Que coeficiente representa o ponto de intersecção da parábola com o eixo y?

As funções de 2º grau são importantes ferramentas para cálculos em diversos campos da física

A parábola é uma cônica, mesma família das circunferências, elipses e hipérboles. Uma parábola é formada pelos pontos que mantêm a mesma distância de um ponto F (foco) e uma reta r (diretriz).

Veja na figura abaixo que, para qualquer ponto da parábola (P, P’ e P’’), a distância até F é igual à distância até r.

• → O ponto F é o foco da parábola
• → A reta r é a diretriz
• → O ponto V é o vértice
• → Passando pelo vértice e pelo foco, perpendicularmente à diretriz, está a reta s, que é o eixo de simetria da parábola

Pontos notáveis da parábola

Normalmente, trabalhamos com as parábolas no plano cartesiano, ou seja, sobre os eixos x e y. No plano, é possível localizar os chamados pontos notáveis da parábola:

• → V é o vértice.
• → Os pontos x1 e x2 são as chamadas raízes da parábola – os pontos nos quais a curva corta o eixo x.
• → O ponto C é a intersecção da parábola com o eixo y.

As equações de uma parábola

Toda parábola é definida por uma função de  2º grau. Esse tipo de função pode ser apresentado de três formas distintas.

1) Forma geral: y = a . x2 + b . x + c

É a forma mais conhecida. Observe nos gráficos a seguir como é possível deduzir uma série de informações sobre a parábola, só analisando a função que a define:

• → As três parábolas têm a concavidade voltada para cima.
• → Em todas as funções, o coeficiente a = 1.  Ou seja, o termo x2 é multiplicado por 1.
• → A parábola azul-escura não tem raiz (a curva  não cruza o eixo x); a azul-clara tem uma única raiz, que coincide com o vértice V;  a rosa tem duas raízes.
• → Nas três funções, o valor do coeficiente c coincide com o ponto em que a curva corta o eixo y

Agora observe os gráficos de outras três parábolas:

• → As três têm a concavidade voltada para baixo.
• → Todas as funções têm o coeficiente a = – 1.
• → A parábola azul-escura não tem raízes, a azul-clara, tem uma única raiz, e a rosa tem duas raízes.
• → Cada uma das parábolas cruza o eixo y no ponto que corresponde ao valor de c na função.

Da comparação entre os dois conjuntos de parábolas, podemos concluir que:

• → O parâmetro a está relacionado à concavidade da parábola:
• → Se a > 0, a concavidade é para cima;
• → Se a < 0, a concavidade é para baixo.
• → O parâmetro c é exatamente o valor da coordenada y do ponto em que a parábola corta o eixo y (no ponto em que x = 0).
• → O número de raízes está relacionado com o número de pontos em que a parábola cruza o eixo x.
• → Quando a concavidade da parábola é voltada para cima, dizemos que o vértice é o ponto de mínimo, ou seja, o vértice é o ponto da parábola no qual a coordenada y tem o menor valor possível. Da mesma maneira, se a parábola tem concavidade para baixo, chamamos o vértice de ponto de máximo – aquele em que a coordenada y atinge o maior valor possível.

2) Forma fatorada: y = a . (x – x1) . (x – x2)

Neste caso, x1 e x2 são as raízes da função – ou seja, os valores de x para os quais y = 0.
É claro que só se pode representar uma parábola com a função na forma fatorada se ela tiver raízes.

Desenvolvendo a forma fatorada:

• y = a . (x – x1) . (x – x2)
• y = a . (x2 – x . x1 – x . x2 + x1 . x2)
• y = a . (x2 – x . (x1 + x2) + x1 . x2)

Vamos considerar que:

• x1 + x2  = S, ou seja, S é a soma das raízes.
• x1 . x2 =  P, ou seja, P é o produto das raízes.

Substituindo S e P na última etapa do desenvolvimento da função acima, temos:

• y = a . (x2 – x . S + P)
• y = a . x2 – a . S . x + a . P

Comparando essa função com a forma geral:

Isso significa que os coeficientes da forma geral têm relação direta com as raízes da função.

3) Forma canônica: y = a . (x – x v )2 + y v

Esta forma descreve a parábola a partir das coordenadas de seu vértice V – ou seja, das coordenadas (xv , yv) – e de mais um ponto.  O parâmetro a, novamente, é a concavidade  da parábola.

A forma canônica é muito útil na solução de problemas em que as coordenadas do vértice  são conhecidas.

Fórmula de Bhaskara

É a fórmula que determina as raízes de uma função de 2º grau, se elas existirem. A fórmula de Bhaskara é utilizada para resolver a equação da parábola na forma geral:

a . x2 + b . x + c = 0

Para isso, basta substituir os coeficientes a, b e c na fórmula:

O radicando de 

= b2 – 4 . a . c

A fórmula ficaria, então:

A equação terá:

• → duas soluções se ∆ > 0
• → uma solução se ∆ = 0
• → ou nenhuma solução se ∆ < 0

As coordenadas do vértice

Quando temos a função de 2º grau em sua forma geral, podemos obter as coordenadas do vértice aproveitando o fato de que toda parábola é simétrica. Observe:

Repare que a coordenada x do vértice V está bem no meio do segmento que une as raízes x1 e x2: xv é o ponto médio desse segmento. Então, o valor da coordenada x do vértice V é a média aritmética das coordenadas x das raízes.

