Qual é o gráfico que melhor representa a função f(x): ir → ir, definida por f(x) = – x2 + 3x + 4?

A função exponencial ocorre quando, em sua lei de formação, a variável está no expoente, com domínio e contradomínio nos números reais. O domínio da função exponencial são os números reais, e o contradomínio são os números reais positivos diferentes de zero. A sua lei de formação pode ser descrita por f(x) =ax, em que a é um número real positivo diferente de 1.

O gráfico de uma função exponencial sempre estará no primeiro e segundo quadrantes do plano cartesiano, podendo ser crescente, quando a for um número maior do que 1, ou decrescente, quando a for um número positivo menor do que 1. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica, o que torna os gráficos dessas funções sempre simétricos.

Leia também: O que é função?

O que é função exponencial?

Como o nome sugere, o termo exponencial está ligado a expoente. Então, a definição de função exponencial é uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais, e o contradomínio é o conjunto dos números reais positivos não nulos, descrito por : ℝ → ℝ*+. A sua lei de formação é descrita pela equação f(x) = ax, em que a é um número real qualquer, positivo, não nulo e que recebe o nome de base.

Exemplos:

Na lei de formação, f(x) pode ser descrito também como y e, assim como nas demais funções, ele é conhecido como variável dependente, porque seu valor depende de x, que é conhecido como variável independente.

As funções exponencias podem ser classificadas em dois casos distintos. Levando em consideração o comportamento da função, ela pode ser crescente ou decrescente.

Uma função exponencial é dita crescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) também aumenta. Isso ocorre quando a base é maior que 1, ou seja: a > 1.

Exemplo:

Uma função exponencial é considerada decrescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui. Isso ocorre quando a base é um número entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1.

Exemplo:

Leia também: Diferenças entre função e equação

Gráfico da função exponencial

Para desenharmos a representação gráfica de uma função exponencial, é necessário encontrar a imagem para alguns valores do domínio. O gráfico de uma função exponencial tem como característica um crescimento bem maior que o das funções lineares, se for crescente, ou um decrescimento maior, quando decrescente.

Exemplos:

a) Construa o gráfico da função: f(x) = 2x.

Como a >1, então essa função é crescente. Para a construção do gráfico, vamos atribuir alguns valores para x conforme a tabela a seguir:

Agora que conhecemos alguns pontos da função, é possível marcá-los no plano cartesiano e traçar a curva da função exponencial.

b) Construa o gráfico da função a seguir:

Nesse caso, a função é decrescente, já que a base é um número entre 0 e 1, então o gráfico será decrescente.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função:

Propriedades da função exponencial

→ 1ª propriedade

Em uma função exponencial qualquer, independentemente do valor de sua base a, temos que f(0) = 1. Afinal, sabemos que essa é uma propriedade de potência, ou seja, todo número elevado a 0 é 1. Isso significa que o gráfico vai interceptar o eixo vertical no ponto (0,1) sempre.

→ 2ª propriedade

A função exponencial é injetora. Dados x1 e x2 tal que x1 ≠ x2, então as imagens também serão diferentes, ou seja, f(x1) ≠ f(x2), o que significa que, para cada valor da imagem, existe um único valor no domínio que corresponde a essa imagem.

Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y.

→ 3ª propriedade

É possível saber o comportamento da função de acordo com o valor da sua base. O gráfico será crescente se a base for maior que 1 (a > 1) e decrescente se a base for menor que 1 e menor que 0 (0 < a < 1).

→ 4ª propriedade

O gráfico da função exponencial está sempre no 1º e 2º quadrantes, pois o contradomínio da função são os reais positivos diferentes de zero.

Leia também: Como construir o gráfico de uma função?

Função exponencial e função logarítmica

Como a função exponencial é uma função que admite inversa, essa comparação entre função exponencial e função logarítmica é inevitável. Acontece que a função logarítmica é a função inversa da exponencial. Os gráficos dessas funções são simétricos em relação à bissetriz do eixo x. Ser uma função inversa significa que a função logarítmica faz o contrário do que a função exponencial faz, ou seja, na função exponencial, se f(x) = y, então a função logarítmica, por ser inversa, será denotada por f-1 o f-1 (y) = x.

Exercícios resolvidos

(Enem 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800·(1,03)t.

