Quantos são os anagramas da palavra BANANA * A 120 B 60 C 30 D 720?

A pergunta exige conhecimentos prévios em Matemática.

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Devemos nos lembrar que o número de anagramas possíveis de serem formados com uma palavra pode ser calculado pelo fatorial do número de letras dividido pelo produto dos fatoriais do número de repetição de cada letra. No caso, temos que:

  • O total de letras é 6;
  • A letra B tem uma repetição;
  • A letra A tem 3 repetições; e
  • A Letra N tem 2 repetições.

Assim, o número de anagramas que podem ser formado será:


\[\text{Quantidade de anagramas possíveis} = \dfrac{6!}{1! * 3! * 2!} =\]


\[= \dfrac{6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1}{1 * (3 * 2 * 1) * (2 * 1)}\]

\(= \dfrac{720}{12} = 60\).

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Portanto, com a palavra BANANA é possível formar um total de \(\boxed{60 \text{ anagramas}}\) diferentes.

A pergunta exige conhecimentos prévios em Matemática.

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Devemos nos lembrar que o número de anagramas possíveis de serem formados com uma palavra pode ser calculado pelo fatorial do número de letras dividido pelo produto dos fatoriais do número de repetição de cada letra. No caso, temos que:

  • O total de letras é 6;
  • A letra B tem uma repetição;
  • A letra A tem 3 repetições; e
  • A Letra N tem 2 repetições.

Assim, o número de anagramas que podem ser formado será:


\[\text{Quantidade de anagramas possíveis} = \dfrac{6!}{1! * 3! * 2!} =\]


\[= \dfrac{6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1}{1 * (3 * 2 * 1) * (2 * 1)}\]

\(= \dfrac{720}{12} = 60\).

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Portanto, com a palavra BANANA é possível formar um total de \(\boxed{60 \text{ anagramas}}\) diferentes.

1. Em um grupo de estudantes, alguns conseguem se comunicar apenas em espanhol, outros apenas em inglês, e o restante do grupo consegue se comunicar em ambas as línguas.

Sabe-se que:

● 40 alunos podem se comunicar somente em espanhol;

● 40 estudantes homens e 50 estudantes mulheres conseguem se comunicar em espanhol;

● 50 estudantes homens e 60 estudantes mulheres conseguem se comunicar em inglês.

Com base nas informações apresentadas, quantos estudantes conseguem se comunicar somente em inglês?

a) 45

b) 50

c) 55

d) 60

e) 65

2. Se z é um número não real tal que z2 + z + 1 = 0, então o valor numérico da soma  (z + 1/z) + (z3 + 1/z3) é :

a) –2.

b) –1.

c) 0.

d) 1.

e) 2.

3. Seja (a1, a2, a3, ...) uma progressão aritmética de termos positivos.

Se (a1 + a2 + ... + ap)/(a1 + a2 + ... + aq) = p2/q2 com p ≠ q, então a6/a21 é igual a :

a) 11/41

b) 2/7

c) 30/11

d) 7/2

e) 41/11

4. Na figura a seguir, ABCD é uma região quadrada, e M é o ponto médio do lado DC.

Quantos são os anagramas da palavra BANANA * A 120 B 60 C 30 D 720?

A medida do lado do quadrado ABCD em função de α, para que a distância EA seja igual a 2 metros, é :

a) 4tgα/(2 - tgα)

b) 2tgα/(2 - tgα)

c) 3 tg α

d) 4 tg α

e) tg α

5. O número de anagramas da palavra BANANA em que as duas letras N aparecem separadas é :

a) 80.

b) 70.

c) 60.

d) 50.

e) 40.

6. Se a, b, c, d são números positivos tais que a + b + c + d = 2, então                          M = (a + b) · (c + d) satisfaz a relação :

a) 0 < M ≤ 1.

b) 1 < M ≤ 2.

c) 2 < M < 3.

d) 3 ≤ M < 4.

e) 4 ≤ M < 5.

