Quantas senhas de 4 dígitos diferentes são possíveis utilizando os números de 0 a 9?

A parte da Matemática responsável pelo agrupamento de elementos é denominada Análise Combinatória. Ao realizar agrupamentos de elementos devemos analisar as condições determinadas. Por exemplo, em algumas situações não devem ocorrer a presença de termos repetidos, e em outros casos, essa restrição não é imposta. Esse tipo de agrupamento é resolvido através do princípio multiplicativo, que consiste na multiplicação das possibilidades de cada posicionamento.

Exemplo 1

Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, forme números de 3 algarismos, respeitando as seguintes condições:

a) os números podem ser repetidos

centenas             dezenas                unidades
        5                          5                             5

Podemos utilizar 5 possibilidades na casa das centenas, 5 na casa das dezenas e 5 na casa das unidades.

5 * 5 * 5 = 125 números

b) Números distintos

centenas             dezenas               unidades
        5                         4                             3

Utilizaremos 5 possibilidades na casa das centenas, 4 na casa das dezenas e 3 na casa das unidades.

5 * 4 * 3 = 60 números

Observe que na situação envolvendo números distintos, as possibilidades de posicionamento da casa das centenas, dezenas e unidades foram diferentes. Essa condição anula a possibilidade de ocorrer números iguais, condicionando a multiplicação, a fornecer o resultado de forma exata.

Exemplo 2

Uma senha de 6 dígitos deve ser escolhida com a utilização dos algarismos representantes da base decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A condição estabelecida informa que os números precisam ser distintos, assegurando senhas complexas. Quantas senhas podem ser formadas?

10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 151.200

Podem ser formadas 151.200 senhas.

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Que tal fazer alguns exercícios de arranjo simples para você treinar? Depois de ter visto o que é arranjo simples, chegou a hora de colocar seus conhecimentos em prática. 

Neste artigo, trouxemos 9 exercícios para você fixar tudo o que aprendeu. Mas antes disso, que tal fazer uma breve revisão sobre o assunto?

Recordando sobre arranjo simples

Os arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem em que os elementos estão agrupados, lembra? Por exemplo: a palavra MALA pode se tornar LAMA apenas  mudando a ordem das letras, ou seja, de seus elementos.

Na matemática chamamos os elementos dados de n e os elementos escolhidos de p. 

Vejamos outro exemplo: eu possuo 6 opções de refrigerante para comprar, mas só tenho dinheiro para comprar 3. Neste caso, as 6 opções de refrigerante serão n e os 3 refrigerantes que eu irei escolher serão p. Depois, substituímos os números na fórmula:

A = 120 possibilidades.

Observação: p sempre será menor ou igual ao n. Ele NUNCA será maior, pois como no exemplo dos refrigerantes, seria impossível escolher 7 deles, considerando que há apenas 6 opções de refrigerantes. E o mais importante é que os elementos escolhidos alteram o produto final.

Aproveite para ler: Saiba o que é matriz, seus tipos e como fazer suas operações. 

Além disso, você deve ter percebido que em problemas de análise combinatória surgem com frequência expressões como: 

3! = 3 x 2 x 1 (lê-se três fatorial).

4! = 4 x 3 x 2 x 1 (lê-se quatro fatorial).

Os números fatoriais servem para simplificar a escrita dessas operações, que podem ser enormes e também existem regras determinadas, como por exemplo:

1! = 1

0! = 1

Os números fatoriais podem ainda ser expressos de diferentes maneiras:

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6 → 3! = 3 x 2!

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 → 4! = 4 x 3!

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 → 5! = 5 x 4!

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 → 6! = 6 x 5!

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 → 7! = 7 x 6!

Representando o fatorial em símbolos, pode-se dizer que:

n! = n x (n-1) x (n-2)… x (n-x)

Portanto, podemos concluir que o arranjo simples serve principalmente para avaliar as várias possibilidades quando não se deve haver repetição de opções, sendo possível sua aplicação em muitas situações, inclusive no nosso cotidiano.

Conseguiu relembrar o conceito de arranjo simples? Agora, vamos aos exercícios!

1. Em uma tarde, 6 amigos planejaram apostar uma corrida de kart, decidiram que teriam apenas 3 vencedores. Quantos pódios diferentes podem ocorrer?

