Questão 3
Assinale a alternativa verdadeira sobre as propriedades das linhas de força do campo elétrico:
a) O campo elétrico é uma grandeza escalar que pode ser escrita tanto em V/m quanto em N/C.
b) As linhas de força do campo elétrico são fechadas, adentram as cargas positivas e emergem das cargas negativas.
c) As linhas de força do campo elétrico são abertas, emergem das cargas positivas e adentram as cargas negativas.
d) O campo elétrico depende exclusivamente do módulo da carga que o produz.
Respostas
Resposta Questão 1
Letra C
Para relacionarmos campo elétrico e força elétrica, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Dessa forma, temos que:
Resposta Questão 2
Letra A
Para calcularmos o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme, utilizamos a seguinte equação:
Dessa forma, temos que:
Resposta Questão 3
Letra C
Vamos analisar as alternativas:
a) Falsa. O campo elétrico é uma grandeza vetorial.
b) Falsa. As linhas de campo elétrico são abertas, saem das cargas positivas e entram nas cargas negativas.
c) Verdadeira. As linhas de campo elétrico são abertas, emergem das cargas positivas e entram nas cargas negativas.
d) Falsa. O campo elétrico também depende do meio onde as cargas encontram-se e da distância do ponto até a carga.
Resposta Questão 4
Letra C
Se dobrarmos a distância da carga até o ponto ,o novo módulo de campo elétrico será determinado pela seguinte equação:
Teoria
Introdução
Vamos ver aqui o que geram as forças descritas pela Lei de Coulomb: os chamados campos elétricos.
A carga positiva pode ser entendida como um chafariz que expele água e a carga negativa como um ralo por onde a água escoa. De forma análoga, as linhas de campo elétrico saem das cargas positivas e entram nas cargas negativas.
Calma, logo você vai entender melhor!
Vamos começar olhando para a Lei de Coulomb
Se liga nesse exemplo!
Se tivermos duas cargas, Q 1 e Q 2 , separadas por uma distância d, então podemos calcular a força de atração ou de repulsão por meio da lei de Coulomb:
| F 21 → = | F 12 → = F = K . | Q 1 | . | Q 2 | d 2 ,
onde F 21 representa a força que Q 2 faz sobre Q 1 , e F 12 representa a força que Q 1 faz sobre Q 2 , beleza?
Para começar, vamos observar apenas a carga Q 1 , reescrevendo a lei de Coulomb de forma a isolar a carga desse corpo:
F 21 = K . Q 1 . Q 2 d 2 = Q 1 . K . Q 2 d 2 = Q 1 . E 21 .
Na equação acima, denominamos E 21 o módulo do campo elétrico que a carga Q 2 gera no ponto em que está a carga Q 1 . Note que E 21 depende apenas da carga Q 2 e da distância d entre as cargas.
Como eu te falei, o campo elétrico é uma grandeza vetorial. Assim, temos que encontrar a direção e o sentido do vetor campo elétrico E 21 → .
Como a força e o campo são grandezas vetoriais, temos:
Q 1 . E 21 → = F 21 →
Note que a carga Q 1 é positiva. Assim, o sentido e a direção do campo elétrico são idênticos aos da força que a carga Q 2 exerce na carga Q 1 .
No caso da carga negativa, ocorre o oposto:
Q 2 . E 12 → = F 12 →
Como a carga Q 2 é negativa, a direção do campo elétrico E 12 → é igual à direção da força que a carga Q 1 exerce na carga Q 2 , mas os sentidos são opostos.
Temos, então, a seguinte situação:
Podemos então notar que:
- O campo E 12 → gerado pela carga positiva (carga Q 1 ) aponta para foradela.
- O campo E 21 → gerado pela carga negativa (carga Q 2 ) aponta para dentro dela.
Um detalhe importante:
Como F → = q . E → , fica fácil determinar as unidades do campo elétrico no S.I:
E → = F → q
Como a força é expressa em Newton N , a carga é expressa em Coulombs C , temos que o campo elétrico é expresso em “Newton por Coulombs” N C .
