Qual o campo elétrico gerado por uma carga?

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 43-3.

Qual é o módulo de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50   c m de distância tem um módulo igual a 2,0 N C ?

Passo 1

Substituir na fórmula do campo elétrico:

E = K . q d 2 → 2 N C = 9.10 9 . q 50.10 - 2 2 → q = 2 . 50.10 - 2 2 9.10 9 C = 0,0555 … n C

Resposta

Exercício Resolvido #2

TIPLER, MOSCA, FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS, VOLUME II, 6.ED.

Uma carga puntiforme q 1 = + 8   n C está na origem e uma segunda carga puntiforme q 2 = + 12,0   n C está no eixo x em x = 4,0   m. Determine o campo elétrico no eixo y em y = 3,0   m.

Passo 1

Sejam E → 1 e E → 2 respectivamente os campos gerados por q 1 e q 2.

O campo elétrico total vai ser E → = E → 1 + E → 2 , sendo que E → 1 tem componente apenas no eixo y enquanto E → 2 tem componentes no eixo x e y.

O que a gente tem nesse problema é tipo isso aqui

O módulo do campo elétrico devido a uma carga pontual é

E = k q d 2

Vamos usar essa formulazinha pra calcular o campo elétrico em y = 3   m devido a cada uma das cargas puntiformes.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o módulo do campo elétrico em y = 3,0   m devido à carga q 1

E 1 = k q 1 3 2

E 1 = 7,99   N / C

Pela imagem do enunciado, percebemos que E → 1 tem componentes apenas no eixo y, logo E → 1 x = 0 e E → 1 y = 7,99   N / C.

Agora, vamos calcular o módulo do campo elétrico devido à carga q 2

E 2 = k q 2 5 2

E 2 = 4,32   N / C

Na imagem, vemos que E → 2 tem uma componente negativa no eixo x e uma positiva no eixo y. Elas são dadas por

E → 2 x = - 4,32 × s e n θ = - 3,46   N / C

E → 2 y = 4,32 × cos ⁡ θ = 2,59   N / C

Ah, lembrando que s e n θ = 4 5 e que cos ⁡ θ = 3 5 , por trigonometria.

Passo 3

Agora, podemos finalmente calcular o campo elétrico total E → . Suas componentes em cada eixo vão ser

E → x = E → 1 x + E → 2 x = - 3,46   N / C

E → y = E → 1 y + E → 2 y = 10,6   N / C

O módulo de E → vai ser

E = E x 2 + E y ² = 11,2   N / C

E, finalmente, vamos calcular o ângulo entre E → e o eixo x

∅ = t a n - 1 E y E x = 108 °

Agora já temos o módulo do nosso vetor campo elétrico e o ângulo que ele faz com o eixo x, logo, temos o campo elétrico total em y = 3   m :)

Resposta

Exercício Resolvido #3

UFF-Física II-Lista de Exercícios n°1.

Três cargas de 1,0   n C estão dispostas como mostra a figura. Cada uma das cargas cria um campo elétrico E em um ponto diretamente à frente da carga central e a 3,0   c m da mesma.

a ) Quais são os três campos E 1 , E 2 e E 3 criados, respectivamente, pelas três cargas? Escreva sua resposta para cada um dos campos como um vetor em função das componentes correspondentes.

b ) O campo elétrico satisfaz o princípio da superposição, logo, existe um “campo resultante” neste ponto dado por E r e s = E 1 + E 2 + E 3 . Calcule o valor deste campo.

Passo 1

a )

Para resolver essa questão, vamos adotar o sistema de coordenadas usual:

Lembrando que uma carga genérica q produz um campo igual a:

E → = k . q r 2 r ^

Agora é só analisar os três casos, lembrando que o campo elétrico “sai” das cargas positivas. Vamos para a primeira carga q 1 !

Passo 2

Para a carga q 1 , teremos duas componentes, uma em x, que será positiva, e uma em y, que será negativa, dá uma olhada!

E x → = E 1 . cos ⁡ θ = E 1 . 3 3 2 + 1 2   i ^  

E y → = E 1 . sen ⁡ θ = E 1 . 1 3 2 + 1 2   ( - j ^ )

Para determinar o módulo de E 1 , basta usar a fórmula, se liga!

