A = {kkc, kck, ckk} n(A) = 3 B = {kkc, kck, ckk} n(B) = 3 Nesse caso, sabemos que a intersecção é vazia. Assim, calculando a probabilidade: \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\) \(P\left(A\cup B\right)=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\) \(P\left(A\cup B\right)=\frac{6}{8}\) \(P\left(A\cup B\right)=\frac{3}{4}\) Questão 2 Em uma urna, há cartões numerados de 1 a 25, e 1 cartão será sorteado ao acaso. Nessas condições, qual é a probabilidade de o número do cartão ser múltiplo de 4 ou múltiplo de 6? A) 0,32 B) 0,45 C) 0,54 D) 0,64 E) 0,80 Resolução: Alternativa A Os eventos são:
A intersecção entre os conjuntos é igual a \(A\cap B\ ={12,\ 24}\). Logo: n(A) = 6 e n(B) = 4 \(n(A\cap B)\) = 2 Por fim, como há 25 cartões, n(U) = 25. Sendo assim, temos: \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\) \(P\left(A\cup B\right)=\frac{6}{25}+\frac{4}{25}-\frac{2}{25}\) \(P\left(A\cup B\right)=\frac{8}{25}=0,32\) Quais são os múltiplos de 3 de 1 a 20?Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, … Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …
Qual a probabilidade de sortear um número par entre 1 a 20?Solução: 50%.
Qual é a probabilidade de se obter um múltiplo de 3?Resposta. Qual a probabilidade de sair um número múltiplo de 3? A probabilidade de sair número par ou múltiplo de 3 é 2/3.
Qual espaço amostral de 1 a 20?Mila! Sendo o dado o espaço amostral com a numeração de 1 a 20 ,vamos escrever o os números que compõe esse espaço. P(U)={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}=20 elementos. No segundo momento vamos escrever um subconjunto do espaço amostral composto por números primos.
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