Campo Elétrico Gerado por uma Carga Positiva
Temos aqui uma carga elétrica puntiforme positiva (e solitária):
O campo elétrico gerado por Q 1 num ponto P situado nos arredores dessa carga é dado por:
E → 1 = K . Q 1 d 2 . n ^
Onde d é a distância da carga até o ponto P.
Observe que o vetor n ^ unitário radial aponta “para fora” da carga Q 1 .
Logo, as linhas de campo elétrico “saem” da carga Q 1 > 0, apontando para fora, como indicado pelas setas azuis.
Campo Elétrico Gerado por uma Carga Negativa
Vamos agora dar uma olhada na carga solitária negativa:
O caso é parecido e aqui o campo elétrico gerado por Q 2 e que atua num ponto P será dado por:
E → 2 = K . Q 2 d 2 . n ^
Porém, como agora a carga é negativa, então o sentido do vetor E → 2 se inverte em relação ao caso da carga positiva: as linhas de campo elétrico “entram” na carga Q 2 , como indicado pelas setas laranjas.
Resumindo...
Temos, então, uma diferença básica entre campos gerados por cargas positivas e os gerados por cargas negativas:
- Cargas positivas “cospem” o campo elétrico.
- Cargas negativas “sugam” o campo elétrico.
As cargas positivas podem ser comparadas a um chafariz, que solta água em todos os seus arredores.
As cargas negativas se comportam como um ralo, que suga a água dos seus arredores.
Superposição de campos elétricos
Lá na Lei de Coulomb aplicamos o princípio da superposição para casos onde tínhamos mais de duas cargas interagindo.
Esse mesmo princípio também pode ser aplicado a campos elétricos.
Vamos analisar a seguinte situação: temos uma carga positiva e outra negativa interagindo no vácuo. A boa de hoje é calcular o campo elétrico resultante dessa configuração no ponto P, de acordo com a figura abaixo.
Olá!
Vamos iniciar dando nomes aos bois nesse nosso exemplo:
Q 1 = - 1 n C = - 10 - 9 C
Q 2 = + 2 n C = 2 × 10 - 9 C
d 1 = 3 m
d 2 = 2 m
Vamos, agora, calcular o vetor campo elétrico gerado por cada uma dessas cargas no ponto P, ok?
E 1 → = K 0 . Q 1 d 1 2 . n ^ = 9 × 10 9 × - 10 - 9 3 2 . n ^ = - 3 n ^ N C
E 2 → = K 0 . Q 2 d 2 2 . n ^ = 9 × 10 9 × 2 × 10 - 9 2 2 . n ^ = 9 n ^ N C
Para as duas cargas, o vetor unitário que tomamos é o mesmo: um vetor de módulo n ^ = 1, que aponta para a direita, como mostra a figura abaixo. Saca só!
Sendo assim, o campo elétrico resultante será a soma vetorial de todos os campos elétricos, logo:
E R → = E 1 → + E 2 →
E R → = - 3 n ^ N C + 9 n ^ N C
E R → = 6 n ^ N C
Show! Para fechar: e se colocássemos uma carga q = 3 C exatamente no ponto P, qual seria, nesse caso, a força resultante que age sobre ela?
Bom, poderíamos fazer isso calculando a força que cada carga exerceria sobre a nossa carga q e depois calcular a força resultante, ou podemos simplesmente utilizar o valor do campo elétrico resultante no ponto P, que nós acabamos de calcular.
Dessa forma, a força resultante sobre a carga q seria:
F R → = q . E R →
F R → = 3 × 6 = 18 n ^ N
Entendeu numa boa? #PartiuExercitar
Campo Elétrico Gerado por uma Carga Positiva
Campo Elétrico Gerado por uma Carga Negativa
Resumindo...
Superposição de campos elétricos
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 43-3.
Qual é o módulo de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50 c m de distância tem um módulo igual a 2,0 N C ?