E = k . q r 2

E 1 = 9 × 10 9 . 1,0 × 10 - 9 3 2 + 1 2 × 10 - 2 2

E 1 = 9,0 × 10 3   N / C

Agora é só substituir e determinar as componentes!

E x → = E 1 . 3 10   i ^ = 9,0 × 10 3 . 3 10   i ^ = 8,54 × 10 3   i ^   N / C

E y → = E 1 . 1 10   - j ^ = 9,0 × 10 3 . 1 10   - j ^ = 2,85 × 10 3   - j ^   N / C

A resultante E 1 → fica:

E 1 → = E x → + E y →

E 1 → = 8,54 × 10 3   i ^   + 2,85 × 10 3   - j ^   N / C

Agora vamos para q 3 !

Passo 3

Para q 3 , é bem mais simples, temos apenas a componente x. Utilizando a fórmula, temos:

E 3 → = k . q r 2   i ^ = 9,0 × 10 9 .   1,0 × 10 - 9 3 × 10 - 2 2   i ^ = 1,0 × 10 4   i ^   N / C

Bora agora pra q 2 , que é bem parecida com q 1 . Simbora acabar com isso!

Passo 4

Para q 2 , temos uma situação bem parecida com q 1 , só que agora, a componente y será positiva. Temos então:

E x → = E 2 . cos ⁡ θ = E 2 . 3 3 2 + 1 2   i ^

E y → = E 2 . sen ⁡ θ = E 2 . 1 3 2 + 1 2   j ^

Vamos primeiro determinar E 2 , depois é só substituir!

E 2 = k . q r 2 = 9,0 × 10 9 .   1,0 × 10 - 9 3 2 + 1 2 × 10 - 2 2 = 9,0 × 10 3   N / C

Substituindo, temos:

E x → = 9,0 × 10 3 . 3 10   i ^ =   8,54 × 10 3   i ^   N / C

E y → = 9,0 × 10 3 . 1 10   j ^ = 2,85 × 10 3   j ^   N / C

A resultante E 2 → fica:

E 2 → = 8,54 × 10 3   i ^ + 2,85 × 10 3   j ^   N / C

Passo 5

b )

Para achar a resultante, basta somar os vetores que achamos no item anterior!

E → r e s = E 1 → + E 2 → + E 3 →

Substituindo, temos:

E → r e s = 8,54 × 10 3   i ^   + 2,85 × 10 3   - j ^ + 1,0 × 10 4   i ^ + 8,54 × 10 3   i ^ + 2,85 × 10 3   j ^  

E → r e s = 2,71 × 10 4   i ^   N / C

Resposta

a )  

E 1 → = 8,54 × 10 3   i ^   + 2,85 × 10 3   - j ^   N / C

E 3 → = 1,0 × 10 4   i ^   N / C

E 2 → = 8,54 × 10 3   i ^ + 2,85 × 10 3   j ^   N / C

b )

E → r e s = 2,71 × 10 4   i ^   N / C

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física III – Eletromagnetismo, 12ª ed. São Paulo, 2010, pp. 34

Duas cargas puntiformes q são colocadas sobre o eixo O x, uma no ponto x = a a outra no ponto x = - a. Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo O x.

Passo 1

Começar desenhando o problema é sempre uma boa:

Beleza. À partir do desenho, podemos perceber que temos três regiões críticas:

1. x < - a
2. - a < x < a
3. x > a

Não podemos tentar calcular o campo “em cima” de uma das cargas pois a distância dela para si mesma seria zero, o que resultaria numa divisão por zero na fórmula do campo. Beleza? Vamos agora calcular para cada um dos casos.

