Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos olhar para as relações especiais que existem entre as razões trigonométricas de ângulos complementares.

Então, vou começar com um triângulo retângulo no qual identifiquei os três lados com 𝑥, 𝑦 e 𝑧. Não especifiquei nenhuma unidade aqui porque não importa particularmente. Mas estamos a assumir que são todos iguais, ou seja, todos em centímetros ou polegadas ou o que for. Eu também identifiquei os dois ângulos que não são ângulos retos como 𝛼 e 𝛽.

Agora 𝛼 e 𝛽 são os ângulos complementares nos quais estamos interessados, porque lembre-se que ângulos complementares, a definição, é que somam 90 graus. E, claro, como este é um triângulo, a soma total dos seus ângulos é de 180 graus. Como o outro ângulo é um ângulo reto de 90 graus, isso significa que restam 90 graus para 𝛼 e 𝛽. E, portanto, a soma destes deve ser 90. Então, 𝛼 e 𝛽 são os ângulos complementares que nos interessam.

Então, o que vou fazer é trabalhar com cada um destes ângulos. Eu vou começar com o ângulo 𝛼. E primeiro vou identificar os três lados deste triângulo em relação ao ângulo 𝛼, portanto a hipotenusa, o oposto e o adjacente. A hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre o mesmo lado. Mas lembre-se que o adjacente e o oposto mudam dependendo do ângulo em que estiver interessado. Assim, em relação ao ângulo 𝛼, 𝑦 é o oposto e 𝑥 é o adjacente.

Agora, o que vou fazer é escrever as três razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para o ângulo 𝛼. Então, seno, em primeiro lugar, seno lembre-se é o oposto dividido pela hipotenusa. Então, será 𝑦 dividido por 𝑧. O cosseno é o adjacente dividido pela hipotenusa, então, será 𝑥 dividido por 𝑧. Finalmente, a tangente é o oposto dividido pelo adjacente, então, será 𝑦 dividido por 𝑥.

Se lhe custa recordar qualquer uma destas definições de seno, cosseno ou tangente, então precisa de se lembrar desta palavra SOHCAHTOA para o ajudar. Em SOHCAHTOA, lembre-se, considera a primeira letra de cada uma destas palavras. Assim, no caso do seno, por exemplo, o seno é o oposto dividido pela hipotenusa. E é daí que vem o SOH.

Certo, agora vou fazer exatamente a mesma coisa, mas com ângulo 𝛽. Então, vou identificar os lados novamente, mas em relação ao ângulo 𝛽 desta vez. A hipotenusa, como dissemos, é sempre a hipotenusa. Mas desta vez para o ângulo 𝛽, o oposto é este lado aqui, lado 𝑥, e o adjacente é este lado aqui, lado 𝑦. E agora, como fiz para o ângulo 𝛼, vou escrever as três razões trigonométricas para o ângulo 𝛽 em termos de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Então, para 𝛽, seno de 𝛽 é o oposto sobre a hipotenusa. Então, olhando para as letras a laranja desta vez, será 𝑥 dividido por 𝑧. Para o cosseno, o cosseno é o adjacente dividido pela hipotenusa. Então, novamente olhando para as letras a laranja, será 𝑦 dividido por 𝑧. Finalmente, a tangente é o oposto dividido pelo adjacente. Então, olhando para os as letras a laranja, será 𝑥 dividido por 𝑦. Assim, tenho as três razões trigonométricas seno, cosseno e tangente escritas para 𝛼 e 𝛽, este par de ângulos complementares, em termos de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Agora, se der uma vista de olhos nestas diferentes razões trigonométricas, há algumas coisas que se tornarão aparentes. Se olhar para o seno de 𝛼, é igual a 𝑦 sobre 𝑧. E o que notará no lado direito do ecrã é que também temos 𝑦 sobre 𝑧 novamente. Mas desta vez é igual a cos ou cosseno de 𝛽. Então, o que isto nos diz é que seno de ângulo 𝛼 deve ser igual a cosseno de ângulo 𝛽. Então, o que temos é que seno de 𝛼 é igual a cos de 𝛽.

