(Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.A) 5B) 7C) 9D) 8E) 11
RESPOSTA: D
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Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.
Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?
(FAAP-SP)
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
(PUC-MG)
Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
(UF-AM)
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2 F + 20 = 50 + 2 F = 52 – 20
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces.
V: vértice A: arestas
F: faces
F = V – 3 F = 10 – 3
F = 7
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um.
Faces: 6 Vértices: 8
Arestas: 12
* F + V = A + 2
* A = V + 6
F + V = V + 6 + 2 F + V – V = 8
F = 8
O poliedro possui 8 faces.
P: pentagonais (5 arestas)
T:
triangulares (3 arestas)
F = 3*P + x*T
A = 4*x
Número de arestas: A = (3*5 + x*3)/2 4x = (15 + 3x) / 2 4x * 2 = 15 + 3x 8x – 3x = 15 5x = 15 x = 15/5
x = 3
O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 + 2 2V = 24 V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
- daymano
- há 10 meses
- Matemática
- 43
o número de faces desse poliedro. 10. Um poliedro convexo com 11 vértices tem o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e 1 face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro. 11. Calcule o número de faces triangulares e quadrangulares de um poliedro convexo (que só tem esses dois tipos de face) com 20 arestas e 10 vértices.
12. Um poliedro convexo de 9 vértices é formado apenas por faces triangulares e quadrangulares. O número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares são números inteiros consecutivos. Determine o número de faces e de arestas.
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Me ajude. Usando a formula de Euler.
V = número de vértices
A = número de arestas
F = número de faces
Dado do enunciado:
A = V + 6
Solução
————
Pela relação de Euler, V – A + F = 2 , obtemos:
V – A + F = 2
V – (V + 6) + F = 2
V – V – 6 + F = 2
F = 2 + 6
F = 8
Resposta: 8 faces
Resolva estes exercícios sobre a relação de Euler, fórmula matemática que envolve o número de faces, arestas e vértices de poliedros convexos.
Questão 1
Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?
a) 16
b) 18
c) 32
d) 34
e) 40
Questão 2
(FAAP – SP/ adaptada) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Qual o número de faces?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Questão 3
Um poliedro convexo com 16 arestas possui o número de faces igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro?
a) 16
b) 14
c) 11
d) 9
e) 7
Questão 4
O número de faces de um poliedro convexo que possui 34 arestas é igual ao número de vértices. Quantas faces possui esse poliedro?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 34
e) 19
Resposta - Questão 1
Para calcular o número de arestas, basta usar a relação de Euler. Observe:
V – A + F = 2
18 – A + 16 = 2
– A = 2 – 18 – 16
A = 16 + 16
A = 32
Gabarito: letra C.
Resposta - Questão 2
Dizer que o número de arestas (A) excede o número de vértices (V) em 6 unidades é o mesmo que escrever:
A = V + 6
Substituindo esse valor de A na relação de Euler, teremos:
V – A + F = 2
V – (V + 6) + F = 2
V – V – 6 + F = 2
F = 2 + 6
F = 8
Gabarito: letra B.
Resposta - Questão 3
Sabendo que F = V, podemos substituir V na relação de Euler para obter:
V – A + F = 2
F – A + F = 2
2F – A = 2
Agora, basta substituir o número de arestas e resolver a equação resultante para encontrar o número de faces.
2F – 16 = 2
2F = 2 + 16
2F = 18
F = 18
2
F = 9
O poliedro possui 9 faces.
Gabarito: letra D.
Resposta - Questão 4
Observe que F = V. Substituindo V na relação de Euler, teremos:
V – A + F = 2
F – A + F = 2
2F – A = 2
Agora basta substituir o número de arestas e descobrir o número de faces:
2F – 34 = 2
2F = 2 + 34
2F = 36
F = 36
2
F = 18
O poliedro possui 18 faces.
Gabarito: letra A.
Resolva estes exercícios sobre a relação de Euler, fórmula matemática que envolve o número de faces, arestas e vértices de poliedros convexos.
Questão 1
Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?
a) 16
b) 18
c) 32
d) 34
e) 40
Questão 2
(FAAP – SP/ adaptada) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Qual o número de faces?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Questão 3
Um poliedro convexo com 16 arestas possui o número de faces igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro?
a) 16
b) 14
c) 11
d) 9
e) 7
Questão 4
O número de faces de um poliedro convexo que possui 34 arestas é igual ao número de vértices. Quantas faces possui esse poliedro?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 34
e) 19
Resposta - Questão 1
Para calcular o número de arestas, basta usar a relação de Euler. Observe:
V – A + F = 2
18 – A + 16 = 2
– A = 2 – 18 – 16
A = 16 + 16
A = 32
Gabarito: letra C.
Resposta - Questão 2
Dizer que o número de arestas (A) excede o número de vértices (V) em 6 unidades é o mesmo que escrever:
A = V + 6
Substituindo esse valor de A na relação de Euler, teremos:
V – A + F = 2
V – (V + 6) + F = 2
V – V – 6 + F = 2
F = 2 + 6
F = 8
Gabarito: letra B.
Resposta - Questão 3
Sabendo que F = V, podemos substituir V na relação de Euler para obter:
V – A + F = 2
F – A + F = 2
2F – A = 2
Agora, basta substituir o número de arestas e resolver a equação resultante para encontrar o número de faces.
2F – 16 = 2
2F = 2 + 16
2F = 18
F = 18
2
F = 9
O poliedro possui 9 faces.
Gabarito: letra D.
Resposta - Questão 4
Observe que F = V. Substituindo V na relação de Euler, teremos:
V – A + F = 2
F – A + F = 2
2F – A = 2
Agora basta substituir o número de arestas e descobrir o número de faces:
2F – 34 = 2
2F = 2 + 34
2F = 36
F = 36
2
F = 18
O poliedro possui 18 faces.
Gabarito: letra A.
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