Passo 2

A expressão para o campo de uma carga puntiforme é a seguinte:

E → = k q r 2 r ^

Onde r é a distância do ponto que queremos até a carga. Como as duas cargas são positivas vamos ter dois campos divergentes:

Mas a única linha de campo que nos interessa agora é a que está em cima do eixo x:

- Para - a < x < a:

A contribuição da carga em x = - a é positiva (aponta para o sentido positivo de O x), já a da carga em x = a é negativa. A fórmula é:

E → = k q r 2 r ^

Perceba que um ponto x dentro deste intervalo

Aqui vamos ter os termos referentes à cada uma das cargas, ok? Sendo o termo da esquerda referente à carga da esquerda e o termo da direta a carga da direita. Então substituindo:

E x = k q a + x 2 - k q a - x 2

E x = k q 1 a + x 2 - 1 a - x 2

Desenvolvendo:

E x = k q a - x 2 a + x 2 a - x 2 - a + x 2 a - x 2 a + x 2

E x = k q a - x 2 - a + x 2 a + x 2 a - x 2

E x = k q a 2 - 2 a x + x 2 - ( a 2 + 2 a x + x 2 ) a + x 2 a - x 2  

Cancelando os termos da subtração:

E x = k q - 4 a x a + x 2 a - x 2

Aqui já temos uma resposta bem razoável, mas ainda dá pra simplificar um pouco esse denominador fazendo

a + x 2 a - x 2 = a + x a - x a + x a - x

a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 a 2 - x 2

a + x 2 a - x 2 = a 2 - x 2 2

Aí o campo fica

E x = k q - 4 a x a 2 - x 2 2

Se quiser pode substituir o k = 1 4 π ϵ 0 :

E x = - q π ϵ 0 a x a 2 - x 2 2

Passo 3

- Para x > a, as duas cargas produzem um campo que aponta na direção positiva de x (para direita):

A carga da esquerda está a uma distância ( x + a ) do nosso ponto x enquanto que a carga da direita está a uma distância ( x - a ), assim

E x = k q x + a 2 + k q x - a 2 = k q 1 x + a 2 + 1 x - a 2

E x = k q x - a 2 x + a 2 x - a 2 + x + a 2 x - a 2 x + a 2

Novamente aqui já temos uma resposta válida, mas é sempre bom simplificar o máximo possível para aquele professor chato né? =P

Lembrando que no denominador podemos escrever x + a 2 x - a 2 = x 2 - a 2 2 ! Expandindo os caras de cima

E x = k q x 2 + 2 x a + a 2 + x 2 - 2 x a + a 2 x 2 - a 2 2 = k q 2 x 2 + 2 a 2 x 2 - a 2 2

Substituindo o k, finalmente temos

E x = q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2

Passo 4

- Para x < - a, os campos produzidos pelas duas cargas apontarão para esquerda, ou seja, cada um deles será negativo.

Como x < 0, a distância do nosso ponto x até a carga da esquerda é ( a + x ) (lembrando que x < 0) e da carga da direita é ( a - x ), assim

E x = - k q a - x 2 - k q a + x 2 = - k q 1 a - x 2 + 1 a + x 2

Essa conta no parênteses grande é igualzinha à conta do passo anterior, então vamos ter como resultado

E x = - q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2  

E fim de papo.

Resposta

Para - a < x < a :

E x = - q π ϵ 0 a x a 2 - x 2 2

Para x > a:

E x = q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2

Para x < a :

E x = - q 2 π ϵ 0 x 2 + a 2 x 2 - a 2 2  

Exercício Resolvido #5

UFRJ-Prova Final-2015.1-Múltipla Escolha n°5.

O mostrador de um relógio analógico, circular tem partículas com cargas positivas q, 2 q, 3 q e 4 q nas posições da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e 12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relógio não perturbam o campo eletrostático criado por tais partículas.

A que horas o ponteiro das horas aponta na mesma direção e sentido do campo elétrico no centro do mostrador?

a 3 horas e 30 minutos.

b 4 horas e 30 minutos.

c 8 horas e 30 minutos.

d 10 horas e 30 minutos.

e 1 hora e 30 minutos.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos tentar visualizar as coisas, ok?

