Transcrição de vídeoRKA - Encontre a probabilidade de conseguir pares em dois dados de seis faces numerados de 1 a 6. Quando eles estão falando sobre conseguir pares, simplesmente, dizem que se eu jogar dois dados, consigo o mesmo número nos dois. Por exemplo, um 1 e um 1 é um par; um 2 e um 2 é um par; um 3 e um 3; um 4 e um 4; um 5 e um 5; um 6 e um 6; todos aqueles são exemplos de pares. O evento em questão é: conseguir duplas com dois dados de seis lados, numerados de 1 a 6. Vamos pensar em todos os resultados. Ou outra forma de pensar é sobre a matriz aqui. O que a gente consegue pensar com o primeiro dado? Vou escrever como "Dado nº 1". Quais são as possíveis jogadas? Elas são numeradas de 1 a 6. É um dado de seis lados, então posso obter um 1, um 2, um 3, um 4, um 5 ou um 6. Agora, vamos pensar no segundo dado: "Dado nº 2". Exatamente a mesma coisa: dá para ter um 1, um 2, um 3, um 4, um 5 ou um 6. Agora, dadas estas possibilidades de resultados para cada dado, a gente pode pensar nos resultados para os dois dados. Por exemplo, neste aqui... ...dá para desenhar uma matriz, só para ficar um pouco mais claro... ...vou traçar uma linha... ...na verdade, é melhor traçar várias dessas para que a gente deixe mais claro... Vou desenhar a matriz completa. Muito bem... e, aí, vou traçar as linhas verticais ...só mais algumas... Vamos lá! Agora, tudo desta linha superior, estes são os resultados onde consegui um 1 no primeiro dado. Estes são todos daqueles resultados. Consigo um 1 no segundo dado, mas preencherei aquilo mais tarde. Esses são todos os resultados onde consigo um 2 no primeiro dado; aqui é onde consigo um 3 no primeiro dado; 4 ...eu acho que já entenderam a ideia... no primeiro dado; e, aí, um 5 no primeiro dado; finalmente, nesta última linha, todos os resultados onde consegui um 6 no primeiro dado. Agora, dá para ir para as colunas. E, nesta primeira, é onde conseguimos um 1 no segundo dado (aqui é onde conseguimos um 1 no segundo dado). Aqui é onde conseguimos um 2 no segundo dado; ...vamos anotar... aqui é onde conseguimos um 3 no segundo dado; ...isto é uma vírgula que estou colocando entre os dois números... aqui é onde a gente tem um 4; então, aqui é onde conseguimos um 5 no segundo dado; esta última coluna é onde conseguimos um 6 no segundo dado. Agora, cada um destes representa um possível resultado. Este resultado é onde conseguimos um 1 no primeiro dado e um 1 no segundo dado; esse resultado é onde conseguimos um 3 no primeiro dado e um 2 no segundo dado; esse resultado é onde conseguimos um 4 no primeiro dado e um 5 no segundo dado; e podem ver aqui que há 36 resultados possíveis: 6 vezes 6 resultados possíveis. Com esses descartados, quantos desses resultados satisfazem nosso critério de conseguir duplas com dois dados de seis faces? Quantos desses resultados são descritos pelo nosso evento? A gente vê bem aqui! Duplas! Bom, é conseguir um 1 e 1; aquele é um 2 e um 2; um 3 e um 3; um 4 e um 4; um 5 e um 5; e um 6 e um 6. A gente tem 1, 2, 3, 4, 5, 6 resultados satisfatórios para esse evento, ou são resultados consistentes com este evento. Isso respondido, vamos responder à questão: qual é a probabilidade de conseguir duplas com dois dados de seis lados e numerados de 1 a 6. A probabilidade vai ser igual ao número dos resultados que satisfazem o nosso critério; ou o número dos resultados para este evento, que são seis. A gente chegou a esta conclusão sobre o total. Quero fazer, aqui, na cor rosa: número de resultados sobre o total da nossa matriz. A gente tem um total de 36 resultados ...tem 36 resultados... e se você simplifica isto: 6 sobre 36 é igual a 1 sobre 6. Então, a probabilidade de conseguir pares com dados de seis faces, numeradas de 1 a 6, é de 1 sobre 6. Show
