Qual o espaço amostral no lançamento de um dado é uma moeda simultaneamente?

Exercícios resolvidos de provas sobre espaço amostral e probabilidade de um evento

Os exercícios estão divididos em 3 seções : Seção de exercícios Básicos ,Seção de exercícios com um certo grau de dificuldade e uma seção sobre prova teste ou simulado.

Definições

Espaço amostral (S) 

É o espaço de amostragem de todos os elementos de um experimento probabilístico .

Por exemplo: no lançamento de uma moeda,os elementos pertencentes a uma moeda, são : a cara e a coroa, somente é possível obter ou cara ou coroa e o nosso espaço amostral será : S={ cara, coroa }, um outro exemplo bacana é o lançamento de um dado que pegando o mesmo raciocino , todos os elementos pertencentes a um determinado dado, são os números { 1,2,3,4,5,6 } que estarão formando também o nosso espaço amostral S = {1,2,3,4,5,6}.

Evento (E): é um conjunto de resultados do experimento que em termos de conjuntos, é um subconjunto S em particular. ou seja , é o nº de elementos que a gente deseja obter é um espaço amostral.

Por exemplo : determine a probabilidade de sair duas caras no lançamento simultâneo de duas moedas.

Resolvendo !

1.vale apenas saber que lançamento simultâneo : significa que as moedas foram lançadas ao mesmo tempo;

2.temos duas moedas , com face cara (c) e face coroa (k) então : S = {(c,k) e (c,k)} o que significa esse e ? em probabilidade, o e significa multiplicação, portanto : S={(c,c)(c,k)(k,c)(k,k)} são 2 elementos da primeira moeda e 2 elementos da segunda moeda que vão fazer as quatro combinações possíveis então : o espaço amostral será S=2x2=4;

3.lembra que o evento é o numero de elementos que a gente deseja obter é um espaço amostral ? então, como desejamos obter duas caras, o nosso evento(E) será : n(E)= 1,porque no nosso espaço amostral só temos uma possibilidade de (c,c),no qual coloquei em negrito itálico.

Solução

Espaço amostral n(S)=4;

Evento n(E)= 1;

P(E)=n(E)/n(S)=1/4=0,25=25%

Exemplo 0

Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

Resolvendo !

1.Como em um baralho de 52 cartas sempre terá 4 reis, o número de elementos do evento é 4;

Solução

P(E)=n(E)/n(S) = 4/52 = 1/13.

Exemplo 1

Em um experimento, um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número múltiplo de 2 ?

Resolvendo !

1. um dado contém números de 1 a 6,nesse caso o seu espaço amostral,sempre que for um dado será : S={ 1,2,3,4,5,6};

2.os números múltiplos de 2,são aqueles números pertencentes da sua tabuada, ou seja : 2x1=2...2x2=4...2x3=6 e assim sucessivamente.

O espaço amostral será: S={1,2,3,4,5,6};
Como estamos interessados apenas nos resultados múltiplos de 2 , o nosso evento E(número de casos favoráveis) é representado por:E={2,4,6},temos três eventos nesse experimento então : n(E)= 3...

Solução

A probabilidade será :P(E)=n(E)/n(S).....{subconjunto/conjunto)

P(E) = 3/6 =0,5 ou 50%(0,5 x 100 = 50%).

Exemplo 2

Dois dados honestos são lançados simultaneamente , determine a probabilidade de obter um 5 .

Resolvendo !

1. temos dois dados :dado1 ={1,2,3,4,5,6} e dado2 ={1,2,3,4,5,6}, lembra que eu disse que em probabilidade e significa multiplicação ? então , como o dado1 e dado2 tem 6 elementos cada, o número total de elementos do espaço amostral será : S=6x6=36 que é o total de possibilidades para se obter qualquer número nesse intervalo e inclusive o número 5 ;

2.um dado sempre terá 6 elementos {1,2,3,4,5,6}, uma moeda sempre terá 2 elementos {cara ,coroa} e um baralho sempre terá 52 cartas onde teremos, 13 Copas,13 Paus ,13 Espadas e 13 ouros diferentes .

Solução

Espaço amostral , n(S) = 36;
Número de eventos, n(E) = 2;

P(E)= n(E) / n (S) = 2 /36 = 1/18

Exemplo 3 

Um dado e uma moeda são lançados. Determine a probabilidade de ocorrer cara na moeda e a face 6 no dado.