Assim, considerando as coordenadas usuais (eixos x y como na figura acima), os campos elétricos gerados por cada carga serão dados por:

E → 1 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - x ^

E → 2 = 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 y ^

E → 3 = 1 4 π ϵ 0 3 q d 2 x ^

E → 4 = 1 4 π ϵ 0 4 q d 2 - y ^

Assim, o campo elétrico resultante será dado por:

E → = E → 1 + E → 2 + E → 3 + E → 4

E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - x ^ + 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 y ^ + 1 4 π ϵ 0 3 q d 2 x ^ + 1 4 π ϵ 0 4 q d 2 - y ^

E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - 1 + 3 x ^ + 2 - 4 y ^

Finalmente:

E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 2 x ^ - 2 y ^

E → = 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 x ^ - y ^

Passo 2

Vamos encontrar primeiro o ângulo que indica a direção do vetor campo elétrico:

t g θ = - 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 1 4 π ϵ 0 2 q d 2 = - 1

Como o c o s   θ > 0, temos que:

θ = 315 °

Graficamente, o campo elétrico resultante vai ter essa cara:

Ok, mas que a horas correspondem 135 °?

O relógio possui 12 marcações, assim, o ângulo entre cada marcação será dado por:

θ = 360 ° 12

θ = 30 °

Logo, fazendo uma regra de 3, teremos:

1   h o r a → 30 °

x   h o r a s → 135 °

Portanto:

x = 135 30 = 4,5   h o r a s

Finalmente, o ângulo de 135 ° corresponde a 4 horas e 30 minutos.

A resposta certa é a letra b .

Resposta

Exercício Resolvido #6

UFRJ- Física 3 - PF 2017.2 - DIURNO – Adaptada.

Quatro partículas carregadas são fixadas sobre os vértices de um quadrado de lado a, como mostrado na figura abaixo. Suas cargas estão indicadas. Qual é o campo eletrostático produzido pelas quatro partículas no centro do quadrado?

Passo 1

Bom, vamos começar a estudar este exercício considerando a figura abaixo, em que identificamos as cargas de mesmo sinal com a mesma cor. Vamos dizer que q > 0, para facilitar a nossa discussão, mas o mesmo valerá para o caso em que q < 0.

Na figura acima, representamos o centro do quadrado pelo ponto P. Este ponto está a uma mesma distância a 2 / 2 de cada uma das cargas. Como q > 0, os campos gerados por essas cargas em laranja sobre o ponto P são de afastamento, como indicam os vetores de mesma cor.

Já as outras cargas - q < 0 (portanto negativas), produzem campos de aproximação (vetores em verde), também representados na figura. Os vetores em verde e laranja possuem mesmo módulo, ou seja, eles têm o mesmo tamanho. Na figura, representamos esses vetores com tamanhos diferentes apenas para facilitar a visualização, ok? Mas não se esqueça, como todas as quatro cargas têm o mesmo módulo e estão nos vértices à mesma distância de P, o tamanho dos vetores é o mesmo!!

Fica claro da figura que, ao somarmos os vetores, no ponto P teremos um campo resultante   <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="8.297ex" height="4.176ex" style="vertical-align:-0.838ex" viewbox="0 -1437.2 3572.3 1798" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> E → R ≠ 0 . Portanto, no centro do quadrado, existe um campo elétrico diferente de zero e nosso próximo passa será calcular explicitamente o seu módulo.</p> </div><h2>Passo 2</h2><div><p>Como todos os módulos dos quatro campos elétricos são iguais no ponto <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.745ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 751.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> P , basta calcularmos o módulo de um deles, projetar na direção y e multiplicar o resultado por 4, Blz??

Por isso, o módulo do campo resultante   E → R no ponto P é dado por

E → R = 4 E → cos ⁡ 45 ˚ = 4 q 4 π ε 0 a 2 2 2 cos ⁡ ( 45 ˚ ) .

Como cos ⁡ 45 ˚ = 2 / 2 , temos que o valor do campo resultante no ponto P é:

E → R = 2 q π ε 0 a 2 .

A direção e sentido do vetor   E → R está indicado na Figura.

Resposta

<defs aria-hidden="true"> <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)" aria-hidden="true"> </g></defs> | E → R | = 2 q π ε 0 a 2   .

Exercício Resolvido #7

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 21.106, pp. 39.

