Qual e a expressão que permite calcular cada um dos termos dessa sequência de movimentos

)1,0607 = 101,3160parte decimal. Observando a tabela, temos 1,3160 = log 20,7. Então, 1,8 ∙ 11,5 = 20,7.Questões e investigações 3. Utilizando a tabela e o que você sabe sobre pro- priedades de potências, encontre um valor apro- 1. Multiplique 1,8 ∙ 11,5 e verifique o resultado ximado para 1,42,7. Em seguida, verifique em uma dado no exemplo. calculadora científica se seu resultado está correto. 2. Utilizando esse método e a tabela acima, calcule 3,5 ∙ 4,4. Função logarítmica Capítulo 16 249 6UNIDADE SEQUÊNCIAS NUMÉRICASCada um dos planetas do cigdem/Shutterstock.comSistema Solar tem um períodode translação em torno do Sol.Assim, por exemplo, Júpiter, omaior planeta desse sistema,a cada 11 anos e 315 diascompleta sua translação emtorno do Sol.Nesta unidade, estudaremosduas sequências importantes:progressão aritmética eprogressão geométrica. Essassequências numéricas estão,muitas vezes, relacionadas apadrões numéricos.Representação das órbitas dos planetas em torno do Sol. Sistema solar. Ilustração sem escalas; cores-fantasia. 251 17CAPÍTULO SEQUÊNCIASFigura 1 Figura 2 Figura 3Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figuras: © DAE Observe atentamente a sequência acima, Utilizando a sequência de triângulos cons-formada por triângulos equiláteros. truídos e observando, por exemplo, a quantida- de de triângulos brancos e pretos, podemos A formação dessa sequência pode ser construir a seguinte tabela:descrita assim: Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Construir um triângulo equilátero. Número de triângulos 0 1 4 13 40 ???? Construir internamente no triângulo construído, a partir de seus pontos mé- brancos dios, um novo triângulo equilátero, eli- Número de minando o triângulo central. triângulos 1 3 9 27 81 ???? Repetir indefinidamente os dois proce- pretos dimentos anteriores para os triângulos restantes. Questões e reflexões É dessa forma que construímos o chama- 1. Qual é a quantidade de triângulos pretos nado triângulo de Sierpinski. Trata-se de uma 6a figura da sequência?figura geométrica obtida por meio de um pro-cesso recursivo. Representa uma das formas 2. Sem construir a figura 7, você poderia infor-elementares da chamada geometria fractal mar a quantidade de triângulos pretos quepor apresentar algumas propriedades interes- ela terá, mantendo-se o mesmo padrão desantes, entre as quais destaca-se a de ser au- construção? Explique.tossemelhante, isto é, por uma de suas partesser idêntica ao todo. Neste capítulo abordaremos aspectos ge- rais a respeito de sequências numéricas.252 Unidade 6 Sequências numéricas Sequências numéricas CALENDÁRIO 2020 Janeiro Fevereiro Março AbrilDom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb 1234 1 1234567 1234 8 9 10 11 12 13 14 5 6 7 8 9 10 11 2345678 15 16 17 18 19 20 21 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 22 23 24 25 26 27 28 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 16 17 18 19 20 21 22 29 30 31 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 23 24 25 26 27 28 29 26 27 28 29 30 Maio Junho Julho AgostoDom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb 12 123456 1234 1 3456789 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 2345678 10 11 12 13 14 15 16 14 15 16 17 18 19 20 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 23 21 22 23 24 25 26 27 19 20 21 22 23 24 25 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28 29 30 28 29 30 26 27 28 29 30 31 23 24 25 26 27 28 29 31 30 31 Setembro Outubro Novembro Dezembro Figuras: © DAEDom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb 12345 123 1234567 12345 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 6 8 9 10 15 16 17 18 19 20 21 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 12 10 13 15 16 17 22 23 24 25 26 27 28 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 18 19 17 20 22 23 24 29 30 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 25 26 24 27 29 30 31 27 28 29 30 31 A ideia de sequência ou sucessão pode um padrão numérico. Se a última Olimpíadaser observada em diversas situações. Assim, ocorreu no ano 2016, a próxima será realiza-por exemplo, em relação ao tempo, pode- da em 2020.mos identificar a sucessão dos meses de umano, a sucessão dos dias de um mês e a dos São exemplos de sequências:dias de uma semana, como no calendário do Os sete dias de uma semana formamano 2020. uma sequência, sendo cada um de- les um de seus termos. Essa sequência Os anos em que são realizadas as Co- pode ser representada por:pas do Mundo de futebol e os anos em que (domingo, segunda-feira, terça-feira,são realizadas as Olimpíadas são também quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira,exemplos curiosos a respeito de sequências. sábado)Tanto