Agora lembre-se de que 𝛼 e 𝛽 são ângulos complementares. Então, tínhamos no topo do ecrã que 𝛼 mais 𝛽 igual a 90 graus. Também poderíamos escrever isto alternativamente, como 𝛽 igual a 90 menos 𝛼. E assim, se substituir 𝛽 por esta expressão em termos de 𝛼, isso dar-me-á uma relação geral. Então, tenho esta relação aqui que é seno de qualquer ângulo 𝛼 é igual a cosseno de 90 menos esse ângulo. Esta relação será sempre verdadeira para ângulos complementares.

Agora, olhando para estas razões, também verá que há dois sítios em que 𝑥 sobre 𝑧 aparece. Ora, cos de 𝛼 é igual a 𝑥 sobre 𝑧 e seno de 𝛽 também é igual a 𝑥 sobre 𝑧. Portanto, devo ter que cos de 𝛼 é igual a seno de 𝛽. Novamente, se eu substituir 𝛽 por 90 menos 𝛼, isso dá-me outra relação geral para ângulos complementares. Então, tenho que cos de 𝛼 é igual a seno de 90 menos 𝛼.

Finalmente, se olhar para a tangente, temos tan de 𝛼 é 𝑦 sobre 𝑥 e tan de 𝛽 é 𝑥 sobre 𝑦. Então, de facto, estas duas tangentes são inversas uma da outra, porque as frações estão invertidas em cada caso. Então a relação aqui é que tan de 𝛼 é igual a tan de 𝛽. E novamente, se escrever esta relação onde substituo 𝛽 por 90 menos 𝛼, tenho a relação geral de que tan de 𝛼 é igual a um sobre tan de 90 menos 𝛼.

Então, onde tiver um par de ângulos complementar, ou seja, ângulos que somam 90 graus, estas três relações existirão para os valores entre as suas razões trigonométricas, portanto entre os seus senos, cossenos e tangentes. E isso é devido ao facto de os lados opostos e os lados adjacentes no triângulo retângulo se alternarem nos dois ângulos complementares. Ok, vamos ver como utilizar o que acabámos de estabelecer para os aplicar numa questão.

Então, dão-nos uma tabela de informações na qual temos os valores das razões seno, cosseno e tangente para dois ângulos: 20 graus e 60 graus. E pedem-nos para utilizar estas informações para escrever o valor de cos de 30 e o seno de 70. Agora, é claro, estamos a assumir nesta questão que não temos acesso a uma calculadora. Então, só precisamos de utilizar as informações na tabela e nada mais.

Então, pensando no que acabámos de fazer e nos ângulos complementares, bem, o que aconteceu foi que nos perguntaram algo acerca de 30 graus. Mas são-nos dadas algumas informações sobre o de 60 graus. E são ângulos complementares, porque somam 90, a mesma coisa com os graus 70 e 20 graus.

Então vamos pensar em cos de 30 antes de mais. Vimos na página anterior que cos de um ângulo 𝛼 é igual a seno de 90 menos este ângulo. Então, eu posso utilizar isso para escrever algo como o cosseno de 30 e o seno de 90 menos 30. E tenho que cos de 30 é igual a seno de 90 menos 30. Agora é claro, 90 menos 30 é apenas 60. Assim, tenho este cos de 30 igual a seno de 60. E utilizando as informações na tabela, posso procurar este valor e ver que é igual a raiz de três sobre dois. Esse é o valor exato na forma de irracional.

Portanto, utilizei apenas a relação que existe entre o seno e o cosseno para este par de ângulos complementares e, em seguida, as informações na tabela para resolver isto. De facto, se tiver uma calculadora, poderá confirmar que é, na verdade, o valor correto. Ok, o método para o segundo é muito semelhante. Então, seno de 70 graus, bem lembre-se seno de 𝛼 é igual a cos de 90 menos 𝛼. Então podemos utilizar um processo muito semelhante. Seno de 70 será cos de 90 menos 70 ou cos de 20. E a seguir, se eu procurar este valor na tabela, cos de 20 com três algarismos significativos é 0.940.

Então, em resumo, demonstrámos as relações existentes entre as razões trigonométricas para ângulos complementares. Depois, vimos o tipo de questão em que pode precisar de aplicar este conhecimento.

Quais são as 3 razões trigonométricas?

Quais as relações trigonométricas?

Como calcular as relações trigonométricas?

O que é um ângulo complementar?