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- 1 - O que é momento linear?
O que é momento linear?
Momento linear, também conhecido como quantidade de movimento, é uma grandeza física vetorial, pois apresenta módulo, direção e sentido. É definido pelo produto da massa do corpo, em kg, por sua velocidade, em m/s. Dessa forma, sua unidade do Sistema Internacional é o kg.m/s.
O momento linear é uma grandeza essencial para o estudo da transferência de movimento em sistemas com dois ou mais corpos onde ocorrem colisões ou quaisquer formas de interação entre os corpos.
Dessa forma, a quantidade de movimento é calculada por meio da expressão a seguir:
A quantidade de movimento tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido da velocidade do corpo. Além disso, se uma partícula adquire quantidade de movimento em direções ou sentidos diferentes, é necessário fazer a soma vetorial das quantidades de movimento. Observe na figura a seguir algumas regras para a soma vetorial aplicadas à quantidade de movimento:
Para encontrar a direção e o sentido da quantidade de movimento resultante, ligamos os vetores, ligando a seta de um ao início de outro. Por fim, ligamos o início do primeiro vetor à ponta do último. Esse último nos dá o vetor da quantidade de movimento resultante.
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Para calcular o módulo do vetor resultante da quantidade de movimento, tomamos as seguintes operações de acordo com a situação. Representadas na figura a seguir, temos três diferentes situações, nas quais os vetores quantidade de movimento encontram-se nas situações paralela, oposta e perpendicular.
Exemplo:
Um carro de massa igual a 980 kg move-se a uma velocidade de 72 km/h. Calcule a sua quantidade de movimento em unidades do Sistema Internacional:
Resolução:
A quantidade de movimento é calculada pela equação:
A massa (m) do carro é de 980 kg, enquanto sua velocidade é de 72 km/h. Para calcularmos sua velocidade em unidades do SI, devemos transformá-la em metros por segundo (m/s). Para tanto, dividimos o seu valor por 3,6. Para saber mais sobre esse tipo de conversão, clique aqui. Dessa forma, ficamos com:
Por Rafael Helerbrock
Graduado em Física
Teoria
Introdução
Já estudamos que momento linear é dado por:
p → = m . v →
E que o impulso é dado por:
I → = Δ p →
Esse impulso que é a variação do momento linear é a chave pra gente entender a conservação do mesmo, se não há impulso o que vai rolar com o nosso momento linear?
O que acontece aqui é a conservação do momento linear, que vai nos dar uma relação entre o momento linear inicial e final do sistema e enfim trazer pra nós uma relação das velocidades.
Vamos ver um exemplo pra entender o que rola nesses casos. Uma pessoa de massa m = 70 k g está dentro de uma lancha de 3000 k g que inicialmente está parada, o que acontece quando a pessoa resolve se mover com v p = 3 m / s para a direita?
O momento linear de um sistema é conservado se o somatório das forças externas ao sistema for nulo, como é o nosso caso do sistema lancha + pessoa e vamos desenhar o diagrama de corpo livre para analisar melhor isso:
E aqui como o somatório das forças é zero o momento linear do sistema se conserva, e aí:
p → s i s t e m a 0 = p → s i s t e m a f
Considerando para direita como sendo o nosso positivo, escrevemos que:
m P v P 0 + m L v L 0 = m P v P f + m L v L f
E a gente pode fazer algumas considerações aqui pra facilitar a vida, a velocidade inicial da lancha é 0, pois ela estava em repouso e a pessoa inicialmente também estava em repouso, então:
0 = m L v L f + m P v P f
Isolando a velocidade da lancha temos:
v L f = - m P v P 0 m L
`Agora é só substituir geral e correr pro abraço:
v L f = - 70 × 3 3000 = - 0,07 m / s
Ou seja, a pessoa andou para um lado e a lancha para o outro e isso acontece pra que o momento linear do sistema se conserve.
Colisões
No caso das colisões, as únicas forças que atuam são forças internas do sistema, e por isso, em uma colisão vai haver sempre a conservação do momento linear.
Imagina que você tá lá jogando sinuca com seus amigos e cada bolinha possui massa m = 2 k g, você dá uma tacada e as bolas se chocam como no esquema abaixo e fazem uma colisão.
Qual é a velocidade final da bola branca?
