A área do retângulo é uma grandeza que mede a superfície desse paralelogramo. O retângulo é um caso particular de quadrilátero, fazendo parte do grupo daqueles que possuem todos os ângulos internos retos. Para calcular a área do retângulo, basta calcular o produto entre a sua base e a sua altura, ou seja, a área é dada pela fórmula \(A=b\cdot h\).
Além da área, outra grandeza importante é o perímetro. Para calcular o perímetro de um retângulo, deve-se somar os seus quatro lados. Logo, o perímetro pode ser encontrado pela fórmula \(P=2\left(b+h\right)\).
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Resumo sobre área do retângulo
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O retângulo é um polígono que possui quatro lados e todos os ângulos internos retos.
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Para calcular a área de um retângulo, calculamos o produto entre a sua base (b) e a sua altura (h):
\(A=b\cdot h\)
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O perímetro do retângulo é igual à soma dos seus 4 lados e pode ser calculado pela fórmula:
\(P=2\left(b+h\right)\)
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A diagonal do retângulo o divide em dois triângulos retângulos, sendo necessário apenas aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar seu valor:
\(d=h^2+b^2\)
Para aprender a calcular a área de um retângulo, é importante relembrar o que é um retângulo. Conhecemos como retângulo um caso particular de quadrilátero, ou seja, polígono de quatro lados. Desse modo, um quadrilátero é conhecido como retângulo quando ele possui todos os ângulos internos retos. Um ângulo reto é um ângulo de 90°.
Qual a fórmula da área do retângulo?
A área é uma grandeza importante para o estudo dos polígonos — trata-se da medida da superfície de uma figura plana. Para calcular a área de um retângulo, é necessário multiplicar o valor da base pelo valor da altura. Assim, é preciso conhecer os comprimentos da base e da altura. A fórmula para calcular a área de um retângulo de base b e altura h é:
\(A=b\cdot h\)
Passo a passo de como calcular a área de um retângulo
Conhecendo os comprimentos da base e da altura de um retângulo, basta realizar sua multiplicação para encontrar o valor da área.
Calcule a área do seguinte retângulo:
Resolução:
Analisando o retângulo, temos que:
b = 12 cm
h = 5 cm
Calculando o produto da base pela altura:
\(A=b\cdot h\)
\(A=12\cdot5\)
\(A=60\ \)
A área do retângulo é, portanto, igual a 60 cm².
Um retângulo possui dimensões iguais a 18 cm de base e 24 cm de altura. Qual o valor da sua área?
Resolução:
Sabemos que a base é de 18 cm (logo, b = 18) e que a altura é de 24 cm (então, h = 24). Substituindo na fórmula:
\(A=b\cdot h\)
\(A=18\cdot24\)
\(A=432\ \)
A área do retângulo é, portanto, de 432 cm².
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Perímetro do retângulo
O perímetro também é uma grandeza importante no estudo dos polígonos. Chamamos de perímetro a soma de todos os lados do polígono. Como o retângulo possui lados opostos congruentes, ou seja, com a mesma medida, o perímetro de um retângulo pode ser calculado pela fórmula:
\(P=2\left(b+h\right)\)
Calcule o perímetro de um retângulo que possui base igual a 11 cm e altura igual a 7 cm.
Resolução:
\(P=2\left(b+h\right)\)
\(P=2\left(11+7\right)\)
\(P=2\cdot18\ \)
\(P=36\ cm\)
Assim, o perímetro desse retângulo é de 36 cm.
Exemplo 2:
Calcule o perímetro do seguinte retângulo:
Resolução:
Nesse retângulo, o comprimento da base é de 4 cm e da altura é de 10 cm.
Calculando o perímetro:
\(P=2\left(b+h\right)\)
\(P=2(4+10)\)
\(P=2\cdot14\ \)
\(P=28\ cm\)
Saiba mais: Como calcular a área e o perímetro das figuras planas?
Diagonal do retângulo
Conhecemos como diagonal de um retângulo o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos do quadrilátero. Na figura abaixo, a diagonal é representada por d.
Quando traçamos a diagonal de um retângulo, dividimos um retângulo em dois triângulos retângulos. Para encontrar o comprimento da diagonal do polígono, basta aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo formado.