1 (ímpar) 2 (par) 3 (ímpar) 4 (par) 5 (ímpar) 6 (par) Então temos 3 pares,ok? O 2, o 4 e o 6. Se a chance de cada um cair é de 1 em 6 e são 3 pares, a chance de cair em um par qualquer é de 3 em 6. Ou seja, temos 1 em 2, isso é, 50% de chance. Isso significa que metade das vezes que se jogar o dado, um número par irá sair. Na matemática bem direitinho agora: sair um número par: o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2, ou seja metade, 50% (3elementos, 6 faces do dado) Probabilidade é o estudo das possibilidades de algo ocorrer ou não. Experimento Chama-se experimento uma experiência realizada ao acaso (aleatória), Exemplos: Espaço Amostral (S) ou (Ω)O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Exemplos:
② Retirar uma carta de um baralho e
observar seu naipe, pode ocorrer: ③ Num lançamento de um dado, observar a face voltada para cima, pode ocorrer: S = Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Evento (E)Qualquer subconjunto do espaço amostral é dito evento. Exemplos: Ao retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe. Evento certo Evento certo é aquele que possui todos os elementos do espaço amostral.
Exemplo: Evento impossível Evento impossível ou improvável é aquele que não possui elementos do espaço amostral. Exemplo: Probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então: Onde n(E) é o número de elementos do evento E, e, Exemplo: O espaço amostral é: O evento é: n(E) = 3 (número de elementos do evento) Daí: P(E) = P(E) = Não é necessário saber quais são os elementos do espaço amostral, mas sim quantos são. PropriedadesSeja A um evento e S o espaço amostral, assim sempre se tem: ① A probabilidade do evento é um número entre "0" e "1": ② A probabilidade do evento impossível é "0" (zero): ③ A probabilidade do espaço amostral é "1" (um): ④ A probabilidade do complementar do evento é "1 menos a probabilidade
do evento": Exemplo da utilidade do evento complementar No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de: Pelo princípio fundamental da contagem se tem: É mais fácil contar os casos em que sai o número 5. Seja o evento E = {sair o número cinco em um dos dois dados} E = { (1, 5); (5, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 5); (5, 3); (4, 5); (5, 4); (5, 5); (6, 5); (5, 6) } P(E) = P(E) = Assim, o complementar do evento E é não sair o número 5. P(E) = 1 − P(E) Probabilidade da união de dois eventos Se A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral, O número de elementos da ocorrência de A "e" B é dado por: A probabilidade da ocorrência
de A união B é dada por: Exemplo: O espaço amostral é: Supondo o evento A = {sair um número primo} Supondo o evento B = {sair um número par} Os elementos comuns ao dois eventos é a intersecção: Daí: P(A ∪ B) = Eventos mutuamente excludentes Dois eventos A e B são ditos mutuamente excludentes ou
exclusivos se, Neste caso, A ∩ B = Ø, então: Exemplo: Logo, se o evento A ocorrer impede a ocorrência de B. Assim tem-se: n(Ω) = 6 n(A) = 3 n(B) = 1 P(A) = = e P(B) =P(A ∪ B) = + P(A ∪ B) = + P(A ∪ B) = P(A ∪ B) = Probabilidade condicional Há situações em que se quer encontrar: Assim, o espaço amostral para o segundo evento será reduzido ao evento que ocorreu. A probabilidade da ocorrência do evento