Vamos entender primeiro porque o momento linear pode se conservar nesse caso, o impulso foi inserido no sistema pelo taco antes do estado inicial considerado e se manteve o mesmo, outro ponto é o somatório de forças que é nulo e pra isso a gente pode desenhar o DCL das bolinhas.
Onde F B V é a força que a bola branca faz na vermelha e F V B é a força que a bola vermelha faz na branca, e analisando o esquema a gente vê que essas forças são forças internas do sistema e se anulam e então o momento linear se conserva:
p → s i s t e m a 0 = p → s i s t e m a f
E aí:
m v B 0 + m v v 0 = m v B f + m v v f
Como a massa das bolas é igual, podemos cortar dos dois lados da equação:
v B 0 + v v 0 = v B f + v v f
E isolando a velocidade final da bola branca.
v B f = v B 0 + v v 0 - v v f
E substituindo os valores da imagem, temos:
v B f = 4 + 0 - 3 = 1 m / s
Detalhe que o momento linear se conserva pra qualquer tipo de colisão, e a gente vai estudar isso melhor mais pra frente, beleza?
Independência dos eixos
Sabemos que o momento linear é um vetor e com isso, quando vamos conserva-lo, ficamos com:
p o → = p f →
Em um caso que envolve um movimento bidimensional, por exemplo, pode ficar chato resolver essa equação aí. :(
Mas se você não está feliz em trabalhar com vetores, seus problemas acabaram!
Bem, você pode abrir mão de trabalhar com vetores, separar os eixos e dizer que:
p x A n t e s = p x D e p o i s p y A n t e s = p y D e p o i s p z A n t e s = p z D e p o i s
Voltando ao exemplo das bolas, mas de outro jeito, a gente pode ver o que acontece se as bolinhas estiverem ortogonais, para a mesma massa m = 2 k g.
Nesse exemplo, as bolinhas se engataram e passaram a se mover juntas e o que vai rolar aqui? Conservação do momento!
p o → = p f →
Após a colisão, como dizemos que as bolinhas se engataram, elas passam a ser um sistema e a andar juntas com a mesma velocidade final.
m v b 0 → + m v v 0 → = m + m v f →
m v b 0 → + m v v 0 → = 2 m v f →
Aqui você pode resolver essa expressão vetorialmente, ou usar a independência dos eixos, que é como vou resolver aqui.
Para o eixo x:
p 0 x = p f x
m 4 + 0 = 2 m v f x
v f x = 4 2 = 2 m / s
Para o eixo y:
p o y = p f y
0 + m - 2 = 2 m v f y
v f y = - 2 2 = - 1 m / s
Assim, nós encontramos as componentes horizontal e vertical da velocidade final!
Se quiser, podemos escrevê-la vetorialmente!
v f → = v f x i ^ + v f y j ^ = 2 i ^ - 1 j ^ m / s
Algo interessante na independência dos eixos é que pode haver casos que o momento se conserva em um eixo, mas não se conserva em outro. Por exemplo quando o vetor impulso I → tem apenas uma componente, nessa componente não haverá conservação de momento linear.
Resumo
Sempre que o somatório das forças externas for zero, o momento linear se conserva.
Em toda colisão o momento linear se conserva.
Podemos calcular cada conservação de momento linear separada, se houver mais de um eixo.
Se a resultante das forças externas for zero em um eixo e não for zero no outro, o momento linear vai se conservar somente no eixo em que a resultante for nula.
Colisões
Independência dos eixos
Resumo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 253-16
Você está em pé sobre uma camada de gelo de um estádio de futebol em um país frio: despreze o atrito entre seus pés e o gelo. Um amigo joga para você uma bola de 0,400 kg que se desloca horizontalmente com velocidade de 10,0 m / s. Sua massa é igual a 70,0 k g. a Se você agarra a bola, com que velocidade você e a bola se deslocarão logo a seguir? b Se a bola colide com você e rebate em seu peito, passando a adquirir uma velocidade horizontal de 8,0 m / s em sentido oposto ao inicial, com que velocidade você se desloca após a colisão?
Passo 1
O Sistema tratado no problema é a bola e você, onde
E s t a d o i n i c i a l v b o l a 0 = 10 m / s m b o l a = 0,4 k g v v o c ê 0 = 0 m v o c ê = 70 k g
O problema faz questão de nos pedir para ignorar o atrito, e isso nos permite dizer que não a ação de forças externas no sistema, logo o momento liner do sistema vai se conservar.