Por Bhaskara, sabemos que as duas raízes são:

Se substituirmos esse valor na forma geral da função de 2º grau, obtermos yv:

CANÔNICA E GERAL

Obtenha a forma geral da função quadrática representada no gráfico abaixo:

Do gráfico obtemos as coordenadas do vértice (V) e do ponto (P)  no qual a curva intersecta o eixo y:     V(-2, 1) e  P(0, 3). Substituindo as coordenadas de V na forma canônica da função, temos:

FORMA FATORADA

As raízes da função f(x) = ax² + bx + c são x1 = 3 e x2 = 5. O vértice da parábola de f(x) tem coordenadas (4,1). Em que ponto o gráfico dessa função cruza o eixo das ordenadas?

• → No ponto em que a parábola de f(x) cruza o eixo y, x = 0;
• → Substituindo x = 0 na forma geral da função, obtemos y = c;
• → O enunciado fornece as duas raízes da função, que podem entrar na forma fatorada da função. Então,

COORDENADAS DO VÉRTICE

Determine as coordenadas do vértice da função quadrática que passa pelos pontos P(0, -2) e Q(3, 4), sabendo que uma de suas raízes é x = – 1.

Primeiro, vamos obter a expressão da forma geral da função. Depois, calcular as coordenadas do vértice a partir dos coeficientes a, b e c.

Repare que conhecemos três pontos da parábola: P (0, -2), Q (3,4) e o ponto correspondente à raiz. Raiz, você se lembra, é o ponto em que a parábola corta o eixo x. E nesse ponto, y sempre vale zero. Então, conhecemos um ponto R (-1, 0).

A forma geral da função de 2º grau é y = ax² + bx + c. Substituindo cada um desses pontos nessa forma geral, ficamos com três equações:

Para o ponto P (0, -2), temos a equação (I):

Para o ponto Q (3,4), temos a equação (II). Aqui já substituímos o valor de c = -2. Veja como fica:

Máximo e mínimo

Nas funções em que a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Com isso, o vértice é o ponto mais alto da curva – ou seja, sua coordenada y é maior que a de qualquer outro ponto da parábola. Nesse caso, o vértice é chamado de ponto de máximo da função.

Já se a função tem a > 0, a parábola tem con- cavidade voltada para cima. O vértice é o ponto mais baixo da curva, e sua coordenada y, a menor de todos os pontos quer a formam. Nesse caso, o vértice é chamado de ponto de mínimo da função.

Os pontos máximos e mínimos das parábolas têm aplicações muito práticas.

PONTO MAXÍMO

Um fazendeiro deseja cercar uma área retangular para fazer um galinheiro. Ele dispõe de 16 metros de alambrado. E um dos lados do galinheiro não precisa da cerca porque é um muro. Qual é a maior área possível desse galinheiro?

A figura abaixo mostra a situação do enunciado:

A área do galinheiro é a área do retângulo: A = x . y Substituindo o valor de y encontrado em (I) na expressão da área, obtemos:
A = x . (16 – 2x) • A = 16x – 2x²

Esta é uma função de 2º grau, com coeficiente a = -2.  O coeficiente é negativo, então a parábola tem concavidade voltada para baixo. E seu vértice será o ponto máximo – o ponto que corresponde à área máxima possível para o retângulo. Calculando o valor de x no vértice:
xV = – b / 2a

Portanto, a área do galinheiro é máxima quando os lados x medem 4 metros.
Com dois lados medindo 4 metros, para cobrir a altu- ra do retângulo o fazendeiro consumirá 8 metros do alambrado disponível. Os restantes 8 metros cobrem o terceiro lado (largura).
Então a área do retângulo é A = 8 . 4 = 32 m2

COMO É CONSTRUÍDO O M DO MCDONALD’S

Os designers gráficos empregam várias figuras geométricas no desenho de logotipos. Observe com atenção o logo da rede de lanchonetes McDonald’s. Repare que as pernas da letra M têm a forma muito parecida com a de duas parábolas:

O M no plano cartesiano:

Trabalhando apenas com metade do logotipo, podemos reconhecer os pontos notáveis da parábola da esquerda: o vértice Ve e as raízes x1 e x2 da função de 2º grau que define a parábola:

• → O vértice tem as coordenadas V (1, 3).
• → O ponto x1 tem como coordenadas (0, 0).
• → O ponto x2  tem como coordenadas (2, 0).

Repare:

• → A  concavidade é voltada para baixo. Isso significa que o coeficiente a deve ser negativo.
• → A parábola corta o eixo y no ponto zero. Então o coeficiente c deve ser nulo.

Podemos, agora, deduzir a função que define cada um dos pontos da figura, por dois caminhos:

1) A partir das coordenadas do vértice (V)

Vamos trabalhar com a forma canônica da função. Para isso, devemos conhecer as coordenadas do vértice e as de mais um ponto da parábola – o ponto x2, por exemplo. Então, temos estes dados:

Então:

2) A partir das raízes

Se conhecemos as raízes de uma função de 2º grau, conseguimos obter a expressão da função em sua forma
geral a partir da forma fatorada. Vamos aplicar essa estratégia para obter a função da parábola da direita do logotipo do McDonald’s:

• → As raízes da função que define essa parábola são:
  
•  O vértice tem como coordenadas Vd (3, 3)

Vamos substituir as raízes na forma fatorada  da função:

Essa é a forma geral da função de 2º grau que tem como gráfico a parábola da direita do logotipo do McDonald’s.

Observe que, assim como na primeira parábola,  o coeficiente a desta segunda parábola também é negativo: sua concavidade é para baixo. E tem o mesmo valor (-3).

Os outros coeficientes (b e c) também influem na localização de cada parábola no plano cartesiano. No caso da parábola da direita, c = -24 significa que, se a parábola fosse prolongada, ela cruzaria o eixo y na coordenada (0, -24).