\(d=h^2+b^2\)
Calcule a diagonal de um retângulo que possui base igual a 35 cm e altura medindo 12 cm.
Resolução:
Dadas b = 35 e h = 12, substituindo na fórmula da diagonal, temos que:
\(d^2=h^2+b^2\)
\(d^2={12}^2+{35}^2\)
\(d^2=144+1225\)
\(d^2=1369\)
\(d=\sqrt{1369}\)
\(d\ =\ 37\)
Calcule a diagonal do retângulo a seguir:
Resolução:
Analisando os dados, temos que:
b = 15 cm
h = 8 cm
Calculando o comprimento da diagonal:
\(d^2=8^2+{15}^2\)
\(d^2=64+225\)
\(d^2=289\)
\(d=\sqrt{289}\)
\(d=17\ cm\)
A diagonal mede 17 cm.
Exercícios resolvidos sobre área do retângulo
Questão 1
O futebol é o esporte mais tradicional no Brasil, sendo que a seleção brasileira é a seleção que coleciona mais títulos até o momento. O campo de futebol possui formato retangular, e suas dimensões devem ser de 90 m x 120 m. Em um determinado campo, a grama será toda tratada. Para saber a quantidade de produto necessário para tratá-la, é necessário calcular a área do campo. A cada 150 m² é usado 1 frasco de produto. A quantidade de frascos necessários para tratar todo o campo é de:
A) 60 unidades.
B) 65 unidades.
C) 72 unidades.
D) 84 unidades.
E) 93 unidades.
Resolução:
Alternativa C
De início, calcularemos a área do campo:
\(A=90\cdot120\)
\(A=10800\ m²\)
Dividindo a área por 150:
\(10800∶150=72\ \)
Logo, são necessárias 72 unidades de frascos.
Questão 2
A área de um terreno é de \(9030\ m^2\). Esse terreno possui 105 m de comprimento, portanto sua largura é igual a:
A) 86 m²
B) 84 m²
C) 80 m²
D) 78 m²
E) 75 m²
Resolução:
Alternativa A
Nesse caso, a largura é o mesmo que a altura, e temos que:
A = 9030
b = 105
Substituindo na fórmula:
\(A=b\cdot h\)
\(9030=105\cdot h\)
\(h=\frac{9030}{105}\)
\(h=86m^2\)
Os paralelogramos são polígonos da geometria plana bastante explorados por serem figuras geométricas comuns no nosso dia a dia. Definimos como paralelogramo um polígono que possui lados opostos paralelos, característica essa que resulta em propriedades exclusivas.
Os casos particulares de paralelogramos são os quadrados, retângulos e losangos. Para cada um desses polígonos, há fórmulas específicas para o cálculo de área e perímetro.
Leia também: Círculo e circunferência – formas geométricas com muitas particularidades
Elementos de um paralelogramo
Para ser um paralelogramo, o polígono deve possuir os lados opostos paralelos. Como características específicas, temos que:
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Todo paralelogramo é composto por quatro lados, e os lados opostos são paralelos.
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Todo paralelogramo possui quatro ângulos internos, e a soma desses ângulos é sempre igual a 360º.
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Todo paralelogramo possui duas diagonais.
Vale lembrar que os paralelogramos são casos particulares de quadriláteros, então existem características que são herdadas dessas figuras geométricas, como a existência de duas diagonais, quatro lados e quatro ângulos, bem como a soma dos ângulos internos e dos ângulos externos ser sempre igual a 360º.
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1ª propriedade: Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes, isto é, possuem a mesma medida.
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2ª propriedade: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes, e dois ângulos consecutivos são sempre suplementares (a soma é igual a 180º).
Sabendo que AB e CD são paralelos, então os lados BC e AD são transversais de AB e CD; consequentemente, os ângulos formados (w e x) são suplementares, pois são ângulos colaterais internos. Além disso, é possível demonstrar que os ângulos x e z são congruentes.
- 3ª propriedade: As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.
Quando traçamos as duas diagonais de um paralelogramo, o ponto de encontro delas divide cada uma delas em seus pontos médios.
