A partir de um ponto observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°

Pré-visualização | Página 2 de 3

há duas possibilidades para traçarmos arcos ligando estes dois pontos. O Radiano O radiano (símbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. Abaixo exemplificamos um arco de medida igual a 1 radiano. Sabemos que a razão entre o diâmetro de uma circunferência e seu perímetro é sempre igual a 3,1415927..., que é um número irracional que chamamos de . Ou seja, se chamado de C o comprimento da circunferência, temos Então, pela forma como definimos radianos, dizemos que um arco de circunferência completo (ou simplemente uma circunferência) terá sempre o comprimento de rad. A correspondência entre radianos e graus Estabelecemos a seguinte correspondência para a conversão de unidades de medida de arco de circunferência: Medidas de arcos e ângulos Trigonometria no Triângulo Retângulo e Medidas de arcos e ângulos na circunferência Notas de Aula 02 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 8 Dado um ângulo , consideremos uma circunferência de centro e raio . Sejam e os pontos onde os lados do ângulo intercepta a circunferência traçada. Fazendo construções desta forma, a cada arco corresponderá um único ângulo . Convencionando que a um arco unitário corresponde um ângulo central unitário, decorre que o arco e o ângulo central correspondente passam a ter a mesma medida. Comprimento de arcos de circunferência Da forma como definimos, dado um arco de circunferência medido em radianos, sabemos que cada radiano corresponde a um carco cujo comprimento é ( o raio da circunferência). Então, dado o raio da circunferência e a medida do arco dada em radianos, o comprimento do arco da circunferência ( ) será dado por: . Trigonometria no Triângulo Retângulo e Medidas de arcos e ângulos na circunferência Notas de Aula 02 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 9 Exercícios 1)Calcular o valor da hipotenusa e da altura em relação à hipotenusa num triângulo retângulo cujos catetos medem 3 e 4. Resposta: medida da hipotenusa . Altura em relação à hipotenusa . 2)Calcule as medidas x,y,z e t, no triângulo abaixo: Resposta: . 3)Calcular a área de um triângulo retângulo em que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, e . Resposta: . 4)Qual é a hipotenusa de um triângulo retângulo de perímetro 56 e altura igual a . Resposta: 25 5)A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. Calcule o comprimento dessa escada. Trigonometria no Triângulo Retângulo e Medidas de arcos e ângulos na circunferência Notas de Aula 02 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 10 6)Na figura tem-se que BCAB  e F é ponto médio do lado BE do retângulo BCDE. Qual é a área do retângulo BCDE? 7)Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos abaixo, determine o valor de x: a) b) c) d) 8)Com base no triângulo abaixo, assinale a alternativa correta. 6 n 12  3 9 b  3 62 x y  h b c a 2 4  Trigonometria no Triângulo Retângulo e Medidas de arcos e ângulos na circunferência Notas de Aula 02 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 11 9)Assinale a opção correta dentre as alternativa abaixo. 10)O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo da encosta? 11)Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Qual deve ser a distância entre o barco e costa, se a distância entre os observadores é igual a 50 metros? 12)Um barco parte de A para atravessar um rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60 m, qual a distância AB percorrida pelo barco na viagem que faz de uma margem à outra? 13)Calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo no qual os catetos medem 9 e 12 cm. Obs: Se não encontrar valores notáveis para as relações trigonométricas dê a resposta em função da “relação trigonométrica inversa. Resposta: Os dois ângulos internos medem e . 14)Calcular os lados de um triângulo retângulo cuja altura em relação à hipotenusa é 4 e um dos ângulos é . Resposta: hipotenusa= . Catetos: e . Trigonometria no Triângulo Retângulo e Medidas de arcos e ângulos na circunferência Notas de Aula 02 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 12 15)Calcule os ângulos de um triângulo retângulo de hipotenusa 20, sabendo que a mediana relativa a um dos catetos mede 15. Obs: Se não encontrar valores notáveis para as relações trigonométricas dê a resposta em função da “relação trigonométrica inversa. Lembrete: a mediana de um triângulo é a reta que liga um vértice deste triângulo ao ponto médio do lado oposto a este vértice. Resposta: e 16) (FFCLUSP – 66) Na figura ao lado, os ângulos e , i= 1,2,... são retos. Quanto vale a soma dos segmentos , , ...em função da medida de ( ) e de ? Resposta: 17)Calcular o ângulo formado pela diagonal e o menor lado de um retângulo cujos lados estão na razão . Se não encontrar valores notáveis para as relações trigonométricas dê a resposta em função da “relação trigonométrica” inversa. Resposta: . 18)Calcular a área de um triângulo isóceles cuja base mede 2 e . Resposta: . Trigonometria no Triângulo Retângulo e Medidas de arcos e ângulos na circunferência Notas de Aula 02 – Semestre 2 - 2010 Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010 13 19) Um observador vê o topo de um prédio, construído em um terreno plano, sob um ângulo de . Afatando-se do edifício mais 30 metros, ele passa a ver o topo do prédio sob um ângulo de . Qual é a altura do prédio? Resposta: metros. 20)A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30º. Caminhando 24 m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60º. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio. 21)Para medir a altura de um prédio, um agrimensor sobe ao seu topo e avista a base de uma árvore sob um ângulo de depressão de 30º(ver figura). Em seguida, mede a distância do prédio à árvore e registra 120√3m. Qual é a altura do prédio? Trigonometria no Triângulo Retângulo e Medidas de arcos e ângulos na circunferência

Página123