Passo 1
Substituir na fórmula do campo elétrico:
E = K . q d 2 → 2 N C = 9.10 9 . q 50.10 - 2 2 → q = 2 . 50.10 - 2 2 9.10 9 C = 0,0555 … n C
Resposta
Exercício Resolvido #2
TIPLER, MOSCA, FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS, VOLUME II, 6.ED.
Uma carga puntiforme q 1 = + 8 n C está na origem e uma segunda carga puntiforme q 2 = + 12,0 n C está no eixo x em x = 4,0 m. Determine o campo elétrico no eixo y em y = 3,0 m.
Passo 1
Sejam E → 1 e E → 2 respectivamente os campos gerados por q 1 e q 2.
O campo elétrico total vai ser E → = E → 1 + E → 2 , sendo que E → 1 tem componente apenas no eixo y enquanto E → 2 tem componentes no eixo x e y.
O que a gente tem nesse problema é tipo isso aqui
O módulo do campo elétrico devido a uma carga pontual é
E = k q d 2
Vamos usar essa formulazinha pra calcular o campo elétrico em y = 3 m devido a cada uma das cargas puntiformes.
Passo 2
Primeiro vamos calcular o módulo do campo elétrico em y = 3,0 m devido à carga q 1
E 1 = k q 1 3 2
E 1 = 7,99 N / C
Pela imagem do enunciado, percebemos que E → 1 tem componentes apenas no eixo y, logo E → 1 x = 0 e E → 1 y = 7,99 N / C.
Agora, vamos calcular o módulo do campo elétrico devido à carga q 2
E 2 = k q 2 5 2
E 2 = 4,32 N / C
Na imagem, vemos que E → 2 tem uma componente negativa no eixo x e uma positiva no eixo y. Elas são dadas por
E → 2 x = - 4,32 × s e n θ = - 3,46 N / C
E → 2 y = 4,32 × cos θ = 2,59 N / C
Ah, lembrando que s e n θ = 4 5 e que cos θ = 3 5 , por trigonometria.
Passo 3
Agora, podemos finalmente calcular o campo elétrico total E → . Suas componentes em cada eixo vão ser
E → x = E → 1 x + E → 2 x = - 3,46 N / C
E → y = E → 1 y + E → 2 y = 10,6 N / C
O módulo de E → vai ser
E = E x 2 + E y ² = 11,2 N / C
E, finalmente, vamos calcular o ângulo entre E → e o eixo x
∅ = t a n - 1 E y E x = 108 °
Agora já temos o módulo do nosso vetor campo elétrico e o ângulo que ele faz com o eixo x, logo, temos o campo elétrico total em y = 3 m :)
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFF-Física II-Lista de Exercícios n°1.
Três cargas de 1,0 n C estão dispostas como mostra a figura. Cada uma das cargas cria um campo elétrico E em um ponto diretamente à frente da carga central e a 3,0 c m da mesma.
a ) Quais são os três campos E 1 , E 2 e E 3 criados, respectivamente, pelas três cargas? Escreva sua resposta para cada um dos campos como um vetor em função das componentes correspondentes.
b ) O campo elétrico satisfaz o princípio da superposição, logo, existe um “campo resultante” neste ponto dado por E r e s = E 1 + E 2 + E 3 . Calcule o valor deste campo.
Passo 1
a )
Para resolver essa questão, vamos adotar o sistema de coordenadas usual:
Lembrando que uma carga genérica q produz um campo igual a:
E → = k . q r 2 r ^
Agora é só analisar os três casos, lembrando que o campo elétrico “sai” das cargas positivas. Vamos para a primeira carga q 1 !
Passo 2
Para a carga q 1 , teremos duas componentes, uma em x, que será positiva, e uma em y, que será negativa, dá uma olhada!
E x → = E 1 . cos θ = E 1 . 3 3 2 + 1 2 i ^
E y → = E 1 . sen θ = E 1 . 1 3 2 + 1 2 ( - j ^ )
Para determinar o módulo de E 1 , basta usar a fórmula, se liga!
