Tem como soma dos ângulos internos um ângulo de medida igual a 180 graus?

Quem estuda um pouco de Geometria Plana sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180o. Mas, por que isso é sempre verdade? Veremos a seguir.

Considere o triângulo a seguir e seus ângulos internos:

Vamos desenhar mais dois triângulos, idênticos ao anterior:

Agora, observe:

Girando os triângulos e unindo um vértice de cada um, de modo que os ângulos α, β e θ tornem-se, dois a dois, adjacentes, temos um ângulo raso:

Assim, a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180o.

Exercícios resolvidos

1) As medidas dos ângulos de um triângulo são, respectivamente, x, 3x e 5x. Calcule o valor de x.

2) Calcule o valor de x nas figuras:
a)

x + 70o + 60o = 180o
x = 180o - 130o
x = 50o

b)

Devemos escolher um dos segmentos apontados na figura para prolongar, a fim de encontrarmos dois triângulos:

A partir dos valores que já temos, vamos achar o valor de x:

Transcrição de vídeo

RKA - Desenhei um triângulo qualquer e determinei as medidas dos ângulos internos. A medida deste ângulo é “x”. Este é “y”. Este é “z”. Quero provar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, que “x + y + z”, é igual a 180 graus. E vou fazer isso usando o nosso conhecimento de retas paralelas ou transversais, e de retas paralelas e ângulos correspondentes. Para fazer isso vou estender cada um desses lados do triângulo que são os segmentos de reta, mas vou estender em retas. Então neste lado aqui, se eu continuar infinitamente na mesma direção, de repente, tem uma reta laranja. E o que eu quero fazer é construir outra reta que é paralela à reta laranja que passa por este vértice do triângulo. Posso fazer isso, posso começar deste ponto e ir à mesma direção desta linha e nunca ter intersecção. Eu não estou chegando mais perto nem ficando mais longe daquela linha, então nunca vai haver intersecção com essa linha. Essas duas linhas são paralelas. Isto é paralelo a isto. Agora vou para os outros dois lados do meu triângulo original para estender as retas. Vou estender essa numa reta fazendo o mais caprichado possível. Vou estender esse numa reta. Dá para ver que é uma transversal dessas duas retas paralelas. Se a gente tem uma transversal de duas retas paralelas, então tem que ter alguns ângulos correspondentes. E podemos ver que este ângulo se forma quando a transversal intercepta com a reta laranja de baixo. Qual é o ângulo correspondente quando a transversal se intercepta com a reta azul de cima? Qual é o ângulo em cima do lado direito da intersecção? O ângulo em cima do lado direito também deve ser “x”. A outra coisa que fica clara é que existe outro ângulo vertical com “x”, outro ângulo que deve ser equivalente. Do lado oposto dessa intersecção você tem este ângulo, esses dois ângulos são opostos, então se tem medida “x” esse também tem que ter medidas “x”. Vamos fazer a mesma coisa com o último lado do triângulo que ainda não estendemos em reta. Vamos pegar esta. É só continuar e se transforma em uma reta. Agora ela se transforma numa transversal das duas retas paralelas igual à reta magenta que eu fiz. E dizemos "opa! olha para esse ângulo "y", esse ângulo é formado pela intersecção da transversal na reta paralela de baixo". E qual é o ângulo correspondente? Bom, esse que está do lado esquerdo da intersecção corresponde a este ângulo onde a reta verde, a transversal verde, intercepta com a reta paralela azul. E qual ângulo está oposto a ele? Este ângulo, então também terá medida “y”. Agora, realmente, estamos chegando ao final da nossa comprovação porque vamos ver que a medida. Temos esse ângulo e esse ângulo. Esse ângulo mede “x” e tem medida “z”, os dois são ângulos adjacentes. Se pegar os dois raios externos que formam o ângulo e pensar sobre este ângulo aqui, qual é a medida deste ângulo grande? É “x + z” e esse ângulo suplementa este aqui e tem medida “y”. A medida de “x”, a medida deste ângulo grande, é x + z, mais a medida deste ângulo magenta que é “y” e devem ser iguais a 180 graus por que esses dois ângulos são suplementares. Então “x”, a medida do ângulo grande, “x + z” mais a medida do ângulo magenta, que é suplementar ao ângulo grande, deve ser igual a 180 graus porque são suplementares. Podemos reorganizar isto se quisermos colocar em ordem alfabética, mas completamos nossa comprovação. A medida dos ângulos internos do triângulo ”x + z + y”, podemos escrever como “x + y + z”. Se o fato de não estar em ordem alfabética estiver incomodando. Podemos escrever como x + y + z = 180 graus. E terminamos!

Por que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180?

Como calcular ângulo de 180?

Qual a soma em graus dos ângulos internos?

Como fazer a soma de ângulos?