Passo 2
a Você agarrou a bola, qual a velocidade final sua? Pela conservação d emomento podemos dizer que
p a n t e s = p d e p o i s
O momento linear inicial é
p a n t e s = m b o l a . v b o l a 0 + m v o c ê . v v o c ê 0
p a n t e s = 0,4 . 10 + 70 . 0
p a n t e s = 4 k g . m / s
Passo 3
O momento linear final é
p d e p o i s = m b o l a . v b o l a f + m v o c ê . v v o c ê f
Como você agarrou a bola, isso significa que vocês estão juntos, logo com a mesma velocidade final
p d e p o i s = m b o l a + m v o c ê . v v o c ê f
p d e p o i s = 70,4 . v v o c ê f
Passo 4
Aplicando a conservação de momento linear temos
4 = 70,4 . v v o c ê f
v v o c ê f = 0,057 m / s
Achou estranho uma velocidade tão baixa? Relaxa, que está certo, como sua massa é muito superior a massa da bola para os momentos serem iguais a velocidade sua e da bola tem que ser bem pequena mesmo.
Passo 5
b Isso nada mais é que o choque de dois objetos, certo? Então o momento linear conserva.
O momento inicial já temos
p a n t e s = 4 k g . m / s
O momento final que vai mudar, pois agora a bola rebate e volta com módulo e sinal da velocidade diferente
p d e p o i s = m b o l a . v b o l a f + m v o c ê . v v o c ê f
A velocidade final da bola é
v b o l a f = - 8 m / s
É negativa por ser no sentido contrário a velocidade inicial.
Então,
p d e p o i s = 0,4 . - 8 + 70 . v v o c ê f
Aplicando a conservação de momento linear, temos que
4 = - 3,2 + 70 . v v o c ê f
v v o c ê f = 7,2 70
v v o c ê f ≅ 0,103 m / s
Resposta
a v v o c ê f = 0,057 m / s
b v v o c ê f ≅ 0,103 m / s
Exercício Resolvido #2
PUC-RIO – 2ª Prova – 2014.2
Um carrinho de massa M = 3,0 k g move-se em linha reta sobre um piso horizontal sem atrito com velocidade de V → C 0 = 9,0 i → m / s. Sobre o carrinho encontra-se fixada na posição horizontal, uma mola que é comprimida por um bloco de massa m = 1,0 k g. Inicialmente, o bloco se encontra preso ao carrinho por um fio comprimindo a mola. Em certo instante, o fio se rompe e a mola empurra o bloco para fora do carrinho, projetando-o com uma velocidade de V → B f = - 6,0 i → m / s em relação ao piso. Uma vez livre do bloco, qual a nova velocidade do carrinho?
a 6 m / s
b 8 m / s
c 10 m / s
d 12 m / s
e 14 m / s
Passo 1
Não há forças externas aplicadas na direção do movimento do sistema e as forças internas relacionadas entre o bloco e o carrinho são produzidas em pares ação e reação, se anulando mutuamente, ocorrendo assim conservação do momento linear total do sistema.
P a n t e s = P d e p o i s
Vamos analisar quem eram as componentes do sistema antes, e depois e então calcular o momento linear usando:
P = m v
Após isso igualaremos os momentos lineares antes e depois e acharemos a nova velocidade do carrinho.
Passo 2
O sistema inicialmente era composto por carrinho + bloco juntos andando na mesma velocidade, sendo assim temos pro caso inicial:
A massa do carrinho:
M = 3,0 k g
A massa do bloco:
m = 1,0 k g
A velocidade dos dois andando em conjunto:
V → C 0 = 9,0 i → m / s
Sendo assim podemos dizer que o momento linear inicial é:
P a n t e s = M + m V c 0 →
E aqui podemos tirar a notação vetorial já que o enunciado nos mostra que a velocidade final será no mesmo eixo.