E = k . q r 2
E 1 = 9 × 10 9 . 1,0 × 10 - 9 3 2 + 1 2 × 10 - 2 2
E 1 = 9,0 × 10 3 N / C
Agora é só substituir e determinar as componentes!
E x → = E 1 . 3 10 i ^ = 9,0 × 10 3 . 3 10 i ^ = 8,54 × 10 3 i ^ N / C
E y → = E 1 . 1 10 - j ^ = 9,0 × 10 3 . 1 10 - j ^ = 2,85 × 10 3 - j ^ N / C
A resultante E 1 → fica:
E 1 → = E x → + E y →
E 1 → = 8,54 × 10 3 i ^ + 2,85 × 10 3 - j ^ N / C
Agora vamos para q 3 !
Passo 3
Para q 3 , é bem mais simples, temos apenas a componente x. Utilizando a fórmula, temos:
E 3 → = k . q r 2 i ^ = 9,0 × 10 9 . 1,0 × 10 - 9 3 × 10 - 2 2 i ^ = 1,0 × 10 4 i ^ N / C
Bora agora pra q 2 , que é bem parecida com q 1 . Simbora acabar com isso!
Passo 4
Para q 2 , temos uma situação bem parecida com q 1 , só que agora, a componente y será positiva. Temos então:
E x → = E 2 . cos θ = E 2 . 3 3 2 + 1 2 i ^
E y → = E 2 . sen θ = E 2 . 1 3 2 + 1 2 j ^
Vamos primeiro determinar E 2 , depois é só substituir!
E 2 = k . q r 2 = 9,0 × 10 9 . 1,0 × 10 - 9 3 2 + 1 2 × 10 - 2 2 = 9,0 × 10 3 N / C
Substituindo, temos:
E x → = 9,0 × 10 3 . 3 10 i ^ = 8,54 × 10 3 i ^ N / C
E y → = 9,0 × 10 3 . 1 10 j ^ = 2,85 × 10 3 j ^ N / C
A resultante E 2 → fica:
E 2 → = 8,54 × 10 3 i ^ + 2,85 × 10 3 j ^ N / C
Passo 5
b )
Para achar a resultante, basta somar os vetores que achamos no item anterior!
E → r e s = E 1 → + E 2 → + E 3 →
Substituindo, temos:
E → r e s = 8,54 × 10 3 i ^ + 2,85 × 10 3 - j ^ + 1,0 × 10 4 i ^ + 8,54 × 10 3 i ^ + 2,85 × 10 3 j ^
E → r e s = 2,71 × 10 4 i ^ N / C
Resposta
a )
E 1 → = 8,54 × 10 3 i ^ + 2,85 × 10 3 - j ^ N / C
E 3 → = 1,0 × 10 4 i ^ N / C
E 2 → = 8,54 × 10 3 i ^ + 2,85 × 10 3 j ^ N / C
b )
E → r e s = 2,71 × 10 4 i ^ N / C
Exercício Resolvido #4
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física III – Eletromagnetismo, 12ª ed. São Paulo, 2010, pp. 34
Duas cargas puntiformes q são colocadas sobre o eixo O x, uma no ponto x = a a outra no ponto x = - a. Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo O x.
Passo 1
Começar desenhando o problema é sempre uma boa:
Beleza. À partir do desenho, podemos perceber que temos três regiões críticas:
- x < - a
- - a < x < a
- x > a
Não podemos tentar calcular o campo “em cima” de uma das cargas pois a distância dela para si mesma seria zero, o que resultaria numa divisão por zero na fórmula do campo. Beleza? Vamos agora calcular para cada um dos casos.
