Qual o número mínimo de pessoas que deve haver em uma sala para que com certeza haja 11 pessoas que façam aniversário no mesmo mês?

Transcrição de vídeo

RKA4JL - Alguém me enviou esse problema aqui e eu vou agora trabalhar nele para a gente resolver. É muito interessante, olha só: eu tenho um grupo de trinta pessoas, quer dizer, trinta pessoas em uma sala. Trinta pessoas. O que eu quero saber aqui é a probabilidade de, pelo menos, pelo menos, duas pessoas terem o mesmo aniversário. Mesmo aniversário. E essa pergunta é uma pergunta engraçada até, bem interessante, porque eu tenho uma sala com trinta pessoas de maneira totalmente aleatória, randômica, escolhidas dessa forma, randômica. E o que eu quero saber é a probabilidade de pelo menos duas pessoas terem esse mesmo aniversário, fazerem aniversário no mesmo dia. Eu posso escrever isso, também, da seguinte maneira: a probabilidade de que alguém compartilhe o aniversário com, pelo menos, outra pessoa. Esse problema aqui parece um pouco complicado, porque eu poderia ter duas, exatamente duas pessoas que fazem aniversário no mesmo dia, ou poderia ter exatamente três pessoas, poderia ter exatamente quatro pessoas, ou vinte e nove pessoas fazendo aniversário no mesmo dia. E tudo isso torna esse problema verdadeiro, sim ou não? Então, será que eu tenho que calcular a probabilidade de cada um desses casos de duas pessoas, três pessoas, quatro pessoas e depois somar tudo? Ora, isso vai ser um pouco complicado de fazer, mas eu posso abordar este problema de uma maneira mais simplificada que isso. Eu posso abordar esse problema de maneira que torne minhas contas mais fáceis de se fazer. Então para começar os nossos cálculos aqui, vou desenhar primeiro o universo possível desses resultados, ou seja, onde vai ter 100% desses resultados. Vai ser isso aqui, vai estar aqui dentro desse retângulo, certo? Então, aqui eu tenho 100% dos resultados. Agora, vamos dizer que essa área aqui, que estou fazendo de maneira randômica, eu não sei se exatamente vai ser esse pedaço todo, mas digamos que isso aqui seja o grupo das pessoas que fazem aniversário no mesmo dia, que compartilham um aniversário. Eu ainda não sei qual é esse tamanho, mas digamos que isso aqui seja esse grupo de pessoas. E aí, se vocês viram que esta parte aqui é das pessoas que compartilham o mesmo aniversário, qual vai ser essa área verde aqui? Ora, se essa parte aqui é a parte em que pelo menos uma pessoa compartilha o aniversário com pelo menos outra pessoa, nesse caso aqui vai ser o oposto. Aqui vou ter o seguinte: ninguém compartilha a mesma data de aniversário. Ou eu poderia dizer, ainda, que as trinta pessoas têm aniversários diferentes. Certo? Poderia dizer isso também de maneira equivalente. Ora, eu vou chamar essa área aqui de "probabilidade das pessoas que compartilham o mesmo aniversário", ou seja, P(C). Pessoas que compartilham o mesmo aniversário. E aí, se essa área aqui é das pessoas que compartilham e tudo isso daqui vale 1, que é 100% dos casos, então você há de convir comigo que essa área aqui vai ser 1, que é a área toda, menos essa área aqui, das pessoas que compartilham o mesmo aniversário, P(C). Ou seja, essa área aqui, que eu coloquei em verde, eu posso chamar de "a probabilidade das pessoas que têm aniversários diferentes". Então vou chamar de P(D). Quer dizer, aqui ninguém compartilha aniversário com ninguém, então posso até escrever dessa maneira aqui, que é melhor que essa daqui, não é? Ou seja, eu posso deduzir daqui que a probabilidade das pessoas que compartilham o mesmo aniversário, mais a probabilidade das pessoas que não compartilham, que têm aniversários diferentes, isso vai ser igual à área total, igual a 1. Sim ou não? As pessoas estão nessa situação aqui ou estão nessa, certo? Eu posso dizer então que, se eu somar essas duas probabilidades aqui, eu vou ter 100%. 