P a n t e s = 3 + 1 × 9 = 36 k g m / s
Passo 3
Agora vamos analisar o caso final por aqui. Após o rompimento do fio, a mola se estica e joga o bloco pra fora com velocidade V B f = - 6 m / s, no sentido oposto da velocidade anterior no eixo x. Agora que o esquema tá separado cada um anda com uma velocidade diferente, vamos escrever isso aqui:
P d e p o i s = m . V B f + M . V C f
Substituindo os valores das massas e da velocidade temos:
P d e p o i s = 1 . - 6 + 3 . V C f = 3 V c f - 6
Agora é só a gente aplicar a conservação do momento linear né:
P a n t e s = P d e p o i s
36 = 3 V c f - 6
42 = 3 V c f
V c f = 14 m / s
Então é a letra e)
Resposta
Exercício Resolvido #3
PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.2- letra b- Modificado
Vamos supor que duas partículas A e B colidem bidimensionalmente. Seja a partícula A de massa 1,0 k g e a partícula B de massa 3,0 k g. As posições das partículas num certo instante t 1 antes da colisão são dadas por R A = 1,0 i ^ + 3,0 j ^ m e R B = 5,0 i ^ - 1,0 j ^ m. O tempo de duração da colisão é de 15 m s.
b Suponha agora que as velocidades no início da colisão são: v A = ( 2,5 i ^ + 6,0 j ^ ) m / s e v B = ( - 3,0 i ^ + 2,5 j ^ ) m / s, e que no fim da colisão a componente x da velocidade de A é igual a 4,0 m / s e a componente y da velocidade de B é 3,0 m / s. Escreva os vetores velocidade de ambas as partículas no fim da colisão.
Passo 1
b Pela conservação do momento linear no início e no fim da colisão:
m A v A + m B v B = m A V A + m B V B
Onde v A = 2,5 i ^ + 6 j ^ e v B = - 3 i ^ + 2,5 j ^ e V A x = 4 e V B y = 3 . Então:
2,5 i ^ + 6 j ^ - 9 i ^ + 7,5 j ^ = 4 i ^ + V A y j ^ + 3 V B x i ^ + 9 j ^
Como podemos separar a equação da conservação de momento linear por eixos temos
e i x o x 2,5 - 9 = 4 + 3 V B x
e i x o y 6 + 7,5 = V A y + 9
V B X = - 10,5 3 m / s V A Y = 4,5 m / s
Assim:
V A = 4 i ^ + 4,5 j ^ m / s
E
V B = - 10,5 3 i ^ + 3 j ^ m / s
Resposta
b V A = 4 i ^ + 4,5 j ^ m / s; V B = - 10,5 3 i ^ + 3 j ^ m / s
Exercício Resolvido #4
UFF – 2ª Prova – 2014.1
Dois automóveis viajam em duas estradas perpendiculares entre si, colidem e ficam juntos após a colisão. O carro A tem massa de 1200 k g e tinha velocidade de 25 m / s antes da colisão. O carro B tem massa de 1600 k g. As marcas de derrapagem dos carros juntos, imediatamente após a colisão fazem um ângulo de 30 ° com a direção inicial do carro A. Qual era a velocidade do carro B antes da colisão?
Passo 1
Esse é um problema de conservação de momento linear em duas direções, e a primeira coisa que a gente tem que fazer é pensar no que acontece antes e no que acontece depois da colisão, anotando cada dado.
Após isso vamos aplicar a conservação do momento linear, podemos fazer vetorialmente que o momento linear inicial é igual ao final.
P 0 → = P f →
Ou separando por eixos.
P x 0 = P x f
P y 0 = P y f
Esse segundo jeito é mais fácil de visualizar um pouco, vamos fazer assim tá? Lembrando que:
P = m v
Passo 2
Vamos analisar o que acontece antes da colisão: O carro A tem massa m A = 1200 k g e anda para a direita, ou sentido positivo de x com velocidade v A 0 = 25 m / s. Já o carro B possui massa m B = 1600 k g e velocidade que queremos descobrir indicada no sentido positivo de y, ou seja, pra cima v B 0 . Se liga aí no desenho:
Sendo assim o momento linear desse sistema antes da colisão é em cada eixo:
P x 0 = m A v A 0 = 1200 × 25 = 30000 k g . m / s
P y 0 = m B v B 0 = 1600 v B 0
Repara que o carro B não tem momento linear na horizontal e o carro A não tem momento linear na vertical, isso aí acontece por quê a velocidade desses carros nesses eixos é 0.
Vamos partir pra analisar o que acontece depois da colisão, ok?