Passo 2
A expressão para o campo de uma carga puntiforme é a seguinte:
E → = k q r 2 r ^
Onde r é a distância do ponto que queremos até a carga. Como as duas cargas são positivas vamos ter dois campos divergentes:
Mas a única linha de campo que nos interessa agora é a que está em cima do eixo x:
- Para - a < x < a:
A contribuição da carga em x = - a é positiva (aponta para o sentido positivo de O x), já a da carga em x = a é negativa. A fórmula é:
E → = k q r 2 r ^
Perceba que um ponto x dentro deste intervalo
Aqui vamos ter os termos referentes à cada uma das cargas, ok? Sendo o termo da esquerda referente à carga da esquerda e o termo da direta a carga da direita. Então substituindo:
E x = k q a + x 2 - k q a - x 2
E x = k q 1 a + x 2 - 1 a - x 2
Desenvolvendo:
E x = k q a - x 2 a + x 2 a - x 2 - a + x 2 a - x 2 a + x 2
E x = k q a - x 2 - a + x 2 a + x 2 a - x 2
E x = k q a 2 - 2 a x + x 2 - ( a 2 + 2 a x + x 2 ) a + x 2 a - x 2
Cancelando os termos da subtração:
E x = k q - 4 a x a + x 2 a - x 2
Aqui já temos uma resposta bem razoável, mas ainda dá pra simplificar um pouco esse denominador fazendo
a + x 2 a - x 2 = a + x a - x a + x a - x
a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 a 2 - x 2
a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 2
Aí o campo fica
E x = k q - 4 a x a 2 - x 2 2
Se quiser pode substituir o k = 1 4 π ϵ 0 :
E x = - q π ϵ 0 a x a 2 - x 2 2
Passo 3
- Para x > a, as duas cargas produzem um campo que aponta na direção positiva de x (para direita):
A carga da esquerda está a uma distância ( x + a ) do nosso ponto x enquanto que a carga da direita está a uma distância ( x - a ), assim
E x = k q x + a 2 + k q x - a 2 = k q 1 x + a 2 + 1 x - a 2
E x = k q x - a 2 x + a 2 x - a 2 + x + a 2 x - a 2 x + a 2
Novamente aqui já temos uma resposta válida, mas é sempre bom simplificar o máximo possível para aquele professor chato né? =P
Lembrando que no denominador podemos escrever x + a 2 x - a 2 = x 2 - a 2 2 ! Expandindo os caras de cima
E x = k q x 2 + 2 x a + a 2 + x 2 - 2 x a + a 2 x 2 - a 2 2 = k q 2 x 2 + 2 a 2 x 2 - a 2 2
Substituindo o k, finalmente temos
E x = q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2
Passo 4
- Para x < - a, os campos produzidos pelas duas cargas apontarão para esquerda, ou seja, cada um deles será negativo.
Como x < 0, a distância do nosso ponto x até a carga da esquerda é ( a + x ) (lembrando que x < 0) e da carga da direita é ( a - x ), assim
E x = - k q a - x 2 - k q a + x 2 = - k q 1 a - x 2 + 1 a + x 2
Essa conta no parênteses grande é igualzinha à conta do passo anterior, então vamos ter como resultado
E x = - q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2
E fim de papo.
Resposta
Para - a < x < a :
E x = - q π ϵ 0 a x a 2 - x 2 2
Para x > a:
E x = q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2
Para x < a :
E x = - q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2
Exercício Resolvido #5
UFRJ-Prova Final-2015.1-Múltipla Escolha n°5.
O mostrador de um relógio analógico, circular tem partículas com cargas positivas q, 2 q, 3 q e 4 q nas posições da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e 12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relógio não perturbam o campo eletrostático criado por tais partículas.
A que horas o ponteiro das horas aponta na mesma direção e sentido do campo elétrico no centro do mostrador?
a 3 horas e 30 minutos.
b 4 horas e 30 minutos.
c 8 horas e 30 minutos.
d 10 horas e 30 minutos.
e 1 hora e 30 minutos.
Passo 1
Beleza, primeiro vamos tentar visualizar as coisas, ok?