De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,

a) 7.416,00

b) 3.819,24

c) 3.709,62

d) 3.708,00

e) 1909,62

Resolução:

Queremos calcular a imagem da função quando t = 2, ou seja, s(2). Substituindo t = 2 na fórmula, encontraremos que:

s(2) = 1800 · (1,03)²

s(2) = 1800 · 1,0609

s(2) = 1909,62

Alternativa E

2) (Enem 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1?

a) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000

b)P(t) = 50 · t -1 + 8000

c)P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000

d)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1

e)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1

Resolução:

Note que existe uma relação entre o ano t e a quantidade de determinado produto P. Sabendo que há um aumento de 50% para cada ano, isso significa que, ao comparar a produção de um ano anterior ao posterior, o valor do segundo corresponde a 150%, que é representado por 1,5. Sabendo que a produção inicial é 8 000 e que, no primeiro ano, essa foi a produção, podemos descrever essa situação por:

• No primeiro ano, ou seja, se t= 1 → s(t) = 8 000.

• No segundo ano, se t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.

• No terceiro ano, se t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².

• Ao passar t anos, teremos P(t) = 8 000 · (1,5)t-1.

Alternativa E

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Uma função é chamada de função polinomial quando a sua lei de formação é um polinômio. As funções polinomiais são classificadas de acordo com o grau de seu polinômio. Por exemplo, se o polinômio que descreve a lei de formação da função tiver grau dois, dizemos que essa é uma função polinomial do segundo grau.

Para calcular o valor numérico de uma função polinomial, basta substituir a variável pelo valor desejado, transformando o polinômio em uma expressão numérica. No estudo de funções polinomiais, é bastante recorrente a representação gráfica. A função polinomial do 1º grau tem gráfico sempre igual a uma reta. Já a função do 2º grau possui gráfico igual a uma parábola.

Leia também: Quais as diferenças entre equação e função?

O que é uma função polinomial?

Uma função f : R → R é conhecida como função polinomial quando a sua lei de formação é um polinômio:

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0

Em que:

x → é a variável.

n → é um número natural.

an, an-1, an-2, … a2, a1 e a0 → são coeficientes.

Os coeficientes são números reais que acompanham a variável do polinômio.

Exemplos:

• f(x) = x5 + 3x4 – 3x3 + x² – x + 1

• f(x) = -2x³ + x – 7

• f(x) = x9

Como determinar o tipo de função polinomial?

Existem vários tipos de função polinomial. Ela é classificada de acordo com o grau do polinômio. Quando o grau for 1, então, a função é conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial do 1º grau ou, também, função afim. Veja, a seguir, exemplos de função de grau 1 até o grau 6.

Veja também: O que é uma função injetora?

Grau da função polinomial

O que define o grau da função polinomial é o grau do polinômio, então, podemos ter uma função polinomial de qualquer grau.

Para que uma função polinomial seja de grau 1 ou polinomial do 1º grau, a lei de formação da função deve ser f(x) = ax + b, com a e b sendo números reais e a ≠ 0. A função polinomial de grau 1 é conhecida também como função afim.

Exemplos:

• f(x) = 2x – 3

• f(x) = -x + 4

• f(x) = -3x

Para que uma função polinomial seja de grau 2 ou polinomial do 2º grau, a lei de formação da função deve ser f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0. Uma função polinomial do 2º grau pode ser conhecida também como função quadrática.

Exemplos:

• f(x) = 2x² – 3x + 1

• f(x) = – x² + 2x

• f(x) = 3x² + 4

• f(x) = x²

Para que uma função polinomial seja de grau 3 ou polinomial do 3º grau, a lei de formação da função deve ser f(x) = ax³ + bx² + cx + d, com a e b sendo números reais e a ≠ 0. A função de grau 3 pode se chamar também de função cúbica.

Exemplos:

• f(x) = 2x³ – 3x² + 2x + 1

• f(x) = -5x³ + 4x² + 2x

• f(x) = 3x³ + 8x – 4

• f(x) = -7x³

Tanto para a função polinomial de grau 4 quanto para as demais, o raciocínio é o mesmo.

Exemplos:

• f(x) = 2x4 + x³ – 5x² + 2x + 1

• f(x) = x4 + 2x³ – x

• f(x) = x4

Exemplos:

• f(x) = x5 – 2x4 + x3 – 3x² + x + 9

• f(x) = 3x5 + x3 – 4

• f(x) = -x5

Exemplos:

• f(x) = 2x6 – 7x5 + x4 – 5x3 + x² + 2x – 1

• f(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8

• f(x) = 3x6 + 2x² + 5x

• f(x) = x6

Valor numérico da função

Conhecendo a lei de formação da função f(x), para calcular o valor numérico da função para um valor n, basta calcular o valor de f(n). Para tanto, substituímos a variável na lei de formação.

Exemplo:

Dada a função f(x) = x³ + 3x² – 5x + 4, encontramos o valor numérico da função para x = 2.

Para encontrar o valor de f(x) quando x = 2, faremos f(2).

f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 12 – 10 + 4
f(2) = 20 – 10 + 4
f(2) = 10 + 4
f(2) = 14

Podemos dizer que a imagem da função ou o valor numérico da função, quando x = 2, é igual a 14.

