Qual é a probabilidade de sair um múltiplo de 5 no primeiro sorteio?

Os múltiplos de um número inteiro são um conjunto cujos elementos são obtidos após a multiplicação desse número fixo por todos os números inteiros. Uma vez fixado um número inteiro e multiplicando-o por todos os inteiros, formaremos um subconjunto desses números, pois todo elemento desse conjunto dos múltiplos também é elemento do conjunto dos números inteiros.

Leia também: Propriedades da multiplicação que facilitam o cálculo mental

Tópicos deste artigo

• 1 - Múltiplos de um número inteiro
• 2 - Como verificar se um número é múltiplo de outro?
  • Exemplos
• 3 - Exercícios resolvidos

Múltiplos de um número inteiro

Considere dois números inteiros conhecidos, p e q. O número p será múltiplo de q se, e somente se, existir um número inteiro m, de forma que:

p = q · m

Dessa forma, o conjunto dos múltiplos do número p pode ser obtido multiplicando-se p por todos os números inteiros, os resultados dessa operação serão os múltiplos de p.

Exemplo

Os 15 primeiros múltiplos de 3.

Para determinar esse conjunto, basta multiplicar os 15 primeiros números inteiros por 3.

3 · 1 = 3

3 · 2 = 6

3 · 3 = 9

3 · 4 = 12

3 · 5 = 15

3 · 6 = 18

3 · 7 = 21

3 · 8 = 24

3 · 9 = 27

3· 10 = 30

3 · 11 = 33

3 · 12 = 36

3 · 13 = 39

3 · 14 = 42

3 · 15 = 45

Assim, os 15 primeiros múltiplos de 3 são:

M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45}

Veja que encontramos somente os 15 primeiros múltiplos de 3. Como temos que multiplicar o 3 por todos os números inteiros, o conjunto dos múltiplos é infinito.

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Como verificar se um número é múltiplo de outro?

Para verificar se um número é múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de tal maneira que a multiplicação entre eles seja igual ao primeiro número. Veja:

Exemplos

a) Para verificar se o número 110 é múltiplo de 11, devemos buscar um número inteiro, que, multiplicado por 11, resulte em 110. Caso ele exista, o número 110 será múltiplo de 11, caso contrário, não o será.

110 = 11 · 10

b) O número 143 é múltiplo de 12?

O número 143 não é múltiplo de 12, uma vez que:

132 = 12 · 11

144 = 12 · 12

Veja que não existe número inteiro entre 11 e 12, logo, não existe número que, quando multiplicado por 12, resulte em 143, portanto, o número 143 não é múltiplo de 12.

Veja também: Múltiplos e divisores: o que são e como os encontrar?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Escreva todos os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15.

Resolução

Sabemos que os múltiplos de 15 são os resultados da multiplicação do número 15 por todos os inteiros. Como o exercício pede para escrever os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15, demos multiplicar o número 15 por todos os números maiores que zero até encontrar o maior múltiplo antes de 100, assim:

15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105

Portanto, os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15 são:

{15, 30, 45, 60, 75, 90}

Questão 2 – Qual o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001?

Resolução

Para determinar o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001, basta determinar o primeiro múltiplo de 5 de trás para frente.

1001 não é múltiplo de 5, pois não existe inteiro que, multiplicado por 5, resulte em 1001.

1000 é múltiplo de 5, pois 1000 = 5 · 200.

Portanto, o maior múltiplo de 5, entre 100 e 1001, é o número1000.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Compreender o conceito de múltiplo e divisor de um número inteiro é muito importante para resolver grande parte dos cálculos matemáticos. Esses conceitos são válidos tanto para os números naturais quanto para os números inteiros, visto que os números naturais estão contidos nos números inteiros:

Leia também: Relação entre conjuntos numéricos: conheça as condições

Múltiplos de um número inteiro

Conhecidos os números inteiros m e n, o número m será múltiplo de n se, e somente se, existir um número inteiro k, de modo que:

m = n ∙ k

Para verificar se um número é múltiplo de outro, basta encontrar um número inteiro de modo que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número.

Exemplos:

a) 35 é múltiplo de 7, pois 35 é igual a 7 multiplicado pelo número inteiro 5.

b) 63 é múltiplo de 21, pois 63 é igual a 21 multiplicado pelo número inteiro 3.

c) 22 não é múltiplo de 3, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulte em 22.

Do exemplo a, perceba que m = 35, n = 7 e que o número a determinar a existência é k = 5. O mesmo vale para os demais exemplos. Perceba também que, caso não encontremos o valor de k, podemos afirmar que os números não são múltiplos.