Passo 3
Depois da colisão temos a seguinte situação: os carros A e B formam um sistema que anda junto, sendo assim a massa desse sistema é:
M = m A + M B
M = 1200 + 1600 = 2800 k g
Esse sistema anda com velocidade final V f que não conhecemos e essa velocidade está angulada de 30 ° em relação ao eixo. Se liga nesse desenho aí, pra gente entender legal:
E aqui vai o bizu da questão, essa velocidade final deve ser decomposta nos dois eixos pra gente poder analisar separado cada momento linear. Podemos decompor ela da seguinte forma:
v x f = V c o s 30 °
v y f = V s e n ( 30 ° )
Então temos pros casos finais os seguintes momentos lineares:
P x f = M v x f = M V c o s ( 30 ° )
P x f = 2800 V c o s 30 = 2424,87 V
E para o eixo y:
P y f = M v y f = M V s e n ( 30 ° )
P y f = 2800 V s e n 30 = 1400 V
Bacana, nosso próximo passo será aplicar a conservação do momento linear para cada eixo.
Passo 4
Vamos então aplicar essa conservação do momento linear, mas aqui precisaremos seguir uma lógica. Temos duas incógnitas V e v B 0 , vamos primeiro precisar encontrar V e o jeito é começar analisando a conservação no eixo x.
P x 0 = P x f
E aqui é substituir os valores que encontramos para cada um desses momentos lineares:
30000 = 2424,87 V
Isolando V temos:
30000 2424,87 = V
V = 12,37 m / s
Bacana né, agora é só fazer isso pro outro eixo substituindo o valor de V .
P y 0 = P y f
1600 v B 0 = 1400 V
1600 v B 0 = 1400 × 12,37
v B 0 = 17318 1600 = 10,82 m / s
Ufa, encontramos essa velocidade! Mais um exercício resolvido 😊.
Resposta
Exercício Resolvido #5
PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.1
Uma nave viaja no espaço com vetor velocidade V N relativa a um observador, contendo uma carga. A massa total do sistema é M. Em certo momento a nave libera a carga (massa m p ) com vetor velocidade V p relativa ao mesmo observador. Encontre uma expressão para o novo vetor velocidade da nave V f se Σ F e x t = 0 durante a liberação da carga.
Passo 1
Já que não há forças externas atuando, podemos aplicar a conservação do momento linear total! O momento linear do sistema é igual antes e depois da nave soltar a carga:
p → a n t e s = p → d e p o i s
Passo 2
No começo a nave e sua carga estão juntas, tendo uma massa total M e andando com uma velocidade V → N . Então o momento linear total é
p → a n t e s = M V → N
Passo 3
Depois da nave soltar a carga, o sistema passa a ter 2 partículas, a nave de massa M - m p e andando a uma velocidade V → f e a carga de massa m p a uma velocidade V → p , então
p → d e p o i s = M - m p V → f + m p V → p
Passo 4
Aplicando a conservação do momento linear total:
p a n t e s = p d e p o i s
⇒ M V → N = M - m p V → f + m p V → p
⇒ M V → N - m p V → p = M - m p V → f
⇒ V → f = M V → N - m p V → p M - m p
Pronto, é só isso! :)
Resposta
V → f = M V → N - m p V → p M - m p
Exercício Resolvido #6
UFRJ – 2ª Prova – 2012.1
Uma partícula de momento p → i , projétil, colide não frontalmente, isto é, colide bidimensionalmente, com uma outra partícula, inicialmente em repouso, que chamamos de alvo. Após a colisão o projétil tem momento p → f e o alvo sai com momento k → . A conservação do momento linear, neste processo é corretamente representado pelo diagrama:
a 1
b 2
c 3
d 4
e Nenhum diagrama está correto
Passo 1
O momento linear nesse problema é conservado e fica escrito como
p → i = p → f + k →
Vamos considerar que o momento linear p → i só tem componente horizontal, como está desenhado em todos os diagramas.
Os vetores p → f e k → tem componentes verticais, mas eles são contrários já que a soma das suas componentes deve ser zero. Isso exclui o diagrama 2 e o diagrama 3
Passo 2
Além disso a soma das suas componentes horizontais deve ser igual a componente horizontal de p → i .
Somando p → f e k → como indicado nos diagramas vamos ter
A componente horizontal da soma vai ser para direita, então o momento linear p → i também deve ser para direita.
Resposta
Exercício Resolvido #7
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 253
O bloco A indicado na figura abaixo possui massa igual a 1,00 k g, e o bloco B possui massa igual a 3,00 k g. Os dois blocos se aproximam, comprimindo a mola S entre eles; a seguir o sistema é libertado a partir do repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. A mola possui massa desprezível, não está presa a nenhum dos blocos e cai sobre a mesa depois que ela se expande. O bloco B adquire uma velocidade de 1,20 m / s. a Qual a velocidade final do bloco A? b Qual foi a energia potencial armazenada na mola comprimida?
