PROBABILIDADE DEFENSIVA
1. O que é Probabilidade?
Experiências que são repetidas sob as mesmas condições e que produzem resultados diferentes são chamadas de aleatórias. Como por exemplo: lançar uma moeda, lançar um dado, retirar uma carta de um baralho, sortear um número. Em experiências aleatórias não temos como garantir o resultado que será encontrado, mas podemos calcular as chances de um determinado resultado ocorrer, ou seja, calcular a probabilidade de certo resultado (que chamaremos de evento) ocorrer.
Podemos definir a probabilidade como as chances de um resultado ocorrer entre todos os demais que podem acontecer. Esses resultados são chamados de EVENTO e todos os eventos que podem ocorrer são chamados de ESPAÇO AMOSTRAL.
Vamos às definições:
2. Espaço Amostral
Definimos por Espaço Amostral o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, geralmente esse
conjunto é indicado por U ou S
Utilizaremos neste texto a letra S para definir o Espaço Amostral.
Exemplos:
1) Jogar um dado e observar o número da face que ficar para cima, o espaço amostral desse experimento aleatório seriam todas as possibilidades, ou seja:
S={1,2,3,4,5,6} e o número de possibilidades seria 6, ou seja; n(S)=6
2) Sortear uma bola em uma urna que contém 100 bolas numeradas de 1 à 100.
S = {1,2,3,4,...,100} e o número de possibilidades
seria 1000, ou seja: n(s) = 100
3. Evento
Um Evento pode ser definido como a ocorrência ou resultado desejado entre todos os possíveis. Dessa forma, definimos como evento qualquer subconjunto de um Espaço Amostral S.
Exemplos:
1) O Evento “lançar um dado e observar a face voltada para cima e estar ser um número par” é o subconjunto E {2,4,6} de todos os resultados possíveis S {1,2,3,4,5,6}
Assim, E = {2,4,6} e o número de possibilidades de E é
igual a 3, ou seja n(E) = 3 .
2) O Evento “ lançar uma moeda e observar a face voltada para cima e esta ser Coroa” é o subconjunto E {coroa} de todos os resultados possíveis S {cara, coroa}
Assim, E = {coroa} e o número de possibilidades de E é igual a 1, ou seja, n(E) = 1.
4. Probabilidade de um Evento ocorrer
Podemos definir a probabilidade P(E) de um evento equiprovável ocorrer é dada pela razão (divisão) entre o número de elementos dos eventos
desejados (subconjunto do espaço amostral) pelo número total de eventos possíveis (espaço amostral)
P(E) = ________Número de elementos dos evento desejado________ ou seja : P(E) = N(E)
Número de elementos de todos os resultados possíveis N(S)
Exemplo:
Vamos calcular a seguinte probabilidade: Considere o lançamento de um dado honesto (ou seja, todos os resultados são igualmente possíveis) , ao lançar o dado e observarmos a face voltada para cima, qual será a probabilidade da face ser igual ao número 5?
Temos então:
Espaço Amostral S = {1,2,3,4,5,6,}, ou seja, n(S) = 6
Evento “ face ser igual à 5” , E {5}, ou seja, n (E) = 1
Então a Probabilidade deste evento ocorrer é :
P(E) =
n(E) = 1 = 0,16666666.... = 16,66% ou 16,67%
n(S) = 6
5. Probabilidade da União de Dois Eventos
Tratamos como união de dois eventos quando são eventos que podem ocorrer em um mesmo espaço amostral, ou seja, levamos em consideração o resultado de um ou o resultado do outro.
Assim, e A e B são eventos em um mesmo espaço amostral S, então A união com B, ou seja A U B é o evento que ocorre se, e somente se, ocorre o Evento A ou ocorre o Evento B.
Calculamos essa probabilidade somando a probabilidade dos dois eventos, mas subtraindo a probabilidade de eventos que podem ser comum aos dois eventos.
Da seguinte forma:
Ou seja: é a soma das probabilidades dos dois eventos, porém subtraindo aquilo que é comum aos dois eventos (para que não seja somado em duplicidade)
Exemplo:
Vamos considerar novamente o lançamento de um dado honesto, e os seguintes eventos: E1 = “ser par” e E1 = “ sem divisor de 6”
Ou seja: E1 = {2,4,6} n(E1) = 3
E2 = {1,3,6} n(E2) = 3
Não podemos simplesmente somar as duas Probabilidades, pois se olharmos mais detalhadamente verificaremos que o número 6 aparece tanto no Evento E1 (ser par) como no Evento E2 (divisor de 6) , assim, estaremos contando duas vezes um mesmo elemento, por isso a necessidade de diminuir o elemento que é comum aos dois eventos.
