Qual e o valor de x no triângulo sabendo que cp e a bissetriz

O teorema da bissetriz interna demonstra que quando traçamos a bissetriz de um ângulo interno do triângulo, ela divide o lado oposto a esse ângulo em segmentos de retas que são proporcionais aos lados adjacentes a esse ângulo. Com o teorema da bissetriz interna podemos determinar qual é a medida dos lados do triângulo ou mesmo dos segmentos divididos pelo ponto de encontro da bissetriz, utilizando a proporção. 

Saiba mais: Condição de existência de um triângulo — a verificação da existência dessa figura

Resumo sobre teorema da bissetriz interna

• A bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo ao meio.

• O teorema da bissetriz interna demonstra uma relação de proporção entre os lados adjacentes ao ângulo e os segmentos de reta do lado oposto ao ângulo.

• Utilizamos o teorema da bissetriz interna para encontrar medidas desconhecidas em triângulos.

Videoaula sobre teorema da bissetriz interna

A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. O teorema da bissetriz interna nos mostra que ao traçar a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo, ela encontra o lado oposto em um ponto P, dividindo-o em dois segmentos de reta. Ou seja, os segmentos divididos pela bissetriz de um ângulo interno do triângulo são proporcionais aos lados adjacentes do ângulo.

Os segmentos de reta formados pelo ponto de encontro da bissetriz de um ângulo com o lado oposto a esse ângulo possuem uma proporção com os lados que são adjacentes a esse ângulo. Veja no triângulo a seguir:

A bissetriz do ângulo A divide o lado oposto nos segmentos \(\overline{BP}\) e \(\overline{CP}\). O teorema da bissetriz interna demonstra que:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{BP}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CP}}\)

Dado o triângulo a seguir, sabendo que AP é a sua bissetriz, o valor de x é:

Resolução:

Para encontrar o valor de x, aplicaremos o teorema da bissetriz interna.

\(\frac{10}{5}=\frac{15}{x}\)

Multiplicando cruzado, temos que:

\(10x=15\cdot5\)

\(10x=75\)

\(x=\frac{75}{10}\)

\(x=7,5\ cm\)

Portanto, o lado CP mede 7,5 centímetros.

Demonstração do teorema da bissetriz interna

Conhecemos como demonstração de um teorema a prova de que ele é verdade. Para demonstrar o teorema da bissetriz interna, vamos seguir alguns passos.

No triângulo ABC com a bissetriz AP, traçaremos o prolongamento do lado AB até ele se encontrar com o segmento CD, que será delineado de forma paralela à bissetriz AP.

Note que o ângulo ADC é congruente ao ângulo BAP, pois CD e AP são paralelos e cortam a mesma reta, que possui os pontos B, A e D.

Podemos aplicar o teorema de Tales, que prova que os segmentos formados por uma reta transversal ao interceptar retas paralelas são congruentes. Assim, pelo teorema de Tales:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{BP}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{PC}}\)

Note que o triângulo ACD é isósceles, pois a soma dos ângulos ACD +ADC é igual a 2x. Logo, cada um desses ângulos mede x.

Sendo o triângulo ACD isósceles, o segmento \(\overline{AC}\) possui a mesma medida que o segmento \(\overline{AD}\).

Dessa forma, temos:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{BP}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{PC}}\)

Fica assim demonstrado o teorema da bissetriz interna.

Leia também: Teorema de Pitágoras — o teorema que pode ser aplicado em qualquer triângulo retângulo

Exercícios resolvidos sobre teorema da bissetriz interna

Questão 1

Calcule a medida do lado AB no triângulo a seguir, sabendo que AD é bissetriz do ângulo A.

A) 10 cm

B) 12 cm

C) 14 cm

D) 16 cm

E) 20 cm

Resolução:

Alternativa B

Sendo x a medida do lado AB, pelo teorema da bissetriz interna temos que:

\(\frac{x}{4}=\frac{18}{6}\)

\(\frac{x}{4}=3\)

\(x=4\cdot3\)

\(x=12\ cm\)

Questão 2

Analise o triângulo a seguir e calcule o comprimento do segmento BC.

A) 36 cm

B) 30 cm

C) 28 cm

D) 25 cm

E) 24 cm

Resolução:

Alternativa A

Pelo teorema da bissetriz interna:

\(\frac{30}{2x+6}=\frac{24}{3x-5}\)

Multiplicando cruzado:

\(30\left(3x-5\right)=24\left(2x+6\right)\)

\(90x-150=48x+144\)

\(90x-48x=150+144\)

\(42x=294\)

\(x=\frac{294}{42}\)

\(x=7\ cm\)

Sabendo a medida de x, obtemos:

BC = 2x + 6 + 3x – 5

BC = \(2\cdot7+6+3\cdot7-5\)

BC = \(\ 36\ cm\)

O teorema da bissetriz interna é aplicado em triângulos. Por meio dele, é possível demonstrar que ao traçar qualquer uma das bissetrizes internas desse polígono, elas dividirão o lado oposto em segmentos de reta que são proporcionais a seus lados adjacentes.