AM = CM
BM= DM
Veja também: Ponto, reta, plano e espaço: conceitos básicos da geometria
Área de um paralelogramo
A área de um paralelogramo, de modo geral, é calculada pelo produto da base pela altura. Há casos particulares (retângulos, losangos e quadrados) que possuem fórmulas específicas – serão apresentadas no decorrer deste texto –, mas que surgem a partir da forma geral.
A = b.h
b: base
h: altura
Perímetro de um paralelogramo
O perímetro é dado pela soma de todos os lados. Como um paralelogramo possui, de forma geral, dois lados iguais, o seu perímetro pode ser determinado por:
P = 2 (a + b)
Casos especiais de paralelogramos
Como sabemos, por definição, para que seja um paralelogramo, o polígono precisa ter lados paralelos. Existem três quadriláteros que são tratados como casos particulares do paralelogramo: o retângulo, o losango e o quadrado.
Chamamos de quadrado um polígono de quatro lados que possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes – cada ângulo possui exatamente 90º. Como o quadrado é um paralelogramo, todas as propriedades são válidas para o quadrado.
A área de um quadrado e o seu perímetro são calculados de forma parecida com o que é feito com um paralelogramo, mas como todos os lados do quadrado são iguais, podemos representar a área e o perímetro do quadrado desta forma:
A= l²
P = 4.l
O retângulo é um paralelogramo que possui todos os ângulos congruentes. Ele recebe esse nome porque todos os seus ângulos são retos, ou seja, os quatro ângulos medem 90º. A área do retângulo é idêntica à área do paralelogramo, mas podemos tratar o lado na vertical como a altura, afinal, ele é perpendicular à base.
A=a .b
P= 2 (a + b)
O losango é um paralelogramo que possui todos os seus lados congruentes. Note que não há nenhuma restrição para os ângulos, podendo eles ser diferentes ou não. De maneira distinta dos exemplos anteriores, o cálculo da área de um losango é feito com base nas suas diagonais. Também existe uma relação muito importante entre as diagonais do losango e o seu lado.
D: diagonal maior
d: diagonal menor
l: lado
Dado um losango qualquer, sabemos que as diagonais se cruzam no ponto médio, formando quatro triângulos retângulos. Analisando um desses triângulos, é possível perceber uma relação pitagórica entre o lado e a metade de cada uma das diagonais.
Acesse também: Comprimento da circunferência e área do círculo
Relação entre os paralelogramos
É importante entender bem a definição de paralelogramo, para não ter complicação durante a classificação. É sempre bom lembrar que todo paralelogramo é um quadrilátero, mas nem todo quadrilátero é um paralelogramo.
Podemos afirmar também que todo retângulo, todo quadrado e todo losango são paralelogramos. Além disso, comparando os casos especiais de paralelogramos, podemos perceber outra relação, pois o quadrado possui ângulos congruentes, que é a definição de retângulo, e também lados congruentes, que é a definição de losango. Como consequência, podemos afirmar que todo quadrado é um retângulo e também um losango.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Sabendo que a figura abaixo é um paralelogramo, qual será o valor de x, y e z respectivamente?
a) 40,140 e 180
b) 30, 100 e 100
c) 25, 140 e 95
d) 30, 90 e 145
e) 45, 55 e 220
Resolução
1º passo: Utilizando a propriedade do paralelogramo, sabemos que ângulos opostos são iguais. Ao analisar a imagem, é mais conveniente utilizar essa propriedade nos ângulos do vértice B e D, pois possuem mesma incógnita.
2º passo: Sabendo que ângulos consecutivos são suplementares e que x = 25, é possível encontrar o valor de y.
3º passo: Como os ângulos dos vértices C e A são opostos, eles são congruentes, logo podemos encontrar o valor de z.
Alternativa C.
Questão 2 - Calcule a área do paralelogramo (lados medidos em centímetros) a seguir.
a) 16 cm²
b) 32 cm²
c) 8 cm²
d) 64 cm²
e) 40 cm²
Resolução
Para encontrar a área do paralelogramo, primeiro é necessário encontrar o valor de h. Note que o triângulo AEB é retângulo de hipotenusa igual a 5, logo podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de h.
Alternativa B.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática