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Como calcular a raiz quadrada de cinco

A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.

O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?

Tentativa e erro

Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:

Qual a raiz quadrada de v196?

Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:

11 * 11 = 121

12 * 12 = 144

13 * 13 = 169

14 * 14 = 196

É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.

Cálculo por fatoração

A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:

Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:

Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:

Veja outro exemplo com v1225:

Desmembrando o número temos:

Raiz quadrada não exata

Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:

Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:

7,1 * 7,1 = 50,41

7,2 * 7,2 = 51,84

7,3 * 7,3 = 53,29

7,4 * 7,4 = 54,76

O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.

Veja outro exemplo:

Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:

14,1 * 14,1 = 198,81

14,2 * 14,2 = 201,64

14,3 * 14,3 = 204,49

14,4 * 14,4 = 207,36

14,5 * 14,5 = 210,25

14,6 * 14,6 = 213,16

14,7 * 14,7 = 216,09

14,8 * 14,8 = 219,04

Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:

14,71 * 14,71 = 216,38

14,72 * 14, 72 = 216,67

14,73 * 14,73 = 216,97

14,74 * 14,74 = 217,26

14,75 * 14,75 = 217,56

14,76 * 14,76 = 217,85

14,77 * 14,77 = 218,15

Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.

O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.

Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:

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A raiz quadrada de cinco , observada √ 5 ou 5 1/2 , é um número real notável em matemática e é aproximadamente igual a 2,236.

É um irracional quadrático e um inteiro quadrático .

Elementos introdutórios

Definição, notação e pronúncia

√ 5 é pronunciado como "raiz quadrada de cinco"; também foi declarado "radical de cinco".
√ 5 também é observado 5 1/2 (notação Unicode : 5 ½ ).

Valor aproximado

√ 5 é aproximadamente

Fração contínua

A fração contínua de desenvolvimento de √ 5 é [2, 4 ] (continuação A040002 de OEIS ). As sucessivas reduções são, portanto, 21,94,3817,682305,28891292...{\ displaystyle {\ frac {2} {1}}, {\ frac {9} {4}}, {\ frac {38} {17}}, {\ frac {682} {305}}, {\ frac {2889} {1292}} \ ldots}

Cálculo de um valor aproximado

Métodos gerais

Aproximação pelo método de Heron

O método de Heron pode calcular o valor aproximado de uma raiz quadrada com alta precisão e poucos cálculos; é aplicável à raiz quadrada de 5.

Considere a parte inteira de √ 5 , x 0 = 2 .

O método de Heron consiste em calcular os termos sucessivos de uma sequência próxima de √ 5 pela fórmula de recorrência:

xnão+1=xnão+NOxnão2.{\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n} + {\ frac {A} {x_ {n}}}} {2}}.}

com aqui, A = 5 . Por iterações sucessivas, obtemos:

x1=2+522=94=2,25{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {2 + {\ tfrac {5} {2}}} {2}} = {\ frac {9} {4}} = 2,25}
x2=94+5492=16172≈2,2361{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {{\ tfrac {9} {4}} + 5 {\ tfrac {4} {9}}} {2}} = {\ frac {161} {72}} \ aproximadamente 2.2361}
x3=16172+5721612=5184123184≈2,2360679779.{\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {{\ tfrac {161} {72}} + 5 {\ tfrac {72} {161}}} {2}} = {\ frac {51841} {23184}} \ aproximadamente 2,2360679779.}

Método específico

Sequência de Fibonacci

A seguinte fórmula, inicialmente demonstrada por Paul Erdős , relaciona - se aos inversos dos termos da sequência de Fibonacci cujo índice é uma potência de 2: 5{\ displaystyle {\ sqrt {5}}}

∑k=0∞1F2k=7-52{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} = {\ frac {7 - {\ sqrt {5}}} {2 }}}