Passo 1
Nesse exercício vamos considerar o sistema como os dois blocos e a mola.
Quando eles comprimem a mola, a força elástica vai ser igual nos dois blocos, tendo resultante zero.E como não há ação de forças externas no sistema, isso quer dizer que o momento linear do sistema se conserva
p 0 = p f
Diferente do normal eu escrevi sem ser na forma vetorial, repara que só vamos ter movimento ao longo da horizontal então o movimento é unidimensional, não preciso usar vetores.
Passo 2
a Vamos considerar o momento onde a mola está comprimida ao máximo(momento inicial), e depois o momento que os blocos descolam da mola (momento final).
v A 0 = 0 v B 0 = 0 v B f = 1,2 m / s
Vamos considerar o sentido positivo do eixo x sendo da esquerda para direita, assim v B f é positivo.
Temos que o momento inicial é zero
p 0 = 0 k g ⋅ m / s
Passo 3
Como o momento se conserva temos que o momento final também deve ser zero
p f = 0
Vamos então calcular o momento linear final
p f = m B ⋅ v B + m A ⋅ v A
p f = 3 ⋅ 1,2 + 1 ⋅ v A
p f = 3,6 + v A
Como sabemos que o momento linear final é zero, temos
0 = 3,6 + v A
v A = - 3,6 m / s
Passo 4
b Como não temos forças dissipativas atuando, como o atrito, a energia mecânica do sistema se conserva
E m 0 = E m f
Como no inicio temos só a mola comprimida
E m 0 = U e l
E no final temos a mola relaxada e os blocos em movimento
E m f = K A + K B
E m f = m A v A 2 2 + m B v B 2 2 = 1 ⋅ - 3,6 2 2 + 3 ⋅ 1,2 2 2
E m f = 8,64 J
Passo 5
Sendo assim
U e l = E m f
U e l = 8,64 J
Resposta
a v A = - 3,6 m / s
b U e l = 8,64 J
Exercício Resolvido #8
USP-2015
Um bloco inicialmente em repouso explode em dois pedaços que entram em regiões com atrito onde terminam parando. O primeiro pedaço possui massa de 2 kg se move para a esquerda até parar após percorrer uma distância de 0, 15 m. O segundo pedaço se move para a direita e pára após percorrer uma distância de 0, 25 m. Sabendo que os coeficientes de atrito nas duas regiões são iguais, a massa total do bloco vale aproximadamente:
a M = 4 , 6 k g
b M = 2 , 3 k g
c M = 3 , 5 k g
d M = 4 , 0 k g
e M = 1 , 7 k g
Passo 1
Temos uma situação em que a caixa explode,indo pra uma parte pra um lado e outra pro outro, como na figura abaixo:
Só aqui já podemos perceber que:
- O momento se conserva (não há ação de forças externas);
- A força resultante na direção do deslocamento será apenas o atrito;
- A energia mecânica adquirida será gasta pelo trabalho da força de atrito.
Passo 2
Chamando a massa do primeiro bloco de m 1 e a velocidade adquirida após a explosão de v 1 , e a massa do segundo bloco (o escrito ACME) de m 2 e a velocidade v 2 , teremos, pela conservação do momento:
p → 0 = p → f
Como só teremos movimento em uma direção, podemos desconsiderar os vetores e só usar a parte escalar:
p 0 = p f
Como antes tava tudo parado, p 0 = 0, teremos:
0 = m 1 v 1 + m 2 v 2
m 1 v 1 = - m 2 v 2
Passo 3
Sendo agora d 1 e d 2 as distâncias percorridas até parar respectivamente do bloco “1” e do “2” e μ o coeficiente de atrito, a gente vai ter, pelo Teorema Trabalho- Energia Cinética:
τ = ∆ K
O trabalho da força de atrito é dada por:
τ = F a t . d
Para o bloco 1, teremos:
τ = F a t 1 . d 1 = μ . m 1 . g . d 1
μ . m 1 . g . d 1 = m 1 v 1 2 2
μ g d 1 = v 1 2 2
Para o bloco 2 é só fazer a mesma coisa...