Assim, considerando as coordenadas usuais (eixos x y como na figura acima), os campos elétricos gerados por cada carga serão dados por:
E → 1 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - x ^
E → 2 = 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 y ^
E → 3 = 1 4 π ϵ 0 3 q d 2 x ^
E → 4 = 1 4 π ϵ 0 4 q d 2 - y ^
Assim, o campo elétrico resultante será dado por:
E → = E → 1 + E → 2 + E → 3 + E → 4
E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - x ^ + 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 y ^ + 1 4 π ϵ 0 3 q d 2 x ^ + 1 4 π ϵ 0 4 q d 2 - y ^
E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - 1 + 3 x ^ + 2 - 4 y ^
Finalmente:
E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 2 x ^ - 2 y ^
E → = 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 x ^ - y ^
Passo 2
Vamos encontrar primeiro o ângulo que indica a direção do vetor campo elétrico:
t g θ = - 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 = - 1
Como o c o s θ > 0, temos que:
θ = 315 °
Graficamente, o campo elétrico resultante vai ter essa cara:
Ok, mas que a horas correspondem 135 °?
O relógio possui 12 marcações, assim, o ângulo entre cada marcação será dado por:
θ = 360 ° 12
θ = 30 °
Logo, fazendo uma regra de 3, teremos:
1 h o r a → 30 °
x h o r a s → 135 °
Portanto:
x = 135 30 = 4,5 h o r a s
Finalmente, o ângulo de 135 ° corresponde a 4 horas e 30 minutos.
A resposta certa é a letra b .
Resposta
Exercício Resolvido #6
UFRJ- Física 3 - PF 2017.2 - DIURNO – Adaptada.
Quatro partículas carregadas são fixadas sobre os vértices de um quadrado de lado a, como mostrado na figura abaixo. Suas cargas estão indicadas. Qual é o campo eletrostático produzido pelas quatro partículas no centro do quadrado?
Passo 1
Bom, vamos começar a estudar este exercício considerando a figura abaixo, em que identificamos as cargas de mesmo sinal com a mesma cor. Vamos dizer que q > 0, para facilitar a nossa discussão, mas o mesmo valerá para o caso em que q < 0.
Na figura acima, representamos o centro do quadrado pelo ponto P. Este ponto está a uma mesma distância a 2 / 2 de cada uma das cargas. Como q > 0, os campos gerados por essas cargas em laranja sobre o ponto P são de afastamento, como indicam os vetores de mesma cor.
Já as outras cargas - q < 0 (portanto negativas), produzem campos de aproximação (vetores em verde), também representados na figura. Os vetores em verde e laranja possuem mesmo módulo, ou seja, eles têm o mesmo tamanho. Na figura, representamos esses vetores com tamanhos diferentes apenas para facilitar a visualização, ok? Mas não se esqueça, como todas as quatro cargas têm o mesmo módulo e estão nos vértices à mesma distância de P, o tamanho dos vetores é o mesmo!!
Fica claro da figura que, ao somarmos os vetores, no ponto P teremos um campo resultante <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="8.297ex" height="4.176ex" style="vertical-align:-0.838ex" viewbox="0 -1437.2 3572.3 1798" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> E → R ≠ 0 . Portanto, no centro do quadrado, existe um campo elétrico diferente de zero e nosso próximo passa será calcular explicitamente o seu módulo.</p> </div><h2>Passo 2</h2><div><p>Como todos os módulos dos quatro campos elétricos são iguais no ponto <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.745ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 751.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> P , basta calcularmos o módulo de um deles, projetar na direção y e multiplicar o resultado por 4, Blz??
Por isso, o módulo do campo resultante E → R no ponto P é dado por
E → R = 4 E → cos 45 ˚ = 4 q 4 π ε 0 a 2 2 2 cos ( 45 ˚ ) .
Como cos 45 ˚ = 2 / 2 , temos que o valor do campo resultante no ponto P é:
E → R = 2 q π ε 0 a 2 .
A direção e sentido do vetor E → R está indicado na Figura.
Resposta
<defs aria-hidden="true"> <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)" aria-hidden="true"> </g></defs> | E → R | = 2 q π ε 0 a 2 .
