No dia-a-dia estamos interessados em contar o número de maneiras que um experimento ou experiência pode ser realizado. Por exemplo:
Uma maneira simples de obter o total de possibilidades de um experimento acontecer é descrever todas as opções possíveis e fazer a contagem direta. Entretanto, isso nem sempre é viável porque o número de possibilidades pode ser tão grande que se torna impraticável a contagem direta dos resultados. Por exemplo:
Para essas situações, usamos o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, que é um método algébrico para determinar o número total de possibilidades. Este método consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada etapa do experimento. Para entendermos melhor, observe o infográfico abaixo: Observe o seguinte problema:
Resolução: Cada resultado consta como uma “tripla ordenada” (A, B, C) onde A representa o atleta que chegou em 1º lugar, B o que chegou em 2º, e C o que chegou em 3º. A, B e C pertencem ao conjunto dos atletas e A ≠ B, A ≠ C e B ≠ C. Podemos obter as sequências possíveis, usando o diagrama de árvore. Pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o resultado procurado é: 3 . 2. 1 = 6 1º) Com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar? Resolução: Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída de três etapas sucessivas, a saber:
Aplicando o princípio fundamental da contagem (PFC), temos: 6 x 5 x 4 = 120 números. 2º) Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida? Resolução: Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F. 3º) Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Resolução: Observe que, além do princípio multiplicativo também usamos o princípio aditivo, pois ou o número termina em zero ou o número não termina em zero. Observação: O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) fornece-nos o instrumento básico para a resolução de problemas de contagem, entretanto, sua aplicação pode, às vezes, tornar-se muito trabalhosa. Alguns problemas de contagem são mais complexos e devem ser resolvidos adotando-se novas técnicas de contagem. Se faz necessária a distinção entre os diferentes tipos de agrupamentos, que constituem sequências de elementos pertencentes a um conjunto dados. A partir da compreensão desses agrupamentos e, usando os princípios aditivos e multiplicativo, podemos deduzir fórmulas que permitem a contagem dos mesmos, em cada caso particular a ser estudado. Vale lembrar que as fórmulas deverão ser interpretadas como atalhos para a obtenção do resultado final. Os principais tipos de agrupamentos são: arranjos, permutações e combinações. Leia mais: Referências bibliográficas: 1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991 2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007. 3. LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio. Volume 2, 6.ed. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2006 Note que a ordem da ocupação dos lugares é importante (se ocorrer, para 1º, 2º e 3º a ordem A, B e C, será diferente de B, C, A), logo, temos que utilizar um arranjo simples, de 4 elementos tomados 3 a 3:Também é possível resolver pelo PFC, e então temos:__ __ __4 3 2= 4 x 3 x 2 = 24 modos Cada resultado consta de uma tripla ordenada (a, b, c), em que a representa o atleta que chegou em 1º lugar, b o que chegou em segundo, e c o que chegou em terceiro. a, b e c pertencem ao conjunto dos atletas e a ≠ b, a ≠ c e b ≠ c. Logo, o número de resultados possíveis é: 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 |