as Copas quanto as Olimpíadas sãorealizadas de 4 em 4 anos. Isso representa Sequências Capítulo 17 253 A sequência dos números naturais ímpares Sequência finita: possui infinitos termos e é representada por: Uma sequência finita de n termos é uma fun- ção cujo domínio é {1, 2, 3, ..., n}. Os elementos do (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...) conjunto imagem são indicados por: a1 5 f(1), a25 f(2), a3 5 f(3), ..., an 5 f(n) Sequência infinita Sequência infinita: Uma sequência infinita é uma função cujo A sequência dos dias do mês de fevereiro de domínio é ℕ*. Os elementos do conjunto imagem 2020 possui 29 termos e é representada por: são indicados por: a1 5 f(1), a25 f(2), a3 5 f(3), ..., an 5 f(n), ... (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 28, 29) Observação: Sequência finita Em uma sequência numérica, o contradomínio é o conjunto dos números reais. Veja: Nos exemplos apresentados de sequências hácerta ordem nos elementos, isto é, nos termos. Assim, ‫ޒ *ގ‬se considerarmos a sequência formada pelos nomesdos dias da semana, teremos: 1 a1 2 a21o termo domingo 3 a32o termo segunda-feira 4 a43o termo4o termo terça-feira n an5o termo quarta-feira Figura: © DAE6o termo quinta-feira7o termo sexta-feira …… …… sábado Há uma notação especial para representar os No diagrama está representada uma sequênciatermos de uma sequência. Nela, utilizamos em geral a infinita. Assim, todos os elementos do domínio esta-letra a com um índice numérico. Assim, por exemplo, riam relacionados com algum elemento do contra-ainda sobre a sucessão dos dias da semana, temos: domínio. a1 → domingo Exemplo: a2 → segunda-feira a3 → terça-feira Na sequência formada pelos 10 primeiros nú- a4 → quarta-feira meros inteiros positivos múltiplos de 3, temos: a5 → quinta-feira a6 → sexta-feira (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30) a7 → sábado a1 5 3 a6 5 18 Note que o índice indica a posição do termo na a2 5 6 a7 5 21sequência. Caso queiramos representar uma sequên- a3 5 9 a8 5 24cia qualquer de termos numéricos, escrevemos: a4 5 12 a9 5 27 a5 5 15 a10 5 30 (a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an, ...) Nessa notação, an é o termo genérico de or-dem n − isto é, um termo que ocupa a enésima po-sição −, a1 representa o 1o termo, a2 o 2o termo, eassim por diante.254 Unidade 6 Sequências numéricas Determinação de uma sequência Como conhecemos o primeiro termo, pode- mos obter a partir dele os demais, fazendo: Algumas sequências podem ser definidas pormeio de fórmulas, isto é, por uma lei de formação ou n 5 2 → a2 5 a1 2 2 5 10 2 2 5 8um termo geral. A lei de formação permite obter cadatermo conhecendo-se a posição que ele ocupa na se- n 5 3 → a3 5 a2 2 2 5 8 2 2 5 6quência correspondente. n 5 4 → a4 5 a3 2 2 5 6 2 2 5 4 Exemplo: n 5 5 → a5 5 a4 2 2 5 4 2 2 5 2 Vamos considerar a sequência formada pelosmúltiplos naturais do número 7 na tabela: A1o termo: a1 0 ou 7 ? 0 Portanto, temos a sequência (10, 8, 6, 4, 2, ...).2o termo: a2 7 ou 7 ? 13o termo: a3 14 ou 7 ? 2 Observações:4o termo: a4 21 ou 7 ? 35o termo: a5 28 ou 7 ? 4 1. Nesse exemplo foi utilizada uma maneira di-6o termo: a6 35 ou 7 ? 5 ferente de expressar uma sequência, conhe- cida como fórmula de recorrência. Note que ... ... a fórmula de recorrência, nesse exemplo, é formada por duas regras: a primeira identifican-ésimo termo: an 7 ? (n – 1) o primeiro termo da sequência e a segunda permite calcular cada termo com base no Na última linha dessa tabela está indicado o termo anterior. enésimo termo em função de n, ou seja, o ter- mo geral ou a lei de formação da sequência. 2. Outra maneira de determinar uma sequência Atribuindo-se valores a n, podemos obter os é caracterizando-a por meio de uma proprie- termos dessa sequência: dade de seus termos. Considere o exemplo a seguir. an 5 f(n) 5 7 ? (n 2 1) n 5 1 → a1 5 f(1) 5 7 ? (1 2 1) 5 0 Vamos obter uma sequência conforme a se- n 5 2 → a2 5 f(2) 5 7 ? (2 2 1) 5 7 guinte propriedade: sequência crescente formada n 5 3 → a3 5 f(3) 5 7 ? (3 2 1) 5 14 por números naturais que são primos. A A propriedade dada indica que os termos se- n 5 20 → a20 5 f(20) 5 7 ? (20 2 1) 5 133 rão números primos, isto é, números naturais A que apresentam apenas dois divisores natu- rais (o próprio número e a unidade). Vamos es- Exemplo: crever os 10 primeiros termos dessa sequência:Vamos escrever a sequência numérica definida por: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...) H a1 5 10 Sequência an 5 an 2 1 2 2, para n ∈ ℕ*, n > 2 dos números naturais primos Já na época dos pitagóricos a disposição dos números de acordo com certas regularidades des- pertava a atenção. Sequências muitas vezes intrigan- tes levavam as pessoas a se debruçarem sobre elas, na tentativa de desvendar enigmas e curiosidades. Sequências Capítulo 