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Ouça em voz altaPausarSabe-se apenas que o símbolo foi empregado pela primeira vez em 1525, no livro de álgebra Die Coss, de autoria do matemático alemão Christoff Rudolff (1499-1545), e que sua adoção geral só ocorreu no século seguinte. Quem promoveu a modificação do símbolo da raiz quadrada?Ouça em voz altaPausarÉ uma criação do alemão Christoff Rudolff, em seu livro Die Coss, de 1525. Acredita-se que o símbolo seja inspirado na letra “r”, que representava a raiz quadrada antes de o ícone atualmente aceito ser criado – a escolha pela letra viria do latim radix (raiz)(3).
O que significa o símbolo da raiz quadrada?Ouça em voz altaPausarTal teoria chegou ao ocidente através dos árabes. Para eles, um quadrado “cresceu” (como uma árvore) a partir de um número (seu lado). Daí “raiz”. Assim, a raiz quadrada seria a “base” do quadrado, ou seja, o valor do qual derivaram todos os lados da figura. Como se chama o símbolo da Radiciação?Ouça em voz altaPausarNa imagem acima, n é o índice, x é o radicando e L é a raiz enésima. O símbolo “√” é conhecido como radical e é utilizado para representar a operação matemática radiciação. Qual o nome completo do matemático que usou pela primeira vez o símbolo I para representar a raiz quadrada de 1?Leonhard Euler Ouça em voz altaPausarFoi Leonhard Euler, sim este mesmo que tem o número e em sua memória. Além disto, Euler criou vários símbolos, assim à raiz quadrada de -1 seria simbolizada por i, em 1777. Segundo Euler, os números complexos também podem possuir uma parte real.
Como se chama o sinal da raiz quadrada?Ouça em voz altaPausarO símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x. Qual é o inverso da raiz quadrada?Ouça em voz altaPausarO inverso da raiz quadrada é um número quadrado ou quadrado perfeito (quadrado de um número inteiro), que é o produto de um número multiplicado por ele mesmo. ... Você pode calcular o quadrado de um número a partir de sua raiz quadrada através de uma série de multiplicações. Como se faz o símbolo da raiz quadrada no teclado?Ouça em voz altaPausarPressione a tecla “Alt” sem soltar; Com o “Alt” pressionado, pressione os números nessa sequência: 8, 7, 3 e 0; Caso não funcione, tente a opção numérica 2, 5 e 1.
Qual a origem do símbolo da raiz quadrada?
Como surgiu a raiz quadrada de um número?
Quem deve extrair a raiz de um número?
Qual a origem do símbolo Radix?
Esta página cita fontes, mas estas não cobrem todo o conteúdo. (Janeiro de 2011) Em matemática, a raiz quadrada de
x
{\displaystyle x}
Embora
(
−
3
)
2
=
9
{\displaystyle (-3)^{2}=9}
A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos. O primeiro uso do atual símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (do latim, raiz). Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de reta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raiz quadrada do inicial.[2] As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:
A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; x {\displaystyle {\sqrt {x}}} é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois). Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado. Admita-se que x e a são reais, e que x 2 = a {\displaystyle x^{2}=a} , e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} . Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x2 não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que x = a {\displaystyle x={\sqrt {a}}} ou, de outra forma, que x = ± a {\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}} Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade: x − y = x − y x + y {\displaystyle {\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}} O mesmo é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero. A função f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} tem o seguinte gráfico: A função, cujo domínio é o conjunto dos números reais não negativos é contínua, monótona e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive da tangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por f ′ ( x ) = 1 2 x {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial: x + 1 = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 2 ) ! n ! ( n − 1 ) ! 2 2 n − 1 x n = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + … {\displaystyle {\sqrt {x+1}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!(n-1)!2^{2n-1}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots } para | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} . As dificuldades de computar raízes quadradas usando-se números romanos e a notação romana para frações levou Vitrúvio a a declarar que extrair a raiz quadrada de 200 não pode ser feito por números [3]. CalculadorasAs calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas, tais como o método de Newton (frequentemente com uma estimativa inicial igual a 1), para computar a raiz quadrada de um número real positivo.[4][5] Ao computar raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo, pode-se explorar a identidade a = e ( ln a ) / 2 {\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}} Calculando a raiz quadrada manualmente: Por exemplo, calcularemos a raiz quadrada de 2. √2|1,41... -1 |2 4|28 1 100| 4| 1 -96 | 400 -281 Seguindo estes passos irás conseguir sem um professor:
Método babilônicoUm algoritmo frequentemente usado para aproximar n {\displaystyle {\sqrt {n}}} é conhecido como "método babilônico" (porque, especula-se, este era o método usado na Matemática Babilônica para calcular a raiz quadrada,[6] e é o mesmo obtido ao aplicar-se o Método de Newton à equação x 2 − n = 0 {\displaystyle x^{2}-n=0} Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:
Este algoritmo é quadraticamente convergente, que significa que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição. Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam de muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas). Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão: Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.
Esse seria aproximadamente a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora teremos: 8,12403840463596... Ou seja, esse é um bom método para se achar aproximadamente uma raiz quadrada. Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longaEste método, apesar de muito mais lento que o método Babilônico, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raiz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito. Escreva o número em decimal e divida-o em pares de dígitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raiz quadrada final aparecerá acima do número original. Para cada iteração: Traga para baixo o par o mais significativo dos dígitos ainda não usados e adicione-os a todo o restante. Este é o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que não faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dígito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e não houver mais dígito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se não continue com etapa 1. Exemplo: Que é a raiz quadrada de 152,2756? ____1__2._3__4_ | 01 52.27 56 1 x 01 1*1=1 1 ____ __ 00 52 22 2x 00 44 22*2=44 2 _______ ___ 08 27 243 24x 07 29 243*3=729 3 _______ ____ 98 56 2464 246x 98 56 2464*4=9856 4 _______ 00 00 O algoritmo termina: a resposta é 12,34Embora demonstrado aqui para números da base 10, o procedimento trabalha para algumas bases, incluindo a base 2. Na descrição acima, 20 meios dobram a base de número usada, no exemplo de binário isto seriam realmente 100. que o algoritmo está no fato muito mais fácil de executar na base 2, como em cada etapa somente os dois dígitos 0 e 1 têm que ser testados. Equação de PellA equação de Pell permite encontrar a parte inteira de uma raiz quadrada simplesmente subtraindo inteiros ímpares. Por exemplo, para calcular a parte inteira da raiz quadrada de 19, calcula-se a sequência: 1. 19 – 1 = 18 2. 18 – 3 = 15 3. 15 – 5 = 10 4. 10 – 7 = 3Como 3 é menor que 9, a sequência para aqui. Como 4 subtrações foram efetuadas, então a resposta é 4 Ou seja, para calcular a parte inteira da raiz quadrada n de um número inteiro positivo m, pode ser usado o seguinte trecho de programa: n = 0 i = 1 while (m >= i){ m = m – i; i = i + 2; n = n + 1; }Observe-se que se n é a raiz exata, o valor final de m é zero. Encontrando raízes quadradas usando aritmética mentalA Equação de Pell é um método para obter a raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares. Ex: Para obter 27 {\displaystyle {\sqrt {27}}} nós começamos com a seguinte sequência:
5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5. Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1 2 × 100 = 200 {\displaystyle 2\times 100=200} e 5 × 20 + 1 = 101 {\displaystyle 5\times 20+1=101}
O próximo número é 1. Em seguida efetua-se: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1 99 × 100 = 9900 {\displaystyle 99\times 100=9900} e 51 × 20 + 1 = 1021 {\displaystyle 51\times 20+1=1021}
O próximo número é 9. O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27. Método das Frações ContinuadasIrracionais Quadráticos, que são os números envolvendo raízes quadradas na forma (a+√b)/c, são compostos por períodos de frações continuadas. Isto faz com que elas sejam fáceis de serem calculadas recursivamente, dado o período. Por exemplo, para calcular √2, nós temos que usar o fato de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], e usar a relação recursiva: an+1=1/(2+an) com a0=0 para obter √2-1 dada uma precisão especificada por n níveis de recursividade, e adicionar 1 ao resultado para obter √2. Para todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = r exp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raiz quadrada é holomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). A série de Taylor acima para √(1+x) continua válida para números complexos x com |x| < 1. Quando o número complexo está na forma retangular, a seguinte fórmula pode ser usada: x + i y = | x + i y | + x 2 ± i | x + i y | − x 2 {\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}} onde o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original. Perceba que, por causa da natureza descontínua da função raiz quadrada no plano complexo, a regra z w = z w {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}} é em geral falsa. Se for tomada erroneamente como verdadeira, esta regra pode levar a numerosas "provas" erradas, como por exemplo a seguinte prova real que mostra que -1 = 1: − 1 = i 2 = ( − 1 ) 2 = − 1 × − 1 = 1 = 1 {\displaystyle -1=i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {-1\times -1}}={\sqrt {1}}=1} A terceira igualdade não pode ser justificada. Porém, a regra pode estar errada apenas até um fator -1, z w = ± z w , {\displaystyle {\sqrt {zw}}=\pm {\sqrt {z}}{\sqrt {w}},} é verdadeiro para ambos ± tanto + como - (mas não ambos ao mesmo tempo). Perceba que c 2 = ± c , {\displaystyle {\sqrt {c^{2}}}=\pm c,} portanto a 2 b 2 = ± a b {\displaystyle {\sqrt {a^{2}b^{2}}}=\pm ab} e finalmente z w = ± z w , {\displaystyle {\sqrt {zw}}=\pm {\sqrt {z}}{\sqrt {w}},} com o uso de = a = z {\displaystyle a={\sqrt {z}}} e b = w . {\displaystyle b={\sqrt {w}}.} Se A é uma matriz positiva definida (ou um operador positivo definido), então existe exatamente uma matriz positiva definida (idem para operador) B tal que B² = A; definimos A = B {\displaystyle {\sqrt {A}}=B} Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória.
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Quem elaborou a teoria da raiz quadrada
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