100% e 1 equivalem à mesma coisa. E então, eu posso escrever isso aqui da seguinte maneira, olha só: a probabilidade de que alguém compartilhe o mesmo aniversário naquela sala vai ser igual a 100% menos a probabilidade de que todos tenham aniversários diferentes. E a razão pela qual estou fazendo isso, como disse lá no início do vídeo, é que, para calcular a probabilidade de que as pessoas compartilhem o mesmo aniversário, que duas pessoas ou mais compartilhem um mesmo aniversário, é muito mais difícil do que calcular a probabilidade de que ninguém compartilhe o mesmo aniversário. Ou seja, isso daqui é mais fácil para calcular. Eu calculo isso, vou subtrair 100% menos essa probabilidade e terei a resposta, certo? E aí, qual vai ser a probabilidade de ninguém compartilhar o mesmo aniversário? Vamos fazer primeiro para um caso mais simples: se tiver duas pessoas. Ora, se eu tiver duas pessoas, a primeira delas tem 365 dias do ano para nascer, em um total de 365 dias, sim ou não? E a segunda pessoa na sala vai ter 364 dias para nascer, ela não pode nascer na mesma data da pessoa número um, em 365 dias possíveis, certo? E a probabilidade disso acontecer, se eu multiplicar ambas as probabilidades, eu não quero que nenhuma das duas tenha nascido no mesmo dia, aqui vai dar 1 e aqui vai dar, então, o resultado final, 364 sobre 365. Certo? Então dá quase 1 a probabilidade, dá quase 100%. E se eu tivesse três pessoas na sala? Vamos lá. A primeira pessoa poderia ter nascido em qualquer um dos 365 dias do ano, certo? A segunda teria 364 dias para nascer dos outros 365 dias, e aí, a terceira pessoa vai ter 363 dias para nascer, de um total de 365 do ano, certo? Então, qual vai ser a probabilidade aqui, no caso de essas três pessoas, não compartilharem o mesmo aniversário? Multiplico as três probabilidades, isso vai ser 365 vezes 364, vezes 363, tudo isso dividido por 365 elevado ao cubo, sim ou não? Eu vou até reescrever essa daqui de cima, só para você perceber o padrão. Vou multiplicar 365 por 364 e vou dividir por 365². 365². Olha o padrão aqui, está percebendo? E agora, então, se eu estender esse raciocínio para trinta pessoas, como é que eu posso escrever isso? Ora, para trinta pessoas eu vou ter a seguinte situação. Pois bem, isso vai ser igual, seguindo aquele mesmo padrão que a gente percebeu ali em cima, isso vai ser 365 vezes 364, vezes 363, e aí eu vou ter trinta termos aqui em cima, trinta fatores se multiplicando entre si. Ou seja, meu último fator vai ser trezentos e... como vou ter trinta, vai ser 336, certo? E tudo isso vai estar dividido por quanto? Ora, aqui eu tinha três pessoas, elevei ao cubo o 365. Aqui, como eu vou ter 30, vou ter 365 elevado à 30ª potência. E agora, vamos calcular isso aqui. Eu vou fazer uso de uma calculadora, mas antes de fazer o cálculo, eu quero ver se a gente consegue escrever essas expressões aqui: essa expressão como fatorial, essa expressão aqui como fatorial e aí, talvez, eu consiga escrever essa expressão aqui como fatorial, também. Ora, 365 fatorial vai ser igual a quanto? Deixe-me colocar aqui, 365 fatorial. Isso vai ser igual a 365 vezes 364, vezes 363, e daí em diante até chegar no vezes 1. E aí, para eu poder ter apenas 365 vezes 364, eu tenho que me livrar de todos esses números aqui, do 363 até 1. Então, eu poderia dividir tudo isso aqui por quanto? Por 363 vezes 362 e daí em diante até 1. E isso, vê se você concorda comigo, é a mesma coisa que dividir por 363 fatorial, é ou não é? E aí, eu posso reescrever essa expressão aqui como sendo 300... essa parte de cima aqui, 365 fatorial sobre 363 fatorial e tudo isso ainda está dividido por 365². Nesse caso aqui fica até complexo, mas isso vai ajudar bastante quando a gente tiver muitos termos aqui em cima para poder simplificar. No caso das três pessoas aqui, vai ser como? Aqui, no caso, a gente vai ter que isso será igual a 365 fatorial dividido por 362 fatorial e ainda dividido por 365 elevado ao