Resolvendo !

1.O problema tá afirmando que é um dado e uma moeda, o que esse e quer? ele simplesmente quer multiplicar a probabilidade da moeda em sair uma cara e a probabilidade do dado em sair face 6 .

2.Primeiro vamos dar solução na probabilidade da moeda em sair cara e adiante o do dado em sair a face 6.

solução

Espaço amostral S = { cara, coroa } ou seja, 2 elementos;

número de eventos n(E) = 1 cara;

Probabilidade (E) = n(E) / n(S) = 1/2

Dado

Espaço amostral S ={ 1,2,3,4,5,6 } ou seja, 6 elementos;

número de eventos n(E) = 1 cara;

Probabilidade(E) = n(E) / n(S) = 1/6

Portanto :a probabilidade de ocorrer cara na moeda e a face 6 no dado é :

Probabilidade =1/2 x 1/6=1/12=0,0833=8,33 %

Exemplo 4

Três moedas são lançadas simultaneamente.Qual é a probabilidade de se obter duas cara.

Resolvendo !

1.O espaço amostral de três moedas é:{cara,coroa},{cara,coroa} e { cara,coroa}ou seja, é como se tivéssemos os 2 elementos ( cara e coroa ) elevado a 3 , então o espaço amostral será : n (S) = 2x2x2=8,e se fosse quatro lançamentos seria :n(S)= 2x2x2x2 = 16.

2.como queremos obter a probabilidade de duas caras então, o nosso numero de eventos ou casos favoráveis será igual a 3.

Solução

A probabilidade será : P (E) = n (E) / n ( S ) = 3/ 8

Seção nº 2

Exemplo 5

Se dois dados são lançados , qual é a probabilidade de que a soma das faces de cima seja igual a 7.

Resolvendo !

1.em probabilidade, face de cima significa a parte ou face do dado que a gente está vendo naquele momento;
2.como são 2 dados ,o espaço amostral será :n(S)={1,2,3,4,5,6} e {1,2,3,4,5,6} ou seja , como são 6 elementos e 2 dados lançados o espaço amostral ou número de casos possíveis será=6x6=36;
3. a soma entre os elementos dos 2 dados que vai ser igual 7 será {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} portanto, o número de casos favoráveis que desejamos será :n(E)=6.

Solução

A probabilidade será : P(E)=n(E)/n(S)=6/36 = 1/6.

Exemplo 6

Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual é a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas ?

 Resolvendo !

1.em um baralho temos 4 cartas de reis que são : rei espada,ouro,copa e rei de paus; portanto a probabilidade de sair um rei vai ser 4/52

2.temos também 13 cartas de ouros,13 cartas de espadas,13 cartas de copas e 13 cartas de paus,portanto a probabilidade de sair uma carta de espadas será : 13 / 52;

3. podemos observar que sempre será os amigos de uma carta (subconjunto), dividindo todas as cartas (conjunto ).

4. em probabilidade esse ou significa uma soma , ou seja, para a probabilidade de evento (E) acontecer, a gente tem que somar : a probabilidade de sair um rei + a probabilidade de sair uma carta de espadas.

Solução final

A probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas será : P (E)= 4/52 + 13/52 =16/52.

Exemplo 7

Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número Par.

Resolvendo !

1. O espaço amostral será : n(S)=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, 15) ou seja, 15 elementos ;

2. Os números pares desse espaço amostral são n(E) = {2,4,6,8,10,12,14} ou seja 7 elementos;

Solução final

Como no espaço amostral de 15 números, temos 7 números pares, a probabilidade de se retirar uma bola com número par será :

P(E) = 7/15 = 0,466 = 46,6%

Exemplo 8

Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:

a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18

Resolvendo !

1.Temos o lançamento de dois dados e nesse caso teremos o seguinte espaço amostral: S ={(1,2,3,4,5,6) e (1,2,3,4,5,6)},ou seja,como são 6 elementos e 2 dados lançados o espaço amostral ou número de casos possíveis será = 6x6 = 36;
2.O problema afirma que estamos observando os números impares que neste caso serão {(1,3,5) e (1,3,5)}, podemos notar que a soma entre as faces ímpares em que o resultado seja 8 é dado pelos pares (3,5) e(5,3).