Exercício Resolvido #7
Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 21.106, pp. 39.
Duas cargas são colocadas como indica a Figura abaixo. O módulo da carga q 1 é 3,0 μ C, porém não conhecemos seu sinal e nem o valor da carga q 2 . O campo elétrico resultante <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="2.557ex" height="3.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -1437.2 1100.7 1582.7" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> E → no ponto <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.745ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 751.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> P aponta para o sentido negativo do eixo O y.
- Dados a direção e o sentido de E → , determine os sinais das cargas q 1 e q 2 ;
- Determine o valor do módulo da carga q 2 ;
- Calcule o módulo do campo elétrico E → .
Passo 1
a) É importante que a gente se lembre de que o campo elétrico produzido por cargas positivas é um campo de afastamento e que campos gerados por cargas negativas são campo de aproximação. Ou seja, o campo produzido pela carga positiva tem um vetor que se afasta da carga, enquanto para a negativa, o campo que ela cria tem um vetor que se aproxima dela.
No caso colocado no exercício, como E → representa vetor campo elétrico resultante no ponto P devido às cargas q 1 e q 2 , então, essas cargas só podem ser negativas. Se qualquer uma dessas cargas for positiva, ou ambas positivas, a direção e/ou o sentido do campo resultante <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="2.557ex" height="3.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -1437.2 1100.7 1582.7" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> E → será diferente do que está na Figura acima. Portanto, devemos ter que</p> <p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="17.338ex" height="2.676ex" style="vertical-align:-0.838ex" viewbox="0 -791.3 7464.9 1152.1" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> q 1 < 0 e q 2 < 0 ,
como está representado na Figura, com os respectivos campos produzidos no ponto P.
Passo 2
b) Agora, como o campo elétrico resultante E → tem apenas componente na direção y, podemos escrever, considerando a geometria lá da Figura, para as direções x e y :
x : E → 1 cos θ 1 = E → 2 cos ( θ 2 ) ;
y : E → = E → 1 s e n θ 1 + E → 2 s e n θ 2 .
Uma relação que ajuda a gente bastante aqui vem de notar que, como temos um triângulo retângulo, vale que
θ 1 + θ 2 = π 2 ⇒ θ 1 = π 2 - θ 2 ,
que dá o seguinte
cos θ 1 = cos π 2 - θ 2 = s e n θ 2 .
Substituindo essa relação trigonométrica que encontramos lá na expressão da direção x, chegamos a
x : E → 2 = E → 1 tan θ 2 .
Dessa expressão, podemos encontrar o valor de | E → 1 |, pois temos os valores da carga q 1 e da distância d 1 dessa carga até o ponto P. Como queremos obter o valor da carga negativa q 2 e o valor de d 2 e θ 2 são conhecidos, podemos expressar | q 2 | como:
E → 2 = | q 2 | 4 π ε 0 d 2 2 = | q 1 | 4 π ε 0 d 1 2 tan θ 2 ⇒ | q 2 | = d 2 2 tan θ 2 d 1 2 | q 1 | .
Da Figura, a gente vê que tan θ 2 = 5 / 12 . Substituindo esse valor e tomando os valores dados no enunciado, temos
q 2 = - 7,2 μ C .
Passo 3
c) Substituindo
E → 2 = E → 1 tan ( θ 2 )
na expressão que a gente obteve para a direção y, obtemos que | E → | é dado por
E → = E → 1 s e n θ 1 + s e n θ 2 tan θ 2 .
Como θ 1 = π 2 - θ 2 , temos que s e n θ 1 = cos ( θ 2 ) . Substituindo na expressão acima
E → = E → 1 cos θ 2 + s e n 2 θ 2 cos θ 2 ⇒ E → = E → 1 cos θ 2 .
Colocando os valores dados no exercício, temos
E → ≈ 1,17 × 10 7 N C .
Resposta
- q 1 < 0 e q 2 < 0 ;
- q 2 = - 7,2 μ C ;
- E → ≈ 1,17 × 10 7 N C .
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