cubo. E outra coisa interessante de perceber é por que eu vou ter, nesse caso aqui, 363 fatorial? Por que vai dar isso? Isso vai ser a mesma coisa que 365 menos 2 fatorial. Faz até sentido, porque a gente quer só dois termos aqui em cima, não é? Então, vou fazer a divisão por 365 menos 2 fatorial. Ao fazer isso, eu tenho apenas os dois números mais altos aqui na multiplicação, certo? Ou seja, posso reescrever aquilo ali como sendo igual a 365 fatorial dividido por 365, menos 2 fatorial. E de maneira similar ao que a gente fez aqui em cima, esse numerador aqui eu posso escrever como sendo 365 fatorial dividido por 365, menos 3 fatorial, porque eu quero três termos aqui em cima, certo? São três pessoas, então três termos aqui em cima. E aqui, realmente, vou ter exatamente essa expressão, 365 fatorial dividido por 362 fatorial. E isso, como a gente já sabe, é igual a 365 vezes 364, vezes 363 e daí em diante até 1. E tudo isso dividido por 362 vezes 361, até 1 também. E aí eu vou cancelar, vou simplificar do 362 em diante, todos os números ali em cima. Aí, eu vou ter apenas 365 vezes 364, vezes 363, o que a gente teve aqui, não é? Então, pela mesma lógica, essa parte aqui inteira dessa conta que a gente está fazendo pode ser escrita como sendo 365 fatorial dividido por 365, menos 30 fatorial. E, na verdade, eu fiz tudo isso apenas para poder facilitar na hora de escrever na calculadora, não é? Vamos usar então a calculadora. Vamos lá. Ligando aqui, vou calcular 365... Então, vamos calcular aqui, vai ser 365 fatorial dividido por 335 fatorial, tudo isso dividido por 365 elevado à 30ª potência. E isso vai ser igual, como a gente pode perceber, a 0,2937, aproximadamente, se eu arredondar. E na forma de porcentagem, isso vai ser aproximadamente 29,37%. E aí, se você está lembrado do que nós estávamos calculando aqui, essa probabilidade é a probabilidade de ninguém compartilhar o mesmo aniversário, ou seja, lá naquele nosso problema, essa aqui era nossa P(D) (deixe-me reescrever aqui embaixo). No caso, P(D) é a probabilidade dos aniversários todos serem diferentes. E isso deu 29,37%. E aí, como a gente viu mais ali em cima, a probabilidade de que duas ou mais pessoas compartilhem o mesmo aniversário, que estou chamando de P(C), isso vai ser igual a 100%, todos os casos possíveis, menos essa probabilidade aqui, P(D), sim ou não? Foi essa a conclusão a que nós chegamos ali em cima, ou seja, isso vai ser igual a 100% menos 29,37%. Ou eu posso, se eu quiser, usar 100% como sendo 1 e usar esse número aqui como sendo 0,2937. Isso vai ser igual a quanto? Ora, vamos à calculadora de novo. Eu vou fazer 1 menos a nossa resposta anterior, isso aqui, não é? Vai ser igual, então, a 0,7063 blá-blá-blá. E, portanto, a conclusão a que nós chegamos é que a probabilidade de que duas ou mais pessoas compartilhem o mesmo aniversário é igual a 0,70163 e assim vai. Isso vai ser aproximadamente igual a 70,6%, não é? Daqui, a gente chega no resultado seguinte: se eu tenho um grupo de trinta pessoas escolhidas de maneira aleatória, a probabilidade de que duas ou mais pessoas compartilhem o mesmo aniversário é bastante alta. Em 70% das vezes, eu vou ter duas ou mais pessoas compartilhando o mesmo aniversário nesse grupo de pessoas. Esse resultado aqui é um resultado bem interessante, não é? Então, é isso. A gente se vê no próximo vídeo!

Quantos alunos devem ter em uma sala de aula de modo que tenhamos certeza de que pelo menos dois deles fazem aniversário no mesmo dia da semana?

Qual o número mínimo de pessoas que devem fazer parte de um grupo para que se possa garantir que existam pelo menos 7 pessoas do grupo nascidas no mesmo mês?

Quantas pessoas devemos ter no mínimo em uma sala de modo que possamos garantir que quatro delas tenham nascido num mesmo mês?

Qual o número mínimo de pessoas em um grupo de modo que possamos garantir que duas delas pelo menos nasceram no mesmo mês?