B sabendo que o evento A ocorreu é: Se um evento A ocorreu, a probabilidade de outro evento B ocorrer, P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = Exemplo: A princípio o número de elementos do espaço amostral é n(S) = 36. Mas como se sabe que a soma é 6, fica reduzido ao n(A). Sendo: A = { (1, 5); (5, 1); (2, 4); (4, 2); (3, 3) } A ∩ B é o conjunto formado pelos pares de elementos onde, A ∩ B = { (2, 4); (4, 2) } Daí, a probabilidade de sair um 2 sabendo que a soma é 6 é: P(B|A) = Regra da multiplicaçãoSendo P(B|A) = Então: Sendo P(A|B) = Então: Exemplo: Considerando os eventos: Ω = {branca, branca, branca, branca, cinza, cinza} Sabendo que saiu uma branca sem ser recolocada então no saco fica: P(B|A) = A probabilidade da primeira ser branca e a segunda ser branca é dada por: Propriedades ① A probabilidade da ocorrência do evento B sabendo que: ② A probabilidade da ocorrência do espaço amostral Ω sabendo que: ③ Se a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, Eventos independentes Dois eventos A e B são ditos independentes se: Sendo A e B eventos independentes, a probabilidade de: Exemplo: Considerando A = { sair dois no primeiro } e B = { sair três no segundo } O fato de sair 2 no 1º em nada influi em sair 3 no 2º, logo são independentes. P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) Generalizando De uma forma geral, se os eventos A1, A2, . . . , An são independentes, então: Teorema da probabilidade total Sejam os eventos E1, E2, E3, . . . , En, disjuntos dois a dois e que: Então, para qualquer evento B se tem: P(B) = ∑ P(Ei ∩ B) = ∑ P(Ei) ⋅ P(B|Ei) ( i = 1, 2, . . . , n) Exemplo: Teorema de Bayes Sejam E1, E2, E3, . . . , En eventos
mutuamente excludentes e, Exemplo: Ser da marca X é o evento A1 A probabilidade de ter escolhido o da marca X sabendo que ele comprou é P(A1|B) Mas o somatório: Logo: P(A1|B) = ( ⋅ ) :P(A1|B) = : P(A1|B) = ⋅ P(A1|B) = P(A1|B) ≅ 0,5714 ≅ 57,14% Exercícios ResolvidosR01 — No lançamento de dado qual a probabilidade de sair um número maior do que 4? Seja o evento A = {número maior do que 4} O espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } P(A) = P(A) = = R02 — Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Não é necessário encontrar o espaço amostral, mas sim a quandidade de elementos dele. Há sempre duas possibilidades, cara (C) ou coroa (K), assim: n(Ω) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 = 16 (princípio fundamental da contagem) Seja o evento B = {número de caras igual ao número de coroas} B = { (C, C, K, K); (C, K, C, K); (C,
K, K, C); (K, C, C, K); (K, C, K, C); (K, K, C, C) } P(B) = = R03 — Em uma urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bola. Seja os eventos logo, n(A) = 10 e n(B) = 6 O número de elementos de A e B é n(A ∩ B) = 3 P(B) = P(A ∩ B) = A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) = + – = Neste
caso em particular, não há necessidade de se resolver desta maneira, P(A ∪ B) = P(A ∪ B) = R04 — Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Um baralho tem 13 cartas de cada um dos quatro naipes, portanto 52 cartas. Ω = {duas cartas retiradas de um baralho} n(Ω) é dado por: Evento A = {ambas serem de copas} n(A) é dado por: Evento B = {ambas serem de espadas} n(B) é dado por: A ∩ B = Ø A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A ∪ B) = +P(A ∪ B) ≅ 0,0588 + 0,0588 P(A ∪ B) ≅ 0,1176 P(A ∪ B) ≅ 11,76% Observação: n(Ω) = AR52,2 = 522 (arranjo com repetição) R05 — Uma nota é retirada aleatoriamente de uma gaveta contendo: O