Dessa forma, temos então que a Probabilidade de “ser par” ou “ ser divisor de 6” é dada por:
P(E1 U P2) = P(E1) + P(E2) - P (E1 ∩ E2)
P(E1 U P2) = 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6 = 5/6 = 0,8333333... = 83,33%
6. Probabilidade de Eventos Simultâneos (ou sucessivos)
Considere A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, eles são ditos independentes quando a realização de um, não afeta a probabilidade do outro e vice-versa, e são ditos simultânenos ou sucessivos quando ocorre se, e somente se, o Evento A e ocorre o Evento B.
Para eventos independentes, calculamos a probabilidade destes eventos através do teorema da multiplicação que é dado por:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Ou seja, a Probabilidade do evento A ocorrer e o evento B ocorrer, será dada pela multiplicação entre as probabilidades.
Exemplo 1:
Considere dois lançamentos sucessivos de um dado honesto, qual a probabilidade de que o resultado do primeiro lançamento seja 2 e no segundo seja um número maior que 4?
Vamos inicialmente ao cálculo da probabilidade de cada um dos eventos.
Sabemos que para cada um dos eventos, o espaço amostral é o mesmo, S = {1,2,3,4,5,6} e n(S) = 6.
Vamos aos eventos:
E1 = “ ser 2” , então E1 = {2} e temos que n(E1) = 1
E2 = “ ser maior que 4” , então E2 = {5,6} e temos que n(E2) = 2
P(E1 ∩ E2) = P(E1) . P(E2)
P(E1 ∩ E2) = 1/6 . 2/6 = 2/36 = 1/18 = 0,05555555... = 5,55%
Para eventos em que um pode interferir no resultado do outro (ou seja, eventos dependentes) precisamos de uma análise mais detalhada.
Exemplo 2:
Uma rifa contém 20 números e serão realizados dois sorteios sucessivos. Eu possuo 4 números dessa rifa, qual a probabilidade de eu ser premiado tanto no primeiro quando no segundo sorteio?
Vamos a analise:
Espaço Amostral S = {20 números da rifa} n (S) = {20}
Evento 1 {ser sorteado com um dos 4 números que possuo}
Evento 2 {ser sorteado com um dos 3 números que possuo}
O
detalhe que temos que considerar nesta questão é que se eu for premiado com um número no primeiro sorteio, eu tive 4 chances em 20 , e para ser premiado novamente em um segundo sorteio, eu terei 3 chances em 19 (pois já saiu um número no sorteio anterior)
Assim a probabilidade será dada por:
P(E1 ∩ E2) = P(E1) . P(E2)
P(E1 ∩ E2) = 4/20 . 3/19 = 12 / 380 ≅ 3/95 = 0,0315789 ≅ 3,16%
Também podemos utilizar a expressão
P(E1 ∩ E2) = P(E1|E2) . P(E2) ou seja, E2|E1 que dizer, E2 ocorrer, sabendo que E1 já ocorreu, que nos leva ao mesmo raciocínio exposto acima.
Exemplo 3:
Dependendo da questão, quando o que nos interessa é uma combinação de resultados podemos construir um diagrama de árvore para o experimento e associar probabilidade a cada um de seus galhos.
Vamos a um exemplo: Ao lançarmos uma moeda três vezes, qual a probabilidade de obtermos exatamente duas coroas?
Vamos ao diagrama (no qual C= Coroa e K = Cara)
Podemos calcular essa probabilidade de duas formas:
1) Através do diagrama, verificamos que são 8 resultados diferentes para os três lançamentos.
Assim P(K) = 3/8 = 0,375 = 37,5%
2) Analisarmos como dois eventos sucessivos e dependentes, pois o segundo evento depende da ocorrência do segundo.
P(E) = (1/2 . 1/2 . 1/2) ou (1/2 . 1/2 . 1/2) ou (1/2 . 1/2 . 1/2) Mas o termo ou significa uma ou outra probabilidade o que resulta na união dos eventos, assim: P(E) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 |
Caro(a) estudante, esperamos poder ajudá-lo no entendimento do tópico de Probabilidade. A probabilidade merece destaque, pois está ligada diretamente a vários fatos de nossa vida real como a previsão do tempo, a probabilidade aplicada a genética, em química, jogos e outros.
Para saber mais sobre o assunto, deixamos aqui algumas sugestões de outros objetos de aprendizagem e de alguns textos interessantes sobre o assunto, converse com seu professor(a) e explore o tema, temos certeza de que será muito interessante.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
IEZZI , Gelson et al – Matemática: ciências e aplicações - Volume 2 – São Paulo: Atual, 2004.
LIMA, Elon et al – A Matemática do Ensino Médio – Volume 2 – Rio de Janeiro: SBM, 1998.