Isso dá a fórmula que converge rapidamente, já que as 6 primeiras palavras fornecem 13 decimais corretos e a 7ª fornece 13 decimais seguintes. 5=7-2(∑k=0∞1F2k){\ displaystyle {\ sqrt {5}} = 7-2 \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} \ right) }

Link com a proporção áurea

A raiz quadrada de 5 é usada na expressão da proporção áurea φ=1+52.{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}.}

Então encontramos5=2φ-1et5=φ+1φ.{\ displaystyle {\ sqrt {5}} = 2 \ varphi -1 \ quad {\ rm {e}} \ quad {\ sqrt {5}} = \ varphi + {\ frac {1} {\ varphi}}. }

Prova de irracionalidade

Suponha que √ 5 seja racional e escreva-o na forma de uma fração irredutível m / n (ou seja, m e n são coprimos : mdc ( m , n ) = 1). A hipótese √ 5 = m / n leva a 5 n 2 = m 2 . Então, 5 divide m 2 , então divide m de acordo com o Lema de Euclides . Podemos escrever m = 5 r , ou 5 n 2 = (5 r ) 2 = 25 r 2 , n 2 = 5 r 2 ou 5 divide n . Isso nos leva a um absurdo, pois GCD ( m , n ) é então divisível por 5, contraditoriamente com a suposição GCD ( m , n ) = 1.

Trigonometria

Como √ 2 e √ 3 , a raiz quadrada de 5 está presente nas fórmulas para constantes trigonométricas exatas, incluindo ângulos em graus divisíveis por 3, mas não por 15. Os mais simples são:

pecado⁡π10=pecado⁡18∘=14(-1+5),{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {10}} = \ sin 18 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} \ left (-1 + {\ sqrt {5}} \ direito),}

pecado⁡π5=pecado⁡36∘=142(5-5),{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {5}} = \ sin 36 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 - {\ sqrt {5} })}},}

pecado⁡3π10=pecado⁡54∘=14(1+5),{\ displaystyle \ sin {\ frac {3 \ pi} {10}} = \ sin 54 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}),}

pecado⁡2π5=pecado⁡72∘=142(5+5).{\ displaystyle \ sin {\ frac {2 \ pi} {5}} = \ sin 72 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 + {\ sqrt {5 }})}}.}

Fórmulas Ramanujan

A raiz quadrada de 5 está presente em várias fórmulas fornecidas por Srinivasa Ramanujan envolvendo frações contínuas generalizadas :

1∣∣1+e-2π∣∣1+e-4π∣∣1+e-6π∣∣1+⋯=(5+52-5+12)e2π/5=e2π/5(φ5-φ).{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac { {\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 6 \ pi} \ mid} {\ mid 1} } + \ cdots = \ left ({\ sqrt {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {2}}} - {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ direita) {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / 5} = {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / 5} \ esquerda ({\ sqrt {\ varphi {\ sqrt {5}}} } - \ varphi \ right).}

1∣∣1+e-2π5∣∣1+e-4π5∣∣1+e-6π5∣∣1+⋯=(51+[53/4(φ-1)5/2-1]1/5-φ)e2π/5.{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {-6 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots = \ left ({{\ sqrt {5}} \ over 1+ \ left [5 ^ {3/4 } (\ varphi -1) ^ {5/2} -1 \ right] ^ {1/5}} - \ varphi \ right) {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / {\ sqrt {5} }}.}

4∫0∞xe-x5cosh⁡xdx=1∣∣1+12∣∣1+12∣∣1+22∣∣1+22∣∣1+32∣∣1+32∣∣1+⋯.{\ displaystyle 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x {\ rm {e}} ^ {- x {\ sqrt {5}}}} {\ cosh x}} \, {\ rm {d}} x = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}

Notas e referências

Notas

↑ A velocidade de convergência vem do fato de que o termo geral da série diminui como o inverso de uma função exponencial dupla .
↑ Na prática, entretanto, esse método tem a desvantagem de ter que lidar com números inteiros grandes.

Referências

Portal de Matemática