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Solução: a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições disponíveis. Assim: Ou então, P8 = 8 ! = 40.320 anagramas b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A; assim, devemos distribuir as 7 letras restantes em 7 posições, Então: c) Como as 3 primeiras posições ficam ocupadas pela sílaba TRE, devemos distribuir as 5 letras restan- tes em 5 posições. Então: d) considerando a sílaba TRE como um único elemento, devemos permutar entre si 6 elementos, e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo considerado as letras T, R, E como um único elemento: Devemos também permutar as letras T, R, E, pois não foi especificada a ordem : ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Matemática 99 Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E podem ser dispostas de P3 maneiras. Assim, para P6 agrupamentos, temos P6 . P3 anagramas. Então: P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 consoantes. Assim: Exercícios 1) Considere a palavra CAPITULO: a) quantos anagramas podemos formar? b) quantos anagramas começam por C? c) quantos anagramas começam pelas letras C, A e P juntas e nesta ordem? d) quantos anagramas possuem as letras C, A e P juntas e nesta ordem? e) quantos anagramas possuem as letras C, A e P juntas? f) quantos anagramas começam por vogal e ter- minam em consoante? 2) Quantos anagramas da palavra MOLEZA começam e terminam por vogal? 3) Quantos anagramas da palavra ESCOLA possuem as vogais e consoantes alternadas? 4) De quantos modos diferentes podemos dispor as letras da palavra ESPANTO, de modo que as vogais e consoantes apareçam juntas, em qualquer ordem? 5) obtenha o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA nas quais as vogais se mantenham nas respectivas posições. PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS RE- PETIDOS Dados n elementos, dos quais : 1α são iguais a 2α são iguais a . . . . . . . . . . . . . . . . . rα são iguais a sendo ainda que: r2 1 . . . ααα +++ = n, e indicando- se por ) . . . , ,(p r21n ααα o número das permutações simples dos n elementos, tem-se que: Aplicações 1) Obter a quantidade de números de 4 algarismos formados pelos algarismos 2 e 3 de maneira que cada um apareça duas vezes na formação do número. Solução: os números são 3223 3232 3322 2332 2323 2233 A quantidade desses números pode ser obtida por: ( ) números 6 1 2 ! 2 ! 2 3 4 ! 2 ! 2 ! 4P 2,24 = ⋅⋅ ⋅⋅ == 2) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMADA? solução: Temos: Assim: ( ) anagramas 20 ! 3 ! 3 4 5 ! 1 ! 1 ! 3 ! 5 p 1,1,35 = ⋅⋅ == 3) Quantos anagramas da palavra GARRAFA começam pela sílaba RA? Solução: Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 5 letras para serem permutadas, sendo que: Assim, temos: ( ) anagramas 60 ! 2 ! 