Veja também: Função inversa – consiste no inverso da função f(x)

Gráficos de função polinomial

Para representar no plano cartesiano a função, representamos, no eixo x, os valores de x, e a imagem de f(x), por pontos no plano. Os pontos no plano cartesiano são do tipo (n, f(n)).

Exemplo 1:

O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta.

Exemplo 2:

O gráfico da função de 2º grau é sempre uma parábola.

Exemplo 3:

O gráfico da função de 3º grau é conhecido como cúbica.

Igualdade de polinômios

Para que dois polinômios sejam iguais, é necessário que, ao fazermos a comparação entre os seus termos, os coeficientes sejam os mesmos.

Exemplo:

Dados os polinômios p(x) e g(x) a seguir, e sabendo que p(x) = g(x), encontre o valor de a, b, c, e d.

p(x) = 2x³ + 5x² + 3x – 4
g(x) = ax³ + (a + b) x² + (c – 2) x + d

Como os polinômios são iguais temos, que:

ax³ = 2x³ (a + b)x² = 5x² (c – 2)x = 3x

d = -4

Note que já temos o valor de d, pois d = -4. Agora, calculando cada um dos coeficientes, temos que:

ax³ = 2x³
a = 2

Conhecendo o valor de a, vamos encontrar o valor de b:

(a + b)x² = 5x²
a + b = 5

a = 2

2 + b = 5 b = 5 – 2

b = 3

Encontrando o valor de c:

(c – 2)x = 3x c – 2 = 3 c = 3 + 2

c = 5

Veja também: Equação polinomial – equação caracterizada por ter um polinômio igual a 0

Operações com polinômios

Dados dois polinômios, é possível realizar as operações de adição, subtração e multiplicação entre esses termos algébricos.

A adição de dois polinômios é calculada pela soma dos termos semelhantes. Para que dois termos sejam semelhantes, a parte literal (letra com o expoente) deve ser a mesma.

Exemplo:

Seja p(x) = 3x² + 4x + 5 e q(x) = 4x² – 3x + 2, calcule o valor de p(x) + q(x).

3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2

Destacando os termos semelhantes:

3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2

Agora vamos realizar a soma dos coeficientes dos termos semelhantes:

(3 + 4)x² + (4 – 3)x + 7
7x² + x + 7

A subtração é bastante semelhante à adição, porém, antes de realizar a operação, escrevemos o polinômio oposto.

Exemplo:

Dados: p(x) = 2x² + 4x + 3 e q(x) = 5x² – 2x + 1, calcule p(x) – q(x).

O polinômio oposto de q(x) é o -q(x), que nada mais é que o polinômio q(x) com o oposto de cada um dos termos.

q(x) = 5x² – 2x + 1

-q(x) = -5x² + 2x – 1

Então, calcularemos:

2x² + 4x + 3 – 5x² + 2x – 1

Simplificando os termos semelhantes, temos:

(2 – 5)x² + (4 + 2)x + (3 – 1)
-3x² + 6x + 2

Multiplicar polinômio exige a aplicação da propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos cada um dos termos do primeiro polinômio por cada um dos termos do segundo termo.

Exemplo:

(x + 1) · (x² + 2x – 2)

Aplicando a propriedade distributiva, temos que:

x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)

x3 + 2x² + -2x – 2 + x² + 2x + -2

x³ + 3x² – 4

Para calcular a divisão entre dois polinômios, recorremos ao mesmo método que utilizamos para calcular a divisão de dois números, o método de chaves.

Exemplo:

Calcule p(x) : q(x), sabendo que p(x) = 15x² + 11x + 2 e q(x) = 3x + 1.

Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – outro método para calcular a divisão de polinômios

Exercícios resolvidos

Questão 1 - O custo de produção diária de uma indústria de peças automotivas para produzir uma determinada quantidade de peças é dado pela lei de formação f(x) = 25x + 100, em que x é o número de peças produzidas naquele dia. Sabendo que, em um determinado dia, foram produzidas 80 peças, o custo de produção dessas peças foi de:

A) R$ 300

B) R$ 2100

C) R$ 2000

D) R$ 1800

E) R$ 1250

Resolução

Alternativa B

f(80) = 25 · 80 + 100
f(80) = 2000 + 100
f(80) = 2100

Questão 2 - O grau da função h(x) = f(x) · g(x), sabendo que f (x) = 2x² + 5x e g(x) = 4x – 5, é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolução

Alternativa C

Primeiro encontraremos o polinômio que é resultado da multiplicação entre f(x) e g(x):

f(x) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x – 5)
f(x) · g(x) = 8x³ – 10x² + 20x – 25x

Note que esse é um polinômio é de grau 3, logo, o grau da função h(x) é 3.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática