O vértice da parábola corresponde ao ponto em que o gráfico de uma função do 2º grau muda de sentido. A função do segundo grau, também chamada de quadrática, é a função do tipo f(x) = ax2 + bx + c. Show
Usando um plano cartesiano, podemos traçar o gráfico de uma função quadrática considerando os pontos de coordenadas (x,y) que pertencem a função. Na imagem abaixo, temos o gráfico da função f(x) = x2 - 2x - 1 e o ponto que representa seu vértice. Coordenadas do VérticeAs coordenadas do vértice de uma função quadrática, dada por f(x) = ax2 + bx +c, podem ser encontradas através das seguintes fórmulas: Sendo Δ = b2 - 4.a.c ExemploEncontre as coordenadas do vértice da função f(x) = - x2 + 4x - 2. SoluçãoPara encontrar as coordenadas do vértice, aplicaremos as fórmulas acima. Para isso, vamos calcular o valor do Δ, considerando a = - 1, b = 4 e c = - 2. Assim temos: Δ = 42 - 4 . (- 1). (- 2) = 16 - 8 = 8 Substituindo os valores, encontramos: Portanto, o ponto do vértice tem coordenadas V (2, 2), conforme indicado na imagem abaixo: Valor máximo e mínimoDe acordo com o sinal do coeficiente a da função do segundo grau, a parábola poderá apresentar sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Quando o coeficiente a for negativo, a concavidade da parábola estará para baixo. Neste caso, o vértice será o máximo valor atingido pela função. Para funções com coeficiente a positivo, a concavidade estará voltada para cima e o vértice representará o mínimo valor da função. Imagem da funçãoComo o vértice representa o ponto máximo ou mínimo da função do 2º grau, ele é usado para definir o conjunto imagem desta função, ou seja, os valores de y que pertencem a função. Desta forma, existem duas possibilidades para o conjunto imagem da função quadrática:
Por exemplo, para definir a imagem da função f(x) = x2 + 2 x - 3, devemos encontrar o valor do y do vértice da função. Aplicando a fórmula, descobrimos que o valor do yv é - 4. Como o coeficiente a da função é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima, Então, este ponto será o valor mínimo da função, conforme indicado na imagem abaixo: Portanto, todos os valores assumidos pela função serão maiores que - 4. Assim, f(x) = x2 + 2x - 3 terá conjunto imagem dado por: Questões Resolvidas1) Enem - 2015 Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = - h2 + 22 h - 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como a) muito baixa. Ver Resposta A função T(h) = - h2 + 22 h - 85 possui coeficiente a < 0, portanto, sua concavidade está voltada para baixo e seu vértice representa o maior valor assumido pela função, ou seja, a maior temperatura no interior da estufa. Como o problema nos informa que o número de bactérias é o maior possível quando a temperatura máxima, então esse valor será igual ao y do vértice. Assim: Identificamos na tabela que esse valor corresponde a temperatura alta. Alternativa: d) alta. 2) UERJ - 2016 Observe a função f, definida por: f (x) = x2 - 2kx + 29, para x ∈ IR. Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4. Assim, o valor positivo do parâmetro k é: a) 5 Ver Resposta A função f (x) = x2 - 2kx + 29 possui coeficiente a > 0, logo seu valor mínimo corresponde ao vértice da função, ou seja, yv = 4. Considerando essa informação, podemos aplicar na fórmula do yv. Assim, temos: Como a questão pede o valor positivo de k, então iremos desprezar o -5. Alternativa: a) 5 Para saber mais, veja também:
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011. Qual a soma das coordenadas do vértice de uma função do segundo grau definida por f X?Questão 1. Qual é a soma das coordenadas do vértice de uma função do segundo grau definida por f(x) = 2x2 + 10x + 12? Alternativa A.
Como calcular as coordenadas do vértice?1 – Determinar as raízes x1 e x2 da função; 2 – Encontrar o ponto médio do segmento cujas extremidades são as raízes x1 e x2. Esse ponto médio é justamente a coordenada xv do vértice. 3 – Encontrar o valor da função no ponto xv, ou seja, calcular f(xv) tem como resultado o valor da coordenada yv do vértice.
Como calcular o vértice de uma função quadrática?Esse ponto de retorno da parábola, mais conhecido como vértice da parábola, pode ser calculado com base nas expressões matemáticas envolvendo os coeficientes da função do 2º grau dada pela lei de formação y = ax² + bx + c.
O que são as coordenadas do vértice de uma função quadrática?As coordenadas do vértice da parábola podem ser obtidas por meio de fórmulas que envolvem os coeficientes da função do segundo grau relacionados a ela. Uma função do segundo grau é aquela que pode ser escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c.
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