Solução:

Existem 6 opções e 3 maneiras de agrupamento, então: 

A = 120 possibilidades diferentes.

2. Hoje é aniversário do namorado de Marta e ela decidiu contratar o serviço “Loucuras de Amor” para comemorar esse dia especial. Porém, ela precisa escolher 3 músicas para serem tocadas. Marta conhece 5 músicas que seu namorado gosta. De quantas maneiras a escolha das músicas podem ser feitas?

Solução:

São 5 opções de música, porém, apenas 3 maneiras de agrupamento, portanto:

A = 60 maneiras diferentes.

3. Daniel e Elisa decidiram que já estava na hora de pintar a casa deles. Estavam com dificuldades em escolher que cores usar, eram tantas… Então, eles reduziram as escolhas, chegando em 10 cores de tintas e queriam escolher 4 delas. De quantas maneiras diferentes a escolha das cores pode ser feita?

Solução:

São 10 opções de cores e 4 formas de agrupamento, sendo assim:

A = 5.040 maneiras diferentes para as cores.

4. Fernando é um cara que gosta de música. Por isso, pensa em seguir carreira de artista, mas antes precisa de experiência. Ele gosta de muitos instrumentos, 7 chamam a sua atenção, porém ele não quer se sobrecarregar. Fernando decide começar com três. Quantas combinações de sons ele pode praticar?

Solução:

São 7 opções de instrumento, porém, apenas 3 formas de agrupamento. Assim:

A = 210 combinações de sons que Fernando poderá praticar.

Leia também: Vamos praticar fazendo alguns exercícios de matrizes?

5. 6 lápis estão dentro de um estojo e eu preciso utilizar 2. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita?

Solução: 

São 6 opções de lápis e 2 maneiras diferentes de agrupamento, então:

A = 30 maneiras de escolha.

6. Quantas senhas de 5 dígitos diferentes são possíveis utilizando os números de 0 a 9?

Solução: 

São 10 opções de números e 5 maneiras diferentes de agrupamento. Sendo assim:

A = 30.240 possibilidades de senha.

7. Em um concurso de talentos 9 candidatos foram selecionados, mas apenas 3 podem ocupar o pódio. Nessa condição, de quantas formas o pódio poderá ser composto?

Solução:

São 9 opções e 3 maneiras distintas de agrupamento, portanto:

A = 504 possibilidades para ocupar o pódio.

8. Uma empresa realizou entrevistas com 20 candidatos, porém, apenas 8 vão ser contratados. Considerando que 3 já tem a vaga garantida, quantas são as possibilidades restantes para ocupar as vagas que sobraram?

Solução:

De 20 candidatos, restaram 17 para serem contratados.

De 8 vagas, restaram apenas 5 para serem ocupadas. 

A = 742.560 possibilidades de seleção.

9. Das afirmações a seguir, quais estão corretas? 

a) I e II

b) II e III

c) Apenas II

d) Apenas III

e) Todas as alternativas

Solução: 

I – Sabe-se que 5! (5 x 4 x 3 x 2 x 1) vale 120, 4! (4 x 3 x 2 x 1) vale 24 e 9! (9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) vale 362.880, então:

120 + 24 = 362.880

144 = 362.880

Com isso conclui-se que a alternativa I é FALSA.

II – Para a divisão de fatoriais, realiza-se o seguinte processo:

50!

48!

Abre-se o 50! até chegar no valor contido no fatorial abaixo:

50 x 49 x 48!

48!

(Cortando 48! com 48!)

50 x 49 = 2.450

2.450 > 500, portanto, a alternativa II também é FALSA.

III – Sabe-se que 2! (2 x 1) vale 2 e 3! (3 x 2 x 1) vale 6, portanto:

2 x 6 = 2 x 6

12 = 12

Então, essa alternativa é VERDADEIRA.

Com isso, a alternativa correta é a D. 

Conseguiu acompanhar os exercícios de arranjo simples? Esperamos que esses exemplos tenham sido suficientes para você fixar o conteúdo. Para você aprofundar em outros temas da Matemática, leia nosso próximo artigo e saiba o que são medidas de tendência central. Ótimo aprendizado! 

Quantas combinações possíveis com 4 dígitos de 0 a 9?

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Quantas combinações de senha existem em uma senha de 4 dígitos?

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