Duas cargas são colocadas como indica a Figura abaixo. O módulo da carga q 1 é 3,0   μ C, porém não conhecemos seu sinal e nem o valor da carga q 2 . O campo elétrico resultante  <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.557ex" height="3.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -1437.2 1100.7 1582.7" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> E → no ponto <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.745ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 751.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> P aponta para o sentido negativo do eixo O y.

1. Dados a direção e o sentido de  E → , determine os sinais das cargas q 1 e q 2 ;
2. Determine o valor do módulo da carga q 2   ;
3. Calcule o módulo do campo elétrico E → .

Passo 1

a) É importante que a gente se lembre de que o campo elétrico produzido por cargas positivas é um campo de afastamento e que campos gerados por cargas negativas são campo de aproximação. Ou seja, o campo produzido pela carga positiva tem um vetor que se afasta da carga, enquanto para a negativa, o campo que ela cria tem um vetor que se aproxima dela.

No caso colocado no exercício, como   E → representa vetor campo elétrico resultante no ponto P devido às cargas q 1 e q 2 , então, essas cargas só podem ser negativas. Se qualquer uma dessas cargas for positiva, ou ambas positivas, a direção e/ou o sentido do campo resultante  <svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.557ex" height="3.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -1437.2 1100.7 1582.7" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> E → será diferente do que está na Figura acima. Portanto, devemos ter que</p> <p><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="17.338ex" height="2.676ex" style="vertical-align:-0.838ex" viewbox="0 -791.3 7464.9 1152.1" role="img" focusable="false" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> q 1 < 0     e     q 2 < 0   ,

como está representado na Figura, com os respectivos campos produzidos no ponto P.

Passo 2

b) Agora, como o campo elétrico resultante   E → tem apenas componente na direção y, podemos escrever, considerando a geometria lá da Figura, para as direções x e y :

x :   E → 1 cos ⁡ θ 1 = E → 2 cos ⁡ ( θ 2 )     ;

y :     E → = E → 1 s e n θ 1 + E → 2 s e n θ 2   .

Uma relação que ajuda a gente bastante aqui vem de notar que, como temos um triângulo retângulo, vale que

θ 1 + θ 2 = π 2   ⇒   θ 1 = π 2 - θ 2   ,

que dá o seguinte

cos ⁡ θ 1 = cos ⁡ π 2 - θ 2 = s e n θ 2   .

Substituindo essa relação trigonométrica que encontramos lá na expressão da direção x, chegamos a

x :     E → 2 = E → 1 tan ⁡ θ 2   .

Dessa expressão, podemos encontrar o valor de | E → 1 |, pois temos os valores da carga q 1 e da distância d 1 dessa carga até o ponto P. Como queremos obter o valor da carga negativa q 2 e o valor de d 2 e θ 2 são conhecidos, podemos expressar | q 2 | como:

E → 2 = | q 2 | 4 π ε 0 d 2 2 = | q 1 | 4 π ε 0 d 1 2 tan ⁡ θ 2 ⇒ | q 2 | = d 2 2 tan ⁡ θ 2 d 1 2 | q 1 |   .

Da Figura, a gente vê que tan ⁡ θ 2 = 5 / 12 . Substituindo esse valor e tomando os valores dados no enunciado, temos

q 2 = - 7,2   μ C   .

Passo 3

c) Substituindo

E → 2 = E → 1 tan ⁡ ( θ 2 )

na expressão que a gente obteve para a direção y, obtemos que | E → | é dado por

E → = E → 1 s e n θ 1 + s e n θ 2 tan ⁡ θ 2     .

Como θ 1 = π 2 - θ 2 , temos que s e n θ 1 = cos ⁡ ( θ 2 ) . Substituindo na expressão acima

E → = E → 1 cos ⁡ θ 2 + s e n 2 θ 2 cos ⁡ θ 2   ⇒ E → = E → 1 cos ⁡ θ 2   .

Colocando os valores dados no exercício, temos

E → ≈ 1,17   ×   10 7 N C     .

Resposta

1. q 1 < 0     e     q 2 < 0   ;  
2. q 2 = - 7,2   μ C   ;
3. E → ≈ 1,17   ×   10 7 N C   .