total de notas é o número de elementos do espaço amostral. Seja E = {a nota não é de dez reais} Então ou ela é de R$ 2,00 (tem 4) ou de R$ 5,00 (tem 6) ou de R$ 20,00 (tem 8) Sejam os eventos: P(A) = P(B) = P(C) = Os eventos são mutuamente excludentes, isto é, não há elementos nas intersecções. P(E) = P(A
∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) P(E) = = = 0,9 = 90% Este problema pode ser resolvido pelo complementar do evento: P(E) = = P(E) = 1 − P(E) P(E) = = 0,9 = 90% R06 — Três palestrantes serão sorteados dentre os cinco argentinos, O nº de maneiras
para se saber os sorteados é o nº de elementos do espaço amostral. Seja A = {pelo menos um sorteado ser brasileiro} Como há três brasileiros, então poderia se ter: Situação
1 Situação 2 Situação 3 Assim, as situações seriam: Situação 2 Situação 3 n(A) = C3,1 ⋅ C5,2 + C3,1 ⋅ C2,2 + C3,1
⋅ C5,1 ⋅ C2,1 + C3,2 ⋅ C5,1 + C3,2 ⋅ C2,1 + C3,3 P(A) = = ≅ 0,7083 Este é mais um problema em que usar o complementar do evento simplifica o cálculo. Há apenas
três casos: três argentinos: dois argentinos e um colombiano: um argentino de dois colombianos: n(A) = C5,3 +
C5,2 ⋅ C2,1 + C5,1 ⋅ C2,2 P(A) = P(A) = 1 – P(A) P(A) = = ≅ 0,7083 R07 — Em uma sacola
há fichas numeradas de 1 a 10, O número total de fichas é o número de elementos do espaço amostral. Sejam os eventos: A = {2, 4, 6, 8, 10} P(A) = =P(B) = São eventos independentes, pois a ocorrência de A não interfere
na ocorrência de B. R08 — Um dado foi fabricado de tal forma que ao ser lançado, O espaço amostral é: Sejam os eventos mutuamente exclusivos: Pelo enunciado tem-se que: Chamando a probabilidade de sair um número ímpar de x, dessa forma tem-se: A probabilidade do espaço amostral ocorrer é 1, assim: x + 2x + x + 2x + x + 2x = 1 Daí, a probabilidade de: P(B) = P(D) = P(F) = a) A probabilidade de sair um número par é: b) A probabilidade de sair o número dois ou o número três é: Fazendo-se de outra maneira Sejam os eventos: Como A ∩ B = Ø, então: Se sabe que a probabilidade de
ocorrer: a) P(A) = 2 ⋅ P(B) = 2 ⋅ =b) P(1 ∪ 3 ∪ 5 ) = P(1) + P(3) + P(5) = P(1) = P(3) = P(5) (probabilidade dos ímpares são iguais) Assim, em: P(3) + P(3) + P(3) = 3 ⋅ P(3) = P(3) = P(2) = P(4) = P(6) = P(2 ∪ 3) = P(2) + P(3) = + = = R09 — Uma
determinada peça é manufaturada por três máquinas: A, B e C. Considerando os seguintes eventos: Sabe-se que: P(B) = = 0,25 P(C) = = 0,25 Sabe-se também que: P(D|C) = 4% = = 0,04 Logo, tem-se: R10 — Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em duas máquinas. Sejam os eventos: P(M1) = 35% = 0,35 Deseja-se encontrar P(M2|D), logo: Pelo teorema de Bayes: P(D) = P(D|M1) ⋅ P(M1) + P(D|M2) ⋅ P(M2) P(M2|D) = [ P(D|M2) ⋅ P(M2) ] / P(D) P(M2|D) = [ 0,025 ⋅ 0,65 ] / 0,03375 Exercícios Propostos P01 — Um número natural é escolhida ao acaso entre 1 e 100. P02 — Calcule a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida, P03 — No lançamento dois dados. Calcule a probabilidade de ocorrer a soma 7. P04 — Uma urna contém 10 bolas vermelhas, 6 bolas amarelas e 9 bolas pretas. P05 — Escolhe ao acaso um número natural entre 11 e 951. P06 — Seja S = {a, b, c, d}. Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades: P07 — No lançamento de 3 moedas. Qual a probabilidade de:
P08 — Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1 e 50. P09 — Uma urna A contém 4 bolas: 2 brancas e 2 pretas; P10 — As probabilidades de três jogadores marcarem um “penalty” são, respectivamente: P11 — Três parafusos e três porcas estão numa caixa. P12 — As chances de um time de futebol "A" ganhar o campeonato o é de "7 para 2". P13 — De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. P14 — Suponha que numa turma há 6 moças e 10 rapazes. P15 — Um grupo é formado por seis homens e quatro mulheres. P16 — Dois dados são lançados, sejam os eventos: P17 — Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente: P18 — Um grupo de 15 pessoas, dispostas da seguinte forma: P19 — O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. P20 — Em
uma cidade onde carros têm que ser avaliados para controle de emissão de poluentes, P21 — Duas bolas são retiradas ( com reposição ) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Exercícios com resposta P22 — Tenho 79
vezes para sair um número de 0 a 9. Escolho o número (5) O espaço amostral é S = {0, 1, 2, 3, . . . , 9} A probabilidade de NÃO sair o número 5 é a mesma de qualquer outro, ou seja, P({não sair o 5}) = 1 – = a) A probabilidade do
5 não sair nas 79 vezes é calculada pela expressão: ⋅ ⋅ ⋅ . . . ⋅ = ()79 b) A probablidade do 5 sair uma única vez em 79 vezes é calculada pela expressão: ⋅ ⋅ ⋅ . . . ⋅ = ⋅ ()78 Se a posição não importar essa será a resposta, mas se ela tiver importância, Caso 2 Tenho 41 vezes para sair um número de 0 a 9. Agora escolho 02 números 8 e 9. A probabilidade de sair o 8, 9, ou 5, e, a mesma. a) A probabilidade do 8 não sair nas 41 vezes é calculada pela expressão: Que é a mesma para o 9, assim, somar duas parcelas iguais é DUAS vezes o mesmo resultado. 2 ⋅ ()41 b) Da mesma forma que a o item b anterior, só que somados: Mega-SenaNa mega-sena, escolhe-se 6 dezenas dentre 60. Assim, o número de elementos do espaço amostral é: Jogar um cartão simples de 6
dezenas, tem como número de elementos do evento: A probabilidade é dada pelo nº de elementos do evento pelo nº do espaço amostal. Se for jogar 7 dezenas, num mesmo cartão simples de 6 dezenas, Mas, como só é sorteado 6 dezenas, o espaço amostral é: Simplificando a fração por 7, tem-se: P(E) = Esta mesma situação
para 8 dezenas. A probabilidade é dada pelo nº de elementos do evento pelo nº do espaço amostal. Simplificando a fração por 28, tem-se: P(E) = Qual a probabilidade de se obter um número ímpar no lançamento de um dado de 6 faces?Substituindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado. As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%.
Qual a probabilidade de cair o número ímpar?Ou seja, temos 1 em 2, isso é, 50% de chance.
Qual é a probabilidade de sair um número ímpar ao jogar um dado responda é mostre como você chegou à conclusão?A probabilidade de dar um número impar é a mesma de dar um número par. Ou seja, 1/2 ou 50%. Podemos explicar através da probabilidade: temos três números ímpares entre 6 números que correspondem as faces do dado. Então são 3 em 6 a probabilidade de dar um número ímpar (3/6).
Como jogar o dado para cair no 6?APOSTA FURADA. Com uma broca fina, perfura-se o dado. Antes de perfurar, porém, é preciso apoiá-lo em uma prensa para evitar acidentes, caso a broca escorregue.. Para viciar o dado no 6, a face 1 é perfurada. ... . A face perfurada deve ser oposta à do número escolhido para cair mais vezes.. |