A partir do teorema da bissetriz interna é possível encontrar valores desconhecidos em um triângulo. Existe também o teorema da bissetriz externa. Como o nome sugere, ele está relacionado ao ângulo externo do triângulo.

Leia também: Quais são os pontos notáveis de um triângulo?

Resumo sobre teorema da bissetriz interna

• O teorema da bissetriz interna é aplicado em triângulos.

• Ele mostra que a bissetriz de um ângulo interno do triângulo divide o lado em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

• Existe também o teorema da bissetriz externa, que mostra proporções parecidas relacionadas à bissetriz do ângulo externo do triângulo.

Videoaula sobre teorema da bissetriz interna

Para compreender o teorema, é importante compreender o que é a bissetriz, definida pela semirreta que divide um ângulo em duas partes congruentes.

Quando a bissetriz de um triângulo é delineada, a ideia é a mesma. A bissetriz de um ângulo interno do triângulo é um segmento de reta que divide aquele ao meio.

Note que, além de dividir o ângulo ao meio, a bissetriz divide a base do triângulo em dois segmentos, AD e DB. O teorema abordado a seguir mostra uma relação de proporcionalidade entre os segmentos e os lados AC e BC.

Leia também: Segmentos proporcionais — aqueles que apresentam relações de proporcionalidade entre si

Como é o teorema da bissetriz interna?

O teorema da bissetriz interna mostra que se traçarmos a bissetriz AD em um triângulo de lados ABC, encontraremos dois segmentos. A razão entre o lado AC e o segmento CD é igual à razão entre o lado AB e o segmento BD.

Demonstração do teorema da bissetriz interna

Dado o triângulo ABC, com bissetriz AD, delimitaremos o prolongamento do lado AB e um segmento CE paralelo à bissetriz do triângulo, como na imagem abaixo:

Pelo teorema de Tales, sabemos que a reta transversal forma segmentos proporcionais, então temos o seguinte:

Sendo x o ângulo conhecido, qual o valor dos ângulos internos do triângulo AEC?

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180°. Dessa forma, no triângulo ACE, calcula-se:

x + 180º – 2x + y = 180º

– x + y = 180° – 180°

– x + y = 0

y = x

Se o ângulo x e o ângulo y possuem a mesma medida, o triângulo ACE é isósceles. Logo, os segmentos AE e AC são congruentes. Trocando AE por AC na razão, fica provado que:

Exemplo:

Dado o triângulo a seguir, encontre o valor de x.

Resolução:

Analisando a imagem, nota-se que basta aplicar o teorema da bissetriz interna nesse triângulo. Montando as proporções, temos que:

Multiplicando de forma cruzada, calcula-se:

16x = 32 · 18

16x = 576

x = 576 : 16

x = 36

Diferença entre o teorema da bissetriz interna e o teorema da bissetriz externa

O teorema da bissetriz interna não é o único teorema envolvendo a bissetriz de um triângulo. Além dele, existe o teorema da bissetriz externa. Como o nome sugere, o teorema da bissetriz externa está ligado à bissetriz de um ângulo externo, diferentemente do teorema da bissetriz interna, que utiliza apenas os ângulos internos do triângulo.

Ambos os teoremas nos auxiliam a encontrar valores desconhecidos por meio da proporção. Assim, utilizamos o teorema que for mais conveniente de acordo com as informações já conhecidas.

Leia também: Congruência de triângulos — os casos em que eles apresentam medidas iguais

Exercícios resolvidos sobre teorema da bissetriz interna

Questão 1

Analisando o triângulo a seguir, podemos afirmar que o comprimento do lado AB é igual a

A) 15,0

B) 14,8

C) 13,5

D) 7,5

E) 6

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que os segmentos são proporcionais. Portanto, montaremos a proporção e multiplicaremos de forma cruzada:

Conhecendo o valor de x, sabemos que o lado AB é igual a 2x + 3x – 1,5. Dessa forma, obtém-se o seguinte:

AB = 2x + 3x – 1,5

AB = 5x – 1,5

Substituindo x = 3:

AB = 5 · 3 – 1,5

AB = 15 – 1,5

AB = 13,5

Questão 2

(CFTMG 2015) O perímetro do triângulo ABC vale 120 cm e a bissetriz do ângulo  divide o lado oposto em dois segmentos de 18 cm e 22 cm, conforme a figura.

A medida do maior lado desse triângulo em centímetros é de:

A) 22

B) 36

C) 44

D) 52

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que o perímetro do triângulo é de 120 cm, então:

c + b + 18 + 22 = 120

c + b = 120 – 40

c + b = 80

c = 80 – b

Pelo teorema da bissetriz interna, temos:

Analisando os lados, sabemos que b > c, pois:

c = 80 – b

c = 80 – 44

c = 36

Portanto, o maior lado desse triângulo mede 44 cm.