17 255 Exemplos: 1 1 3 1 5 1 7 5 42 1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 52 1. Os números triangulares 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 5 62 A Vamos considerar a sequência (1, 3, 6, 10, 15,21, ...), dita sequência dos números triangulares devi- Observação:do à forma geométrica que é possível associar a cadaum de seus termos. Outra curiosidade é a relação entre o quadrado de somas de números naturais e a soma de cubos de13 6 10 … números naturais: 15 12 5 13 (1 1 2)2 5 13 1 23 Essa sequência é formada segundo um padrão (1 1 2 1 3)2 5 13 1 23 1 33 (1 1 2 1 3 1 4)2 5 13 1 23 1 33 1 43Hnumérico cuja fórmula de recorrência é dada por: (1 1 2 1 3 1 4 1 5)2 5 13 1 23 1 33 1 43 1 53 a1 5 1 A an 5 an 2 1 1 n, para n ∈ ℕ*, n > 2 A sequência de Fibonacci Questões e reflexões Vamos considerar a sequência formada por nú- 1. Explique com suas palavras como é formada a sequência dos números triangulares. Hmeros naturais, conforme a fórmula de recorrência: a1 5 1 2. Qual é o 6o termo dessa sequência? E o 7o termo? a2 5 1 an 1 2 5 an 1 an 1 1, n ∈ ℕ* 2. Os números quadrados Como conhecemos os dois primeiros ter- Vamos considerar a sequência (1, 4, 9, 16, 25, mos, cada termo, a partir do terceiro, é igual36, ...), dita sequência dos números quadrados (são à soma dos dois termos imediatamente ante-os números naturais quadrados perfeitos) devido à riores. Assim, temos:forma geométrica que é possível associar a cada umde seus termos. a1 5 1 a2 5 1 Figuras: © DAE a3 5 a1 1 a2 5 1 1 1 5 2 a4 5 a2 1 a3 5 1 1 2 5 314 9 16 25 36 a5 5 a3 1 a4 5 2 1 3 5 5 a6 5 a4 1 a5 5 3 1 5 5 8 Há uma curiosidade interessante relacionada a7 5 a5 1 a6 5 5 1 8 5 13aos quadrados perfeitos e aos números ímpares. APodemos obter os quadrados perfeitos por meio dasomas de números ímpares: Questões e reflexões1 5 12 1 . Escreva os três próximos números da sequência de1 1 3 5 22 Fibonacci.1 1 3 1 5 5 32 2 . Pesquise sobre a contribuição de Fibonacci a res- peito do sistema de numeração decimal. Que obra ele escreveu?256 Unidade 6 Sequências numéricas Exercícios resolvidos b) Escreva uma expressão correspondente ao termo 1. Considere que an 5 4n 2 1 é o termo geral de uma geral dessa sequência em função de um número sequência de números reais, com n ∈ ℕ*. natural n diferente de zero. a) Calcule o 3o e o 6o termos dessa sequência. a) Observe que a sequência é formada pelos quadra- dos perfeitos de n, com n ∈ ℕ*. Assim, b) Qual é a posição do termo igual a 43? a6 5 36, a7 5 49, a8 5 64 e a9 5 81. c) Calcule a12 - a5. b) an 5 n2 (n ∈ ℕ*). d) Verifique se 1 257 é termo dessa sequência. 3. Escreva a sequência formada pelos cinco números a) Como os termos dessa sequência satisfazem a rela- primos maiores que 70 e menores que 90. ção an 5 4n 2 1, temos que: A sequência é (71, 73, 79, 83, 89). a3 5 4 ? 3 21 5 11 e a6 5 4 ? 6 2 1 5 23 b) an 5 43 ⇒ 4n 2 1 = 43 ⇒ 4n 5 44 ∴ n = 11 4. Escreva o termo geral da sequência formada por: c) a12 2 a5 5 4 · 12 - 1 2 (4 · 5 – 1) 5 47 - 19 5 28. d) a n 5 1 257 ⇒ 4n 2 1 5 1 257 ⇒ 4n 5 1 258 ⇒ 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ... 4 9 16 25 36 ⇒ n 5 314,5. Como n não é um número natural, 1 257 não é um dos termos dessa sequência. Observe que a sequência pode ser reescrita como: 2. No quadro abaixo, considere alguns termos de uma 1 1 1 , 2 1 1 , 3 1 1 , 4 1 1 , 5 1 1 , 6 1 1 , ..., sequência numérica: 12 22 32 42 52 62 a1 = 1 a2 = 4 a3 = 9 a4 = 16 a5 = 25 n 1 1 , ... n2 a) Quais são os próximos quatro termos dessa se- Assim, an 5 n 1 1 , n ∈ ℕ* . quência? n2Exercício proposto 1. Escreva, em seu caderno, a sucessão dada pelo termo b) Explique como essa sequência é formada. geral an = 3n, com n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. c) Represente no plano cartesiano o gráfico dessa 2. A partir dos termos gerais definidos nos itens abaixo, função. escreva, em seu caderno, os quatro primeiros termos de cada sequência, considerando n ∈ ℕ*. 7. Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por an = 2 ? 3n, considerando que n ∈ ℕ*.a) an 5 2n 1 1 c) an 5 3 ? 2n21b) an 5 3n 2 1 d) an 5 2n2 2 1 8. Obtenha a sequência numérica formada pelos va- lores de f(1); f(2); f(4); f(8); f(16); ..., considerando que 3. Determine o quarto termo da sequência dada por f(x) 5 log2x.an 5 23 1 5n, com n ∈ ℕ*. 1 n 2 1. 9. A figura a seguir representa uma sequência de qua-1 2 4. O termo geral de uma sequência é dado por an 52 drados construídos a partir do menor deles, cuja me-Encontre a posição k do termo ak 5 0,25. dida do lado é 1 cm. Observe que cada quadrado, exceto o menor, tem como medida do lado a diagonal 5. Considere uma função f: ℕ* → ℝ definida por de outro quadrado. Gráfico: ©DAE f(x) 5 4x 2 11. 1 cma) Construa a sequência numérica formada pelos se- guintes valores: f(1); f(2); f(3); f(4); f(5); ...b) Explique como essa sequência é formada.c) Represente no plano cartesiano o gráfico dessa função. 