A função exponencial ocorre quando, em sua lei de formação, a variável está no expoente, com domínio e contradomínio nos números reais. O domínio da função exponencial são os números reais, e o contradomínio são os números reais positivos diferentes de zero. A sua lei de formação pode ser descrita por f(x) =ax, em que a é um número real positivo diferente de 1. Show
O gráfico de uma função exponencial sempre estará no primeiro e segundo quadrantes do plano cartesiano, podendo ser crescente, quando a for um número maior do que 1, ou decrescente, quando a for um número positivo menor do que 1. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica, o que torna os gráficos dessas funções sempre simétricos. Leia também: O que é função? Curva de uma função exponencialO que é função exponencial?Como o nome sugere, o termo exponencial está ligado a expoente. Então, a definição de função exponencial é uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais, e o contradomínio é o conjunto dos números reais positivos não nulos, descrito por : ℝ → ℝ*+. A sua lei de formação é descrita pela equação f(x) = ax, em que a é um número real qualquer, positivo, não nulo e que recebe o nome de base. Exemplos: Na lei de formação, f(x) pode ser descrito também como y e, assim como nas demais funções, ele é conhecido como variável dependente, porque seu valor depende de x, que é conhecido como variável independente. As funções exponencias podem ser classificadas em dois casos distintos. Levando em consideração o comportamento da função, ela pode ser crescente ou decrescente. Uma função exponencial é dita crescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) também aumenta. Isso ocorre quando a base é maior que 1, ou seja: a > 1. Exemplo: Gráfico de uma função exponencial crescenteUma função exponencial é considerada decrescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui. Isso ocorre quando a base é um número entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1. Exemplo: Gráfico de uma função exponencial decrescenteLeia também: Diferenças entre função e equação Gráfico da função exponencialPara desenharmos a representação gráfica de uma função exponencial, é necessário encontrar a imagem para alguns valores do domínio. O gráfico de uma função exponencial tem como característica um crescimento bem maior que o das funções lineares, se for crescente, ou um decrescimento maior, quando decrescente. Exemplos: a) Construa o gráfico da função: f(x) = 2x. Como a >1, então essa função é crescente. Para a construção do gráfico, vamos atribuir alguns valores para x conforme a tabela a seguir: Agora que conhecemos alguns pontos da função, é possível marcá-los no plano cartesiano e traçar a curva da função exponencial. b) Construa o gráfico da função a seguir: Nesse caso, a função é decrescente, já que a base é um número entre 0 e 1, então o gráfico será decrescente. Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função: Propriedades da função exponencial→ 1ª propriedadeEm uma função exponencial qualquer, independentemente do valor de sua base a, temos que f(0) = 1. Afinal, sabemos que essa é uma propriedade de potência, ou seja, todo número elevado a 0 é 1. Isso significa que o gráfico vai interceptar o eixo vertical no ponto (0,1) sempre. → 2ª propriedadeA função exponencial é injetora. Dados x1 e x2 tal que x1 ≠ x2, então as imagens também serão diferentes, ou seja, f(x1) ≠ f(x2), o que significa que, para cada valor da imagem, existe um único valor no domínio que corresponde a essa imagem. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y. → 3ª propriedadeÉ possível saber o comportamento da função de acordo com o valor da sua base. O gráfico será crescente se a base for maior que 1 (a > 1) e decrescente se a base for menor que 1 e menor que 0 (0 < a < 1). → 4ª propriedadeO gráfico da função exponencial está sempre no 1º e 2º quadrantes, pois o contradomínio da função são os reais positivos diferentes de zero. Leia também: Como construir o gráfico de uma função? Função exponencial e função logarítmicaComo a função exponencial é uma função que admite inversa, essa comparação entre função exponencial e função logarítmica é inevitável. Acontece que a função logarítmica é a função inversa da exponencial. Os gráficos dessas funções são simétricos em relação à bissetriz do eixo x. Ser uma função inversa significa que a função logarítmica faz o contrário do que a função exponencial faz, ou seja, na função exponencial, se f(x) = y, então a função logarítmica, por ser inversa, será denotada por f-1 o f-1 (y) = x. O gráfico da função exponencial é simétrico ao gráfico da função logarítmica.Exercícios resolvidos(Enem 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800·(1,03)t. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais, a) 7.416,00 b) 3.819,24 c) 3.709,62 d) 3.708,00 e) 1909,62 Resolução: Queremos calcular a imagem da função quando t = 2, ou seja, s(2). Substituindo t = 2 na fórmula, encontraremos que: s(2) = 1800 · (1,03)² s(2) = 1800 · 1,0609 s(2) = 1909,62 Alternativa E 2) (Enem 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1? a) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000 b)P(t) = 50 · t -1 + 8000 c)P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000 d)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1 e)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1 Resolução: Note que existe uma relação entre o ano t e a quantidade de determinado produto P. Sabendo que há um aumento de 50% para cada ano, isso significa que, ao comparar a produção de um ano anterior ao posterior, o valor do segundo corresponde a 150%, que é representado por 1,5. Sabendo que a produção inicial é 8 000 e que, no primeiro ano, essa foi a produção, podemos descrever essa situação por:
Alternativa E Por Raul Rodrigues de Oliveira Uma função é chamada de função polinomial quando a sua lei de formação é um polinômio. As funções polinomiais são classificadas de acordo com o grau de seu polinômio. Por exemplo, se o polinômio que descreve a lei de formação da função tiver grau dois, dizemos que essa é uma função polinomial do segundo grau. Para calcular o valor numérico de uma função polinomial, basta substituir a variável pelo valor desejado, transformando o polinômio em uma expressão numérica. No estudo de funções polinomiais, é bastante recorrente a representação gráfica. A função polinomial do 1º grau tem gráfico sempre igual a uma reta. Já a função do 2º grau possui gráfico igual a uma parábola. Leia também: Quais as diferenças entre equação e função? O que é uma função polinomial?Gráfico de uma função.Uma função f : R → R é conhecida como função polinomial quando a sua lei de formação é um polinômio: f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 Em que: x → é a variável. n → é um número natural. an, an-1, an-2, … a2, a1 e a0 → são coeficientes. Os coeficientes são números reais que acompanham a variável do polinômio. Exemplos:
Como determinar o tipo de função polinomial?Existem vários tipos de função polinomial. Ela é classificada de acordo com o grau do polinômio. Quando o grau for 1, então, a função é conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial do 1º grau ou, também, função afim. Veja, a seguir, exemplos de função de grau 1 até o grau 6. Veja também: O que é uma função injetora? Grau da função polinomialO que define o grau da função polinomial é o grau do polinômio, então, podemos ter uma função polinomial de qualquer grau. Para que uma função polinomial seja de grau 1 ou polinomial do 1º grau, a lei de formação da função deve ser f(x) = ax + b, com a e b sendo números reais e a ≠ 0. A função polinomial de grau 1 é conhecida também como função afim. Exemplos:
Para que uma função polinomial seja de grau 2 ou polinomial do 2º grau, a lei de formação da função deve ser f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0. Uma função polinomial do 2º grau pode ser conhecida também como função quadrática. Exemplos:
Para que uma função polinomial seja de grau 3 ou polinomial do 3º grau, a lei de formação da função deve ser f(x) = ax³ + bx² + cx + d, com a e b sendo números reais e a ≠ 0. A função de grau 3 pode se chamar também de função cúbica. Exemplos:
Tanto para a função polinomial de grau 4 quanto para as demais, o raciocínio é o mesmo. Exemplos:
Exemplos:
Exemplos:
Valor numérico da funçãoConhecendo a lei de formação da função f(x), para calcular o valor numérico da função para um valor n, basta calcular o valor de f(n). Para tanto, substituímos a variável na lei de formação. Exemplo: Dada a função f(x) = x³ + 3x² – 5x + 4, encontramos o valor numérico da função para x = 2. Para encontrar o valor de f(x) quando x = 2, faremos f(2). f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4 Podemos dizer que a imagem da função ou o valor numérico da função, quando x = 2, é igual a 14. Veja também: Função inversa – consiste no inverso da função f(x) Gráficos de função polinomialPara representar no plano cartesiano a função, representamos, no eixo x, os valores de x, e a imagem de f(x), por pontos no plano. Os pontos no plano cartesiano são do tipo (n, f(n)). Exemplo 1: O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta. Exemplo 2: O gráfico da função de 2º grau é sempre uma parábola. Exemplo 3: O gráfico da função de 3º grau é conhecido como cúbica. Igualdade de polinômiosPara que dois polinômios sejam iguais, é necessário que, ao fazermos a comparação entre os seus termos, os coeficientes sejam os mesmos. Exemplo: Dados os polinômios p(x) e g(x) a seguir, e sabendo que p(x) = g(x), encontre o valor de a, b, c, e d. p(x) = 2x³ + 5x² + 3x – 4 Como os polinômios são iguais temos, que: ax³ = 2x³ (a + b)x² = 5x² (c – 2)x = 3x d = -4 Note que já temos o valor de d, pois d = -4. Agora, calculando cada um dos coeficientes, temos que: ax³ = 2x³ Conhecendo o valor de a, vamos encontrar o valor de b: (a + b)x² = 5x² a = 2 2 + b = 5 b = 5 – 2 b = 3 Encontrando o valor de c: (c – 2)x = 3x c – 2 = 3 c = 3 + 2 c = 5 Veja também: Equação polinomial – equação caracterizada por ter um polinômio igual a 0 Operações com polinômiosDados dois polinômios, é possível realizar as operações de adição, subtração e multiplicação entre esses termos algébricos. A adição de dois polinômios é calculada pela soma dos termos semelhantes. Para que dois termos sejam semelhantes, a parte literal (letra com o expoente) deve ser a mesma. Exemplo: Seja p(x) = 3x² + 4x + 5 e q(x) = 4x² – 3x + 2, calcule o valor de p(x) + q(x). 3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2 Destacando os termos semelhantes: 3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2 Agora vamos realizar a soma dos coeficientes dos termos semelhantes: (3 + 4)x² + (4 – 3)x + 7 A subtração é bastante semelhante à adição, porém, antes de realizar a operação, escrevemos o polinômio oposto. Exemplo: Dados: p(x) = 2x² + 4x + 3 e q(x) = 5x² – 2x + 1, calcule p(x) – q(x). O polinômio oposto de q(x) é o -q(x), que nada mais é que o polinômio q(x) com o oposto de cada um dos termos. q(x) = 5x² – 2x + 1 -q(x) = -5x² + 2x – 1 Então, calcularemos: 2x² + 4x + 3 – 5x² + 2x – 1 Simplificando os termos semelhantes, temos: (2 – 5)x² + (4 + 2)x + (3 – 1) Multiplicar polinômio exige a aplicação da propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos cada um dos termos do primeiro polinômio por cada um dos termos do segundo termo. Exemplo: (x + 1) · (x² + 2x – 2) Aplicando a propriedade distributiva, temos que: x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2) x3 + 2x² + -2x – 2 + x² + 2x + -2 x³ + 3x² – 4 Para calcular a divisão entre dois polinômios, recorremos ao mesmo método que utilizamos para calcular a divisão de dois números, o método de chaves. Exemplo: Calcule p(x) : q(x), sabendo que p(x) = 15x² + 11x + 2 e q(x) = 3x + 1. Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – outro método para calcular a divisão de polinômios Exercícios resolvidosQuestão 1 - O custo de produção diária de uma indústria de peças automotivas para produzir uma determinada quantidade de peças é dado pela lei de formação f(x) = 25x + 100, em que x é o número de peças produzidas naquele dia. Sabendo que, em um determinado dia, foram produzidas 80 peças, o custo de produção dessas peças foi de: A) R$ 300 B) R$ 2100 C) R$ 2000 D) R$ 1800 E) R$ 1250 Resolução Alternativa B f(80) = 25 · 80 + 100 Questão 2 - O grau da função h(x) = f(x) · g(x), sabendo que f (x) = 2x² + 5x e g(x) = 4x – 5, é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolução Alternativa C Primeiro encontraremos o polinômio que é resultado da multiplicação entre f(x) e g(x): f(x) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x – 5) Note que esse é um polinômio é de grau 3, logo, o grau da função h(x) é 3. Por Raul Rodrigues de Oliveira |