7. Um problema de Matemática é apresentado a três estudantes, Pedro, Mariana e Leo, e as respectivas probabilidades de cada um resolvê-lo são 1/2 , 1/3 e 1/4 . Qual a probabilidade de o problema ser resolvido?

a) 1/2

b) 1/3

c) 2/3

d) 2/5

e) 3/4

8. Sabendo que ƒ: [- π/4, π/4], R é a função definida pelo determinante

                                 2sen x    3cos x    4cos x

                     ƒx) =    2cos x    3sen x    4cos x

                                  2cos x   3cos x    4sen x  

determine o número real α tal que ƒ(α) = 0.

a) −π/4

b) −π/6

c) 0

d) π/6

e) π/4

9. Se A = {(x, y) R2 | x2+ y2= 25} e B = {(x, y) R2 | x2 + 9y2 = 144}, então o número de elementos de A ∩ B é igual a :

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

e) 4.

10. Um grupo de micróbios desenvolve-se tão rapidamente que, a cada hora, o seu volume aumenta em 50%. Quantas horas, aproximadamente, serão necessárias para que o seu volume seja 40 vezes maior que o volume inicial? (Note e adote: log 2 = 0,30103 log 3 = 0,47712)

a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

e) 5

1. Com as informações dadas no enunciado, constrói-se a tabela a seguir

                                            Homens         Mulheres

          Somente espanhol :           a                        b

          Somente inglês :                c                        d

          Espanhol e Inglês :            e                         f

Diante disso:

a + b = 40

a + e = 40 ɛ b + f = 50 → a + b + e + f = 90 → 40 + e + f = 90 → e + f = 50

c + e = 50 ɛ  d + f = 60→c + d + e + f = 110 →c + d + 50 = 110 →c + d = 60

Portanto, a quantidade de alunos que se comunicam somente em

inglês é c + d = 60. (Resposta correta: D)

2. Diante do exposto no enunciado, tem-se: z2 + z + 1 = 0 z2 + 1 = –z

Dividindo ambos os membros por z, obtém-se: z + 1/z = - 1   ɛ

Multiplicando ambos os membros por z, obtém-se: z3 + z2 + z = 0 →

z3 - 1= 0 → z3 = 1 → 1/z3 = 1 → z3 + 1/z3 = 2.  

     Portanto: (z + 1/z) + (z3 + 1/z3) = - 1 + 2 = 1.(Resposta correta: D)

3. Diante do exposto, para p = 6 e q = 21:

 (a1 + a2 + ... + a6)/(a1 + a2 + ... + a21) = 62/212

  [(a1 + a6).6/2]/[(a1 + a21).21/2] = 62/212 →

[(a1 + a6).6]/[(a1 + a21).21]= 62/212 → (a1 + a6)/(a1 + a21)= 6/21 = 2/7

    Sabe-se que a6 = a1 + 5r e a21 = a1 + 20r, em que r é a razão da P.A.

Por substituição, encontra-se: (a1 + a1 + 5r)/(a1 + a1 + 20r) = 2/7

(2a1 + 5r)/(2a1 + 20r) = 2/7 → 14a1 + 35r = 4a1 + 40r  → 10a1 = 5r

     Portanto a6/a21 = (a1 + 5r)/( a1 + 20r) = (a1 + 10a1)/( a1 + 40a1) = 11/41.

     (Resposta correta: A)

     4. Da figura, tem-se:

Quantos são os anagramas da palavra BANANA * A 120 B 60 C 30 D 720?

      ∆EFM → tgα = 2a/(a + 2) → (a + 2).tgα = 2a → atgα + 2tgα = 2a

      Então: 2tg α = 2a – atg α → 2tg α = a(2 – tg α) → a = 2tgα/(2 - tgα)

      Portanto o lado do quadrado é 2a → 4tgα/(2 - tgα)

      (Resposta correta: A)

      5. Número de arranjos da palavra banana: P623 = 6!/2!3! = 60

      Número de arranjos da palavra BANANA com as letras N juntas:

      P53 = 5!/3! = 20

       Portanto, o número de anagramas da palavra BANANA em que as

       letras N aparecem separadas é: 60 – 20 = 40.

       (Resposta correta: E)

      6. De acordo com o enunciado, fazendo x = a + b e y = c + d, segue  

      que x + y = 2 e M = x · y.