τ = F a t 2 . d 2 = μ . m 2 . g . d 2
μ . m 2 . g . d 2 = m 2 . v 2 2 2
μ g d 2 = v 2 2 2
Passo 4
Divindo a equação de 1 pela de 2, vai ficar:
d 1 d 2 = v 1 2 v 2 2
Mas lááá do “Passo 1”,temos que a relaçãozinha:
m 1 v 1 = - m 2 v 2
Passo 5
Vamos fazer assim, pega o v 1 e divide por v 2 e isola a fração. Tipo assim:
v 1 v 2 = - m 2 m 1
Eleva aí os dois lados ao quadrado aí fica...
v 1 2 v 2 2 = m 2 2 m 1 2
Passo 6
Mas oh, lá no “Passo 4”a gente viu que
d 1 d 2 = v 1 2 v 2 2
Substituindo no que acabamos de ver:
m 2 2 m 1 2 = d 1 d 2
Como a gente sabe, d 1 = 0,15 m, m = 2 k g e d 2 = 0,25 m
Substituindo lá...
m 2 2 = 4.3 5 = 12 5
m 2 ≅ 1,5
Como a mossa total da caixa M é dada por:
M = m 1 + m 2
Vamos ter que:
M = 2 + 1,5 = 3,5 k g
Resposta
Exercício Resolvido #9
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 258
João e José estão sentados em um trenó que está inicialmente em repouso sobre uma superfície de gelo sem atrito. O peso de João é igual a 800 N, o peso de José é igual a 600 N e o peso do trenó é igual a 1000 N. Ao notar a presença de uma aranha venenosa no interior do trenó eles imediatamente pulam para fora. João pula para a esquerda com velocidade (em relação ao gelo) igual a 5,00 m / s formando um ângulo de 30,0 ° acima da horizontal, e José pula para direita com velocidade (em relação ao gelo) igual a 7,00 m / s formando um ângulo de 36,9 ° acima da horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade do trenó depois que eles pulam para fora.
Passo 1
Estamos em um caso novamente onde vamos usar a conservação do momento linear para o sistema. Porque ele se conserva? Porque a soma das forças externas na horizontal é zero, o sistema João-José-Trenó está em repouso no início, ou seja, em equilíbrio.
Devemos então fazer
p → 0 = p → f
Passo 2
No início como todos estão em repouso
p → 0 = 0 + 0 + 0 = 0
Vamos fazer um esquema de como é são as velocidades após eles pularem.
Devemos então escrever cada velocidade na forma vetorial, usando a “regra do COlado/SEparado”
Passo 3
Para a velocidade do José
v J o s é x = v J o s é ⋅ cos 36,9 ° = 7 ⋅ cos 36,9 ° = 5,6 m / s
Passo 4
Para a velocidade do João
v J o ã o x = - v J o ã o ⋅ cos 30 ° = - 5 ⋅ cos 30 ° = - 4,33 m / s
Passo 5
Calculando o momento linear do sistema após o pulo
p f x = m J o ã o ⋅ v J o ã o x + m J o s é ⋅ v J o s é x + m t r e n ó ⋅ v t r e n ó x
Sabemos que
p 0 x = p f x
Então
0 = m J o ã o ⋅ v J o ã o x + m J o s é ⋅ v J o s é x + m t r e n ó ⋅ v t r e n ó x
No enunciado, ele não nos dá a massa, mas sim o peso. Vamos multiplicar essa equação pela gravidade e repara num detalhe
0 = m J o ã o g ⋅ v J o ã o x + m J o s é g ⋅ v J o s é x + m t r e n ó g ⋅ v t r e n ó x
0 = P J o ã o ⋅ v J o ã o x + P J o s é ⋅ v J o s é x + P t r e n ó ⋅ v t r e n ó x
Agora basta substituir os dados do enunciado
0 = 800 ⋅ - 4,33 + 600 ⋅ 5,6 + 1000 ⋅ v t r e n ó x
0 = 1000 v t r e n ó x - 104
1000 v t r e n ó x = 104
v t r e n ó x = 0,104 m / s
Na realidade a componente y da velocidade do trenó é zero. Isso porque na vertical a força normal gera um impulso no trenó que mantém ele parado.
Então a velocidade do trenó só tem componente horizontal que calculamos
Escrevendo na forma vetorial
v → t r e n ó = 0,104 i ^ m / s
Como a componente y é zero, o módulo é o memso valor da componente x
| v → t r e n ó | = 0,104 m / s
Resposta
v → t r e n ó = 0,104 i ^ m / s; | v → t r e n ó | = 0,104 m / s
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