Resumindo:Somente 2 eventos dos 36 pertencentes ao espaço amostral satisfazem a situação proposta. Portanto:

P(E)=n(E)/n(S)=2/36=0,0555=5,55%.

Exemplo 9

Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

1.Temos uma urna com um total de 12 bolas. Isso significa que o nosso espaço amostral S=12.

2.Já que retiramos uma bola e queremos saber a probabilidade dela ser verde , a nossa probabilidade será :

P(E)=n(E)/n(S)=5/12

Se, o nosso objetivo fosse calcular a probabilidade dessa bola ser amarela o P(E) seria = 7/12.

Exemplo 10

Dada uma urna contendo 2 bolas brancas, 4 vermelhas e 6 amarelas e retirando apenas uma bola desta urna, encontre a probabilidade de:

a) Escolhermos uma bola qualquer da urna?

b) Escolhermos uma bola branca?

c) Escolhermos uma bola vermelha?

d) Escolhermos uma bola amarela da urna?

Resolvendo !

a) Resposta : Se a gente tem uma urna com um total de 12 bolas e queremos tirar nela, uma bola qualquer ,isso significa que a gente tem um conjunto de todos os resultados possíveis do experimento igual a 12 ,ou seja, n(E)=12, porque  não está restrito a nenhuma cor. 

A probabilidade de escolher uma bola qualquer será : 

P(E)=n(E)/n(S)=12/12 = 1

b) Resposta : Já que ,a gente só tem 2 bolas brancas(subconjunto), num conjunto de 12 bolas, podemos notar que no cálculo de espaço amostral , a probabilidade P(E) = subconjunto/conjunto,

portanto:

P(E)= n(E)/n(S)=2/12 = 1/6

c) Resposta :  Sabendo que ,a gente só tem 4 bolas vermelhas(subconjunto), num conjunto de 12 bolas, podemos notar que no cálculo de espaço amostral , a probabilidade P(E) = subconjunto/conjunto, portanto:

P(E)=n(E)/n(S)=4/12 = 1/3

d) Resposta : Do mesmo jeito , a probabilidade para escolher uma bola amarela será :

P(E)=n(E)/n(S)=6/12 = 1/2

Exemplo 11

No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o espaço amostral e os eventos A: ocorrência de exatamente uma cara; B: ocorrência de pelo menos uma cara; C: ocorrência de coroa em ambas.

Resolvendo !

Espaço amostral S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)}= 4 eventos;

Evento A = {(cara, coroa); (coroa, cara)} = 2 eventos;

Evento B = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara)} = 3 eventos ;

Evento C = {(coroa, coroa)} = 1 evento;

Você está preparado(a) para uma prova ? faça esse simulado com a gente ! 

Algumas definições importantes :

- Diz-se que dois eventos são independentes ,quando a realização ou a não realização de um dos  eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Exemplo : No lançamento de dois dados , o resultado obtido em um deles não depende do resultado obtido no outro .

- Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos , ou seja, P = P1.P2 .


Questão 1

As bolas usadas no bingo são enumeradas 1,2,3,...,75, se uma dessas bolas é extraída ao acaso, qual é a probabilidade desse número ser um número par .

SOLUÇÃO PASSO A PASSO



Questão 2

Em uma sala de diversão , foi encontrada  três urnas com as seguintes bolas :

Urna A : 3 bolas brancas , 4 pretas e 2 verdes .

Urna B :  5 bolas brancas , 2 pretas e 1 verdes .

Urna C : 2 bolas brancas , 3 pretas e 4 verdes .

Sabendo que uma bola é retirada de cada urna . Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira , segunda e terceira urnas serem , respectivamente , branca , preta e verde ?

SOLUÇÃO PASSO A PASSO


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Qual e o espaço amostral do lançamento de um dado e de uma moeda?

Quantas são as possibilidades de lançar uma moeda e um dado ao mesmo tempo?

São lançados simultaneamente um dado e uma moeda o número de elementos do espaço amostral e?

Quantos são os resultados possível para o lançamento simultâneo de uma moeda cara ou coroa e um dado 1 2 3 4 5 ou 6?