       Assim: M = x(2 – x) = –x2 + 2x (parábola com concavidade para  

       baixo). Então, o maior valor de M é dado por: Mmáx = - ∆/4a →

       Mmáx = - [22 – 4.(-1).0]/4.(-1) = -4/(-4) = 1.

       Como a, b, c e d são positivos, é possível concluir que M (0, 1].

       (Resposta correta: A)

   7. De acordo com o texto, tem-se:

   Probabilidade de acerto dos estudantes:

        Pedro = P(E1) = 1/2

        Mariana = P(E2) = 1/3

        Leo = P(E3) = 1/4

   Probabilidade de erro dos estudantes:

        Pedro = P'(E1) = 1 - 1/2 = ½

        Mariana = P'(E2) = 1 - 1/3 = 2/3  

        Leo = P'(E3) = 1 - 1/4 = 3/4  

   Então, a probabilidade de o problema ser resolvido é dada por:

   P(E1 U E2 U E3) = 1 - P'(E1 Ո E2 Ո E3) = 1 - 1/2.2/3.3/4 = 3/4

       (Resposta correta: E)

   8. Do enunciado, tem-se:

                               2sen α    3cos α    4cos α                 2a     3b     4b

                  ƒ(α) =   2cos α    3sen α    4cos α  → f(α) =  2b     3a     4b

                               2cos α    3cos α    4sen α                 2b     3b     4a

                   em que a = sen α e b = cos α. Entao :  f(α) =  2.3.4  b    a    b

                                                                                                    b    b    a

                   f(α) = 24.   b    a    b   

                                b    b    a

        Multiplicando-se a 1a coluna por (–1) e somando-a à 2a e à 3a  

        colunas, encontra-se um determinante equivalente:

                    f(α) = 24   b   (a-b)     0       = 24.(b-a).(b-a).  b   -1   0

                                     b     0       (a-b)                               b    0  -1

    f(α) = 24.(b-a).(b-a).(a+2b). Como ƒ(α) = 0, tem-se:

    b = 0 ou a = –2b tg α = 1 ou tg α = –2.

   Assim: tg α = 1 α= π/4, pois α [− π/4, π/4]  ou

        tg α = –2 não existe, pois α não pertence [− π/4, π/4] 

       9. Diante do exposto, tem-se:

       λ1: x2 + y2 = 25 (x – 0)2 + (y – 0)2 = 52

       Logo, λ1 representa uma circunferência de centro (0, 0) e de raio 5.

      Tem-se ainda que:

       λ2 : x2 + 9y2  = 144 → x2/144 + y2/16 = 1 → (x - 0)2/122 + (y - 0)2/42  = 1

       Logo, λ2 representa uma elipse horizontal de centro (0, 0), com

       medida do eixo menor ou igual a 8 e do eixo maior ou igual a 24.

Quantos são os anagramas da palavra BANANA * A 120 B 60 C 30 D 720?

      Graficamente, é possível concluir que A ∩ B possui quatro elementos.

      (Resposta correta: E)

      10. Do exposto, tem-se:

      V0 = V ; V1 = 1,5 · V ; V2 = (1,5)2 · V ; ... ; Vt = (1,5)t · V

      Desse modo:

      40 · V = (1,5)t · V 40 = (1,5)t t = log 40 / log 1,5

      Então:

      t = (log 22 + log 10)/(log 3 – log 2) → t = 1,60206/0,17609 → t ≈ 9

      (Resposta correta: A)

Quantas letras tem a palavra BANANA?

A palavra B.A.N.A.N.A tem seis letras.

Qual o número de anagramas da palavra BANANA que começam com a?

Iniciados com a letra A, teremos 30 anagramas.

Como calcular anagrama da palavra?

Para saber quantos anagramas é possível formar com uma palavra (sem letras repetidas), devemos fazer a permutação com o número de letras. No caso da palavra "comida", com seis letras, o resultado é 6! (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 720. Assim, é possível construir 720 anagramas com a palavra "comida".

Qual é o número de permutações das letras da palavra BANANA?

Sendo assim, o número de permutações para as letras da palavra BANANA é igual a 60.