6. Considere uma função f: ℕ* → ℝ definida por f(x) 5 27x 1 1. a) Construa a sequência numérica formada pelos se- guintes valores: f(1); f(2); f(3); f(4); f(5); ... Sequências Capítulo 17 257 a) Escreva os seis termos da sequência formada pelas 12. Elabore um problema similar ao da atividade 10, po- medidas dos lados desses quadrados, do menor rém com um quadrado, como sugere a figura abaixo. para o maior. Figuras: ©DAE b) Construa a sequência correspondente às áreas dos seis quadrados, sabendo que o primeiro ter- mo dessa sequência é a área do quadrado de lado 1 cm. 13. Escreva o termo geral da sequência formada por 1, 1 , 1 , 2 3 10. Considere um triângulo equilátero de lado medindo 1 , 1 , .... L cm. Ligando-se os pontos médios de seus lados, 4 5 obtém-se um novo tri- ângulo equilátero. No- 14. Escreva os quatro primeiros termos da sequência cujo vamente, ligando-se os pontos médios desse termo geral é: último triângulo, chega- H a1 5 8 -se a outro triângulo, e an ? 1 , com n ∈ ℕ* assim sucessivamente, an 1 1 5 2 como sugere a figura ao lado. Escreva a sequência decrescente formada pelas medi- das dos quatro primeiros triângulos equiláteros assim construídos. 11. Para que as figuras ao lado formem uma sequência, quantos cubos devem ser acrescentados para formar a próxima figura? O décimo termo será formado por quantos cubos? Ilustração sem escala; cores- -fantasia. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA sobre o movimento desconcertaram matemá- ticos por séculos. No final, eles reduzem a soma Vamos destacar agora um pouco sobre a de um número infinito de termos positivos a umhistória e o surgimento das sequências e séries, número finito, o qual é a essência da convergên-assim como as contribuições dos matemáticos cia de uma série infinita de números. Vários ma-que estudaram e desenvolveram algumas pro- temáticos contribuíram para o entendimento daspriedades e aplicações de sequências. propriedades de sequências e séries. Zenão de Eléa (490-425 a.C.) escreveu um Zenão não foi o único matemático da An-livro com 40 paradoxos relativos ao contínuo e tiguidade a trabalhar com sequências. Diversosao infinito. Pelo menos quatro dos paradoxos matemáticos da Grecia antiga usaram seu méto-influenciaram o desenvolvimento da Matemáti- do de exaustão (um argumento sequencial) paraca para explicar os fenômenos relevantes. Infe- medir áreas de figuras e regiões. Usando sua téc-lizmente, o livro não sobreviveu até os tempos nica refinada de raciocínio, chamada de “método”,modernos, assim conhecemos estes paradoxosa partir de outras fontes. Os paradoxos de Zenão258 Unidade 6 Sequências numéricas Coleção ParticularArquimedes (287-212 a.C.) alcançou vários resulta- de al-Khwârizmî Leonardo Fibonaccidos importantes envolvendo áreas e volumes de e Abû Kâmil. O (1170?-1240?).figuras e sólidos. Na verdade, ele construiu diversos livro ilustra comexemplos e tentou explicar como somas infinitas profusão e defen-poderiam ter resultados finitos. Entre seus resulta- de com energia ados, consta que a área sob um arco parabólico é notação indo-ará-sempre dois terços da base vezes a altura. Seu tra- bica, muito se deven-balho não foi tão completo ou rigoroso como o da- do a ele pela introduçãoqueles matemáticos que vieram depois e desenvol-veram sequências e séries, como Newton e Leibniz, desses numerais na Europa.mas foi tão impressionante quanto. Embora Arqui-medes tenha sido obstruído pela falta de precisão EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2. ed.e notação eficiente, foi capaz de descobrir muitos Campinas: Ed. da Unicamp, 1997.dos elementos da análise moderna de sequências p. 292-293.e séries. Leonardo Fibonacci descobriu uma se- O próximo contribuinte importante para esta quência de inteiros na qual cada número é igualárea da Matemática foi Fibonacci (1170-1240). à soma dos dois antecessores (1,1,2,3,5,8,...), in- troduzindo-a em termos de modelagem de uma No limiar do século XIII, despontou a figura de população reprodutiva de coelhos. Essa sequên- Leonardo Fibonacci (“Leonardo filho de Bonaccio”, cia tem muitas propriedades curiosas e interes- c. 1175-1250), o matemático mais talentoso da santes, e continua sendo aplicada em várias áreas Idade Média. Também conhecido como Leonardo da Matemática moderna e da ciência. de Pisa (ou Leonardo Pisano), Leonardo nasceu em Pisa, centro comercial importante, onde seu Durante o mesmo período, astrônomos chi- pai era ligado aos negócios mercantis. neses desenvolveram técnicas numéricas para analisar resultados experimentais. Nos séculos XIII Muitas das grandes cidades comerciais italia- e XIV, matemáticos chineses usaram a ideia de di- nas daqueles tempos mantinham entrepostos em ferenças finitas para analisar tendências em seus várias partes do mundo mediterrâneo. Esse foi o dados. Hoje, métodos como os deles são usados caminho que levou Leonardo a receber parte de para entender o comportamento a longo prazo sua educação em Bejaia, norte da África, onde seu e os limites de sequências infinitas. Esse trabalho pai fora desempenhar uma função alfandegária. inicial na Ásia levou a mais investigação e análise de várias progressões e séries, mas teve pouca in- As atividades do pai logo despertaram no fluência sobre os matemáticos europeus. garoto um interesse pela aritmética, que se ca- nalizou, posteriormente, para extensas viagens Fontes: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2. ed. ao Egito, à Sicília, à Grécia e à Síria, onde pôde Campinas: Ed. da Unicamp, 1997. p. 292-293; . Acesso em: 5 fev. 2016. convencido da superioridade prática dos mé- todos indo-arábicos de cálculo, Fibonacci, em QUESTÕES 1202, logo depois de retornar a sua terra natal, publicou sua famosa obra intitulada Liber abaci. De acordo com o texto, responda: Conhecemos esse trabalho através de uma 1. Quais foram os matemáticos citados no texto segunda versão surgida em 1228. O trabalho que estudaram e desenvolveram algumas pro- se ocupa de aritmética e álgebra elementares priedades e aplicações de sequências? e, embora seja em essência uma pesquisa in- dependente, mostra a influência das álgebras 2. Qual descoberta de Leonardo Fibonacci ainda é utilizada nos dias atuais? 3. Quais foram os outros povos que nos séculos XIII e XIV desenvolveram técnicas numéricas? Sequências Capítulo 17 259 18CAPÍTULO PROGRESSÃO ARITMÉTICA O quadro abaixo mostra o planejamento é constante. Representamos a constante pelafeito para o faturamento de uma pequena em- letra r (razão da progressão aritmética)presa nos seis primeiros meses do ano. Nesse r 5 a2 2 a1 5 a3 2 a2 5 a4 2 a3 5 ... 5 an2 an15...planejamento, de um mês para o seguinte,considerou-se sempre um mesmo aumento no São exemplos de progressõesplanejamento. aritméticas (P.A.): Mês Faturamento (10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...) Janeiro R$ 1 440,00 É uma progressão aritmética infinita de ra-Fevereiro R$ 1 520,00 zão r = 5. Temos aqui um exemplo de progres- Março R$ 1 600,00 são aritmética crescente. Abril R$ 1 680,00 Maio R$ 1 760,00 (7Ï·2, 4Ï·2, Ï·2, 22Ï·2, 25Ï·2, 28Ï·2) Junho R$ 1 840,00 É uma progressão aritmética finita de ra- Questões e reflexões zão r = 23Ï·2. Temos aqui um exemplo de pro- gressão aritmética decrescente. Considerando que a previsão de crescimen- to do faturamento se mantenha ao longo (7, 7, 7, 7, 7, ...) dos próximos seis meses, responda: É uma progressão aritmética infinita de ra- Qual é o valor previsto para o faturamento zão r 5 0. Temos aqui um exemplo de progres- no mês de julho? E no mês de agosto? são aritmética constante. Nessa previsão de faturamento é possível (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)observar que a sequência formada pelos nú-meros correspondentes tem uma regularidade: A sequência formada pelos números na-cada termo a partir do segundo é o anterior turais é um exemplo de progressão aritméticaacrescido de uma constante. Esse tipo de se- de razão igual a 1.quência é definido como progressão aritmética. 1ª fila Progressão aritmética é toda sequência numérica na qual cada termo, a partir do se- 2ª fila gundo, é igual ao termo anterior adicionado a uma constante. Essa constante é chamada 3ª fila de razão da progressão. fpm/iStockphoto.com Uma progressão aritmética também podeder conceituada da seguinte maneira: sequên-cia numérica na qual a diferença entre cada ter-mo – a partir do segundo – e o termo anterior260 Unidade 6 Sequências numéricas Questões e reflexões Termo geral de uma 1. A pilha de latas ilustrada na página anterior progressão aritmética foi construída com base em um padrão numérico na quantidade de latas. Qual é Numa progressão aritmética, quando co- esse padrão? nhecemos o primeiro termo e a razão, podemos obter o segundo termo. A partir do segundo, adi- 2. A sequência formada pelos números natu- cionando a razão, chegamos ao terceiro termo. rais pares é uma P.A.? E a sequência formada Tendo o terceiro e acrescentando a razão, obte- pelos números naturais ímpares? mos o quarto termo, e assim sucessivamente. Esse procedimento permite chegar em qualquer ter- De modo geral, representamos uma pro- mo que desejarmos, porém é muito trabalhoso.gressão aritmética por: Há uma relação matemática que permite calcular qualquer termo de uma progressão aritmética co- (a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an, ...) nhecendo-se apenas o primeiro termo e a razão. Observações: Essa relação é chamada fórmula do termo geral da P.A. Vamos obtê-la da seguinte maneira: 1. De acordo com a razão r, podemosclassificar as progressões aritméticas da seguin- a2 5 a1 1 rte maneira: a3 5 a2 1 r 5 a1 1 r 1 r 5 a1 1 2r a4 5 a3 1 r 5 a1 1 2r 1 r 5 a1 1 3r Se r . 0, a progressão aritmética é a5 5 a4 1 r 5 a1 1 3r 1 r 5 a1 1 4r crescente. Aa6 5 a5 1 r 5 a1 1 4r 1 r 5 a1 1 5r Observando que o coeficiente da razão, nos Se r , 0, a progressão aritmética é de- casos particulares acima, é uma unidade inferior crescente. ao índice do termo considerado, podemos dizer que, de modo geral: Se r 5 0, a progressão aritmética é constante. an 5 a1 1 (n 2 1) ? r (fórmula do termo geral) 2. Quando consideramos três termos con- Nessa relação, temos:secutivos em progressão aritmética, o termo domeio é a média aritmética dos outros dois. Essa é an → termo geraluma propriedade que pode ser obtida por meio a1 → primeiro termoda definição de P.A. Considere, por exemplo, a n → número de termos (ou ordem doprogressão aritmética (..., a, b, c, ...). termo) r → razão da progressão aritmética Exemplos: Como um termo menos o seu antece- 1. Vamos obter o 100o termo da progres- são aritmética (27, 23, 1, 5, 9, ...).dente resulta na razão da sequência, Temos o primeiro termo igual a 27 e a ra-temos: zão da P.A. igual a 4. Assim, substituindo n b 2 a 5 c 2 b por 100 na fórmula do termo geral, vem: 2b 5 a 1 c ⇒ b 5 a1c aa110000 5 2a1 711999r9 ? 4 ⇒ a100 5 389 2 5 Progressão aritmética Capítulo 18 261 2. Vamos determinar o número de termos da Soma dos três números:progressão aritmética (25, 30, 35, 40, 45, ..., 285). x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 24 Como conhecemos o primeiro termo, a razão e o último termo, utilizamos a fórmula do ter- 3x 5 24 mo geral para obter a quantidade de termos: x58 an 5 a1 1 (n 2 1) ? r 285 5 25 1 (n 2 1) ? 5 Produto dos três números: 285 5 25 1 5n 2 5 265 5 5n ⇒ n 5 53 (8 2 r) ? 8 ? (8 1 r) 5 440 Portanto, são 53 termos nessa sequência. H64 2 r2 5 55r 5 3 → (5, 8, 11) Observação: r2 5 9 → r 5 23 → (11, 8, 5) Mencionamos anteriormente a propriedade Portanto, os números são 5, 8 e 11.de que, quando temos três termos consecutivos emprogressão aritmética, o termo do meio é a média Funções e progressão aritméticaaritmética dos outros dois termos. Além dessa pro-priedade, temos a seguinte: Há uma relação direta entre uma progressão arit- mética e uma função afim. Para observar melhor essa A soma de dois termos equidistantes dos ex- relação, vamos considerar, por exemplo, a progressão tremos é igual à soma dos termos extremos. aritmética (25, 22, 1, 4, 7, 10, ...). Essa sequência é uma função f de domínio ℕ*, formado pelos índices que Essa propriedade pode ser assim justificada: indicam a ordem de seus termos, como ilustrado no diagrama a seguir. Considere a progressão aritmética finita de ntermos, em que os termos ap e aq sejam equidistantes fdos extremos, ou seja, p 2 1 5 n 2 q: 1 25 (a1, a2, a3, ..., ap, ..., aq, ..., an 2 2, an 2 1, an) 2 22 31 Utilizando a fórmula do termo geral, vamos ex- 44pressar ap e aq: 57 ap 5 a1 1 (p 2 1) ? r … Representando essa função no plano cartesiano, aq 5 a1 1 (q 2 1) ? r …temos um conjunto formado por pontos: Adicionando membro a membro essas igual-dades, vem: Gráficos: © DAEy 8 ap 1 aq 5 a1 1 (p 2 1) ? r 1 a1 1 (q 2 1) ? r 7 ap 1 aq 5 a1 1 a1 1 [(p 2 1) 1 (q 2 1)] ? r 6 ap 1 aq 5 a1 1 a1 1 [p 2 1 1 q 2 1] ? r 5 4 p↓ 2 1 5 n 2 q 3 ap 1 aq 5 a1 1 a1 1 [n 2 q 1 q 2 1] ? r 2 ap 1 aq 5 a1 1 a1 1 (n 2 1) ? r 1 ap 1 aq 5 a1 1 an Exemplo: 282726252423222121 1 2 3 4 5 6 7 8x 22 A soma de três números reais é 24, e o produto 23deles é 440. Vamos determinar esses números. 24 25 Existe um artifício interessante para representar 26 três números desconhecidos em progressão 27 aritmética: (x 2 r, x, x 1 r). Assim, conforme as informações, temos:262 Unidade 6 Sequências numéricas Note que, embora os pontos estejam alinhados, é aquela em que fornecemos os dois termos extremoso gráfico não é uma reta, mas um conjunto de pon- da sequência e desejamos inserir meios entre eles, detos alinhados. Isso se deve ao fato de o domínio ser modo a obter uma progressão aritmética. Temos aíformado por valores de x que pertencem aos naturais um problema de interpolação aritmética.diferentes de zero. Utilizando a fórmula do termo ge-ral da progressão aritmética, podemos obter o termo Interpolar ou inserir k meios aritméticos en-de ordem n em função de n, cuja função é uma fun- tre dois números dados (extremos) é obter umação afim com domínio em ℕ*, isto é: progressão aritmética na qual os dois números da- dos sejam o primeiro e o último termos.(25, 22, 1, 4, 7, 10, ...) Exemplo:an 5 a1 1 (n 2 1) ? r Função Vamos inserir oito meios aritméticos entre 22an 5 25 1 (n 2 1) ? 3 afim com e 133. Para isso, devemos obter a razão da progressãoan 5 3n 2 8 ⇒ an 5 f(n) 5 3n 2 8 domínio aritmética formada por dez termos: em ℕ*.Observação: (22, _, _, _, _, _, _, _, _, 133) Pela fórmula do termo geral, temos: A taxa de crescimento da função afim, com do- an 5 a1 1 (n 2 1) ? rmínio em ℕ*, representa a razão da progressão arit- a10 5 a1 1 9rmética. Assim, quando em algum fenômeno se diz 133 = 2 2 1 9rque o crescimento é em progressão aritmética, sig- 135 5 9r ⇒ r 5 15nifica que esse crescimento é linear (gráfico formado Assim, a progressão aritmética é (22, 13, 28, 43,por pontos alinhados). 58, 73, 88, 103, 118, 133). Exemplo:Exemplo: Vamos considerar que entre duas circunferên- cias concêntricas de diâmetros 1 cm e 13 cm você Vamos considerar a função afim definida no con- tenha de desenhar cinco outras circunferências, dejunto dos reais por f(x) = 24x 1 5 e obter a sequência tal forma que os diâmetros dessas circunferênciasformada por: formem uma progressão aritmética, como sugere o desenho abaixo. (f(1), f(2), f(3), f(4), ...) 1 cm Substituindo x na lei de formação da função por valores em ℕ*, temos: 13 cm f(1) 5 24 ? 1 1 5 5 1 f(2) 5 24 ? 2 1 5 5 23 f(3) 5 24 ? 3 1 5 5 27 f(4) 5 24 ? 4 1 5 5 211 A A sequência obtida é (1, 23, 27, 211, ...), ou seja,uma progressão aritmética de razão 4.Interpolação aritmética Adilson Secco Numa progressão aritmética finita (a1, a2, a3, ..., an),os termos a1 e an são chamados termos extremos, en-quanto todos os demais são chamados meios. Uma si-tuação interessante associada à progressão aritmética Progressão aritmética Capítulo 18 263 Questões e reflexões longo de 6 meses, vamos elaborar uma tabela indi- cando mês a mês sua dívida total. 1. Se os diâmetros estiverem em progressão aritmé- tica, qual será a razão dessa sequência? Como 2% de R$ 2 500,00 é igual a R$ 50,00, temos: 2. Quais são as medidas dos diâmetros? Mês Juros simples DívidaJuro simples 1o 50, 00 2 550,00 Você já ouviu falar em juros simples? Considere, por exemplo, a seguinte situação: 2o 50, 00 2 600,00Marta emprestou a quantia de R$ 2 500,00 de umaamiga. Foi combinado que não haveria pressa em 3o 50, 00 2 650,00quitar a dívida, mas a cada mês sem pagamento se-riam cobrados juros de 2% sobre a quantia empres- 4o 50, 00 2 700,00tada. Supondo que Marta não pague essa dívida ao Nadin3d/Shutterstock.com 5o 50, 00 2 750,00 6o 50, 00 2 800,00 Note que a dívida aumenta em progressão arit- mética de razão 50. Quando os juros são cobrados na modalidade juros simples, o cálculo é feito somente sobre o capital inicial (no nosso exemplo, o dinheiro emprestado). Veremos no próximo volume desta coleção que, além desse tipo de modalidade, existe também a de juros compostos.EXPLORANDO O gráfico de colunas a seguir foi elaborado em uma planilha eletrônica com os dados correspondentes àsituação apresentada anteriormente. 1. Considere a mesma dívida de R$ 2 500,00 ao longo Dívida a juros simples de 6 meses, mas a juros simples de 1,5% ao mês. Elabore uma tabela e também um gráfico de colunas Valores em reais (utilizando uma planilha eletrônica) com os valores, mês a mês, dessa dívida, considerando que não houve 2 850 Gráfico: © DAE pagamentos. 2 800 2 750 2. Agora, elabore uma tabela, mas calculando a dívida 2 700 mês a mês da seguinte maneira: a dívida de um mês 2 650 corresponde à dívida do mês anterior com o acrésci- 2 600 mo de 1,5% sobre o saldo devedor. 2 550 2 500 2 450 1º- mês 2º- mês 3º- mês 4º- mês 5º- mês 6º- mês Meses 2 400264 Unidade 6 Sequências numéricas Exercícios resolvidos sim, 186, 192 e 198 também são múltiplos de 6. Logo, temos a P.A. de razão 6: (72, 78, ..., 192, 198). Sendo a1 1. Considere uma P.A. em que o primeiro termo é 24 e a 5 72, r 5 6 e an 5 198, temos que: razão é 3. an 5 a1 1 (n 2 1) ? r ⇒ 198 5 72 1 (n 2 1) ? 6 ⇒ a) Calcule o valor do 12o termo dessa P.A. ⇒ 198 5 72 1 6n 2 6 ⇒ 132 5 6n ⇒ n 5 22 b) O número 83 ocupa qual posição nessa P.A? a) Com a1 5 24 e r 5 3, temos que: Portanto, existem 22 múltiplos de 6 entre 71 e 200. an 5 a1 1 (n 2 1) ? r ⇒ a12 5 24 1 (12 2 1) ? 3 5 =24 1 33 5 29 4. Interpole 7 meios aritméticos entre 227 e 61 e escreva essa sequência. Portanto, o 12o termo dessa P.A. é 29. Essa P.A. tem nove termos, sendo a1 5 227 e a9 5 61. Assim: b) Sendo an = 83, temos que: an 5 a1 1 (n 2 1) ? r ⇒ 83 5 24 1 (n 2 1) ? 3 ⇒ a9 5 a1 1 (9 2 1) ? r ⇒ 61 5 227 1 8r ⇒ r 5 11 ⇒ 83 5 24 1 3n 2 3 ⇒ 90 5 3n ⇒ n 5 30 Logo, a sequência é (227, 216, 25, 6, 17, 28, 39, 50, 61). Portanto, 83 é o 30o termo dessa P.A. 5. Observe esta sequência: (214, 29, 24, 1, 6, 11, 16, ...). 2. Em uma P.A., o sétimo termo é –21, e o décimo quarto a) Escreva a lei de formação de uma função afim f(n), termo é –42. Determine o primeiro termo dessa P.A. com n ∈ ℕ*, para a sequência dada. Sendo a1, a2, a3 ,... essa P.A., temos que: b) Qual é a taxa de crescimento da função f ? a14 5 a7 1 (14 2 7) ? r ⇒ 242 5 221 1 7 · r ∴ r 5 23 a) Temos que a1 5 214 e r 5 5. Assim: Conhecendo a razão e mais um termo, conseguimos an 5 a1 1 (n 2 1) ? r ⇒ an 5 214 1 (n 2 1) ? 5 ⇒ calcular a1: ⇒ an 5 5n 2 19 a7 5 a1 1 6 ? r ⇒ 221 5 a1 1 6 ? (23) ∴ a1 5 23 Logo, a lei de formação da função é f(n) 5 5n 2 19, n ∈ ℕ* . 3. Quantos números múltiplos de 6 existem entre 71 e 200? Temos que encontrar o primeiro e o último múltiplo b) A taxa de crescimento da função é de 5 unidades. de 6 entre 71 e 200. Observe que 60 é múltiplo de 6 e, assim, 66 e 72 também são múltiplos de 6. Temos também que 180 é múltiplo de 6 (180 5 60 ? 3) e, as-Exercícios propostos 1. Obtenha os cinco primeiros termos de uma P.A., dados: 1 2 4. Qual é a razão da P.A.115, 9 6, 2 , 2 , 4, ... ? Esta P.A. é a) a3 5 6, r 5 2 b) a1 5 6, r 5 21 crescente ou decrescente? c) a5 5 15, r 5 23 5. Os polígonos a seguir estão dispostos de forma a evi- 2. Determine a razão de cada uma das progressões arit- denciar a progressão aritmética do número de lados. méticas; em seguida, classifique-as como crescente, Quantos lados terá o próximo polígono? decrescente ou constante. Figura: © DAE a) (3; 6; 9; 12; 15; ...)b) (2100; 290; 280; 270; ...)c) (24; 20; 16; 12; 8; ...)d) (x; x 1 3; x 1 6; x 1 9; x 1 12; ...) 6. Ao atrasarmos o pagamento de impostos, a multa é cobrada em relação ao número de dias atrasados. Sobre11 2e) ;1; 3 ; 1; 5 certo imposto incide multa de 12 reais no primeiro dia e,4 2 4 4 nos dias subsequentes, o valor cobrado no dia anterior acrescido de 5 reais. Assim, no primeiro dia a multa éf ) (Ïw2; Ï2w; Ï2w; Ïw2; ...) de 12 reais; no segundo dia, 17 reais; e no terceiro dia, 22 reais. De quanto será a multa no décimo dia? 3. Determine o valor de a para que (2a, 3a 2 1, 5a 1 1) seja uma P.A. decrescente. Progressão aritmética Capítulo 18 265 7. Elabore: 18. Em uma P.A. com 18 termos, o primeiro é 220 e o último é 48. Determine o décimo termo. a) uma sequência numérica que não seja progressão aritmética. 19. Em um retângulo de perímetro igual a 14 cm, as me- didas dos lados e da diagonal formam, nessa ordem, b) uma sequência numérica que seja uma progres- uma progressão aritmética. são aritmética crescente formada por cinco ter- mos, de tal maneira que a soma dos termos seja a) Determine a medida dos lados e da diagonal des- igual a zero. se retângulo. c) um problema que relacione progressão aritmética b) Obtenha a razão dessa progressão aritmética. com medidas dos ângulos internos de um polígo- no convexo. 20. Um estacionamento cobra, para veículos de passeio, 8. Considere que uma sequência numérica tem o termo R$ 4,50 pela primeira hora. A partir da segunda hora, ∈ cujo valor é R$ 3,50, até a oitava hora, cujo valor égeral dado por an = (n 1 1)² 2 (n 2 1)², para todo n R$ 1,10, os preços caem em progressão aritmética.ℕ*. Responda: Quanto pagará uma pessoa que deixar seu carro es-a) Essa sequência é uma progressão aritmética? tacionado por um período de 6 horas?b) Qual é o maior número com dois algarismos que é 21. Em um desfile comemorativo de Sete de setembro foi um termo dessa sequência? organizado um grupo de motoqueiros, dispostos em 6 filas, de modo a formar um triângulo. Na primeira filac) Todos os múltiplos naturais de 2 são termos dessa havia apenas uma moto, na segunda fila duas motos, e sequência? assim por diante, constituindo uma progressão aritmé- tica. Qual é o número total de motos que participaramd) Essa sequência admite 988 como um de seus ter- do desfile? mos? 9. Escreva os dez primeiros termos de uma P.A. cujo termo 22. Um atleta corre 20 km na primeira hora de prova. Nas geral é an 5 13 2 3n e n ∈ ℕ*. demais horas, seu ritmo segue em progressão aritmé- tica de razão 24 km. Nesse ritmo, em quantas horas 10. Se o termo geral de uma P.A. é an 5 2n 1 1, com n ù 1, ele completará os 56 km da prova? qual é o 15o termo? 11. Considere a P.A. (100, 93, 86,...). Qual é a posição do 23. Interpole sete meios aritméticos entre 1 e 25. termo de valor 23? 24. Os lados de um triângulo retângulo têm suas medidas 12. Se em uma P.A. de razão r 5 8 o 17o termo é 79, calcule (em cm) em progressão aritmética de razão r 5 3, o primeiro termo dessa progressão. conforme a figura a seguir. 13. Numa P.A., a6 1 a8 5 54. Calcule a7. a) Determine o va- xϪr xϩr 14. Determine o número de termos da P.A. (4; 7; 10; ...; 136). lor de x. x 15. Na P.A. de razão r 5 27, com a1 5 100, o termo 37 b) Obtenha as me- ocupa qual posição? didas dos lados desse triângulo. 16. Em uma P.A., temos a6 5 42 e a9 5 33. Determine a 25. Elabore um problema que relacione uma função afim razão dessa P.A. e a1. com progressão aritmética. 17. Dos números compreendidos entre 100 e 1 000, quan- 26. Elabore um problema que relacione juros simples com tos são múltiplos de 6? progressão aritmética. Soma dos termos os números de 1 a 100. Quase que imediatamente Carl colocou sua lousa sobre a escrivaninha do Leia o texto a