2 3 4 5 p 1,1,25 = ⋅⋅⋅ = Exercícios 1) O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra ARARA é: a) 120 c) 20 e) 30 b) 60 d) 10 2) O número de permutações distintas possíveis com as oito letras da palavra PARALELA, começando todas com a letra P, será de ; a) 120 c) 420 e) 360 b) 720 d) 24 3) Quantos números de 5 algarismos podemos formar com os algarismos 3 e 4 de maneira que o 3 apareça três vezes em todos os números? a) 10 c) 120 e) 6 b) 20 d) 24 4) Quantos números pares de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições apresentadas? a) 120 c) 20 e) 6 b) 24 d) 12 5) Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA 1 13 D M A A,,A {{{ 1121 F R AA, G 1 11 11 a ., . . , a ,a a α → 2 2222 a , . . . ,a ,a a α → r rrrr a , . . . ,a ,a a α → ! . . . ! ! ! n) . . . , ,(p r1 r21n ααα ααα = ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Matemática 100 terminam pela sílaba MA? a) 10 800 c) 5 040 e) 40 320 b) 10 080 d) 5 400 COMBINAÇÕES SIMPLES Introdução: Consideremos as retas determinadas pelos quatro pontos, conforme a figura. Só temos 6 retas distintas ,CD ,BC ,AB( )AD e BD ,AC porque , . . . ,BA e AB DC e CD represen- tam retas coincidentes. Os agrupamentos {A, B}, {A, C} etc. constituem subconjuntos do conjunto formado por A, B, C e D. Diferem entre si apenas pelos elementos componentes, e são chamados combinações simples dos 4 elementos tomados 2 a 2. O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p é indicado por Cn,p ou p n . OBSERVAÇÃO: Cn,p . p! = An,p. Fórmula: Aplicações 1) calcular: a) C7,1 b) C7,2 c) C7,3 d) C7,4 Solução: a) C7,1 = 7! 6 ! 6 7 ! 6 ! 1 ! 7 = ⋅ = b) C7,2 = 21! 5 1 2 ! 5 6 7 ! 5 ! 2 ! 7 = ⋅⋅ ⋅⋅ = c) C7,3 = 35! 4 1 2 3 ! 4 5 6 7 ! 4 ! 3 ! 7 = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ = d) C7,4= 35 1 2 3 ! 4 ! 4 5 6 7 ! 3 ! 4 ! 7 = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ = 2) Quantos subconjuntos de 3 elementos tem um conjunto de 5 elementos? ossubconjunt 10 1 2 ! 3 ! 3 4 5 ! 2 ! 3 ! 5 C5,3 = ⋅⋅ ⋅⋅ == 3) obter n, tal que 3 4 C C n,2 n,3 = Solução: ∴=⋅⇒= 3 4 ! n ! ) 2- n ( ! 2 ) 3 - n ( ! 3 ! n 3 4 ! ) 2 - n ( ! 2 ! n ! ) 3 - n ( ! 3 ! n 42-n 3 4 ! ) 3 - n ( 2 3 ! ) 3 - n ( ) 2 - n ( 2 =∴= ⋅⋅ ⋅ ∴ convém 4) Obter n, tal que Cn,2 = 28. Solução: ∴= − ⇒= 56 ! )2( ! ) 2 -n ( ) 1 -n ( 28)! 2 -n ( ! 2 !n n n n = 8 n2 – n – 56 = 0 n = -7 (não convém) 5) Numa circunferência marcam-se 8 pontos, 2 a 2 distintos. Obter o número de triângulos que po- demos formar com vértice nos pontos indicados: Solução: Um triângulo fica identificado quando escolhemos 3 desses pontos, não importando a ordem. Assim, o nú- mero de triângulos é dado por: 56 ! 5 . 2 3 ! 5 . 6 7 8 ! 5 ! 3 ! 8C8,3 = ⋅ ⋅⋅ == 6) Em uma reunião estão presentes 6 rapazes e 5 moças. Quantas comissões de 5 pessoas, 3 ra- pazes e 2 moças, podem ser formadas? Solução: Na escolha de elementos para formar uma comissão, não importa a ordem. Sendo assim : • escolher 3 rapazes: C6,3 = ! 3 ! 3 ! 6 = 20 modos • escolher 2 moças: C5,2= 3! 2! ! 5 = 10 modos Como para cada uma das 20 triplas de rapazes te- Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se combi- nação simples dos n elementos de /, tomados p a p, a qualquer subconjunto de p elementos do conjunto l. n = 6 lN } n p, { e np , ! ) p - n ( ! p ! n C p, n ⊂≤= ApostilasBrasil.com Seu Futuro é o Nosso Presente! Matemática 101 mos 10 pares de moças para compor cada comissão, então, o total de comissões é C6,3 . C5,2 = 200. 7) Sobre uma reta são marcados 6 pontos, e sobre uma outra reta, paralela á primeira, 4 pontos. a) Quantas retas esses pontos determinam? b) Quantos triângulos existem com vértices em três desses pontos? Solução: a) C10,2 – C6,2 – C4,2 + 2 = 26 retas onde C6,2 é o maior número de retas possíveis