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Leia também: Propriedades da multiplicação e da adição para o cálculo mental

• Múltiplos de 2

2 ∙ 1 = 2

2 ∙ 2 = 4

2 ∙ 3 = 6

2 ∙ 4 = 8

2 ∙ 5 = 10

2 ∙ 6 = 12

2 ∙ 7 = 14

2 ∙ 8 = 16

2 ∙ 9 = 18

2 ∙ 10 = 20

Da definição de múltiplos, podemos perceber que os números que resultam da multiplicação por 2 são os múltiplos do número inteiro 2. Então, os múltiplos do número 2, que chamamos por M(2), são:

M(2) = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;...}

• Múltiplos de 3

3 ∙ 1 = 3

3 ∙ 2 = 6

3 ∙ 3 = 9

3 ∙ 4 = 12

3 ∙ 5 = 15

3 ∙ 6 = 18

3 ∙ 7 = 21

3 ∙ 8 = 24

3 ∙ 9 = 27

3 ∙ 10 = 30

De maneira semelhante, perceba que todos os números que são resultados da multiplicação por 3 são múltiplos do número inteiro 3. Veja:

M(3) = {3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;...}

• Observação

O número zero pertence ao conjunto dos inteiros e sabemos que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, ou seja, o número zero é múltiplo de todo número inteiro.

0 = 0 ∙ k

Divisor de um número inteiro

Conhecidos os números m e n, dizemos que n é divisor de m se n for múltiplo de m, em outras palavras, a divisão de n por m deve deixar resto 0.

Exemplos:

a) 21 é múltiplo de 7, então 7 é divisor de 21.

b) 99 é múltiplo de 11, então 11 é divisor de 99.

c) 12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12.

Nos exemplos a e b, que trazem as divisões de 21 por 7 e 99 por 11, o resto é igual a 0.

Representamos os divisores de um número da seguinte maneira:

a) Divisores de 2: D(2) = {1;2}

b) Divisores de 3: D(3) = {1;3}

c) Divisores de 20: D(20) = {1;2;4;5;10;20}

Propriedade dos múltiplos e divisores

As propriedades que envolvem múltiplos e divisores estão relacionadas com a divisão de dois números inteiros. Das definições, podemos perceber que, quando um número inteiro é múltiplo de outro, ele também é divisível por esse outro número.

Para as duas primeiras propriedades, tome dois números inteiros N e d e considere o algoritmo.

N = d ∙ q + r, com q e r também naturais

N é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r é o resto.

• Propriedade 1: (N - r) é múltiplo de d, em outras palavras, d é um divisor de (N - r). Logo, (N - r) é o maior número que é menor que N.

• Propriedade 2: (N - r + d) é múltiplo de d, em outras palavras, d é um divisor de (N - r + d). Logo, (N - r + d)é o menor número que é maior que N.

Exemplo

Na divisão de 230 por 12, temos o quociente (q) igual a 19 e resto (r) igual a 2. Perceba também que N =230 e d =1 e que, de fato, (230 – 2 +12) = 240, que é divisível por 12.

Leia também: Algoritmo da divisão: como utilizar?

Observações importantes

Uma importante consequência da definição de múltiplos e divisores é a implicação na definição de números primos. Um número inteiro p positivo é chamado de primo se tiver como divisores somente o número 1 e si próprio. Então, os números 2, 3 5, 7 são primos porque, na lista de seus divisores, os únicos números que aparecem são o número 1 e o próprio número.

O número inteiro 2 é o único número par que é primo. Os demais pares são todos múltiplos de 2, portanto já perdem a características de números primos.

Tabela dos primos entre 1 e 100

Exercício resolvido

Questão 1. (Uece) Maria observou que suas férias, naquele ano, terminaram no dia 27 de julho, uma segunda-feira, e agendou uma reunião com seus amigos no primeiro feriado do segundo semestre, que no caso era dia 7 de setembro. A reunião foi agendada para um (a):

a) sábado

b) domingo

c) segunda-feira

d) terça-feira

e) sexta-feira

Solução:

Após o dia 27 de julho até a data do feriado, que é dia 7 de setembro, são 4 + 31 + 7 = 42 dias, que, por sua vez, é múltiplo de 7. Assim, a reunião ficou agendada para uma segunda-feira. Letra c.

Qual a probabilidade de sortear um número múltiplo de 5?

Qual a probabilidade de sair o número 5 duas vezes seguidas?

Qual é a probabilidade de ser sorteado o número 54?

Qual é a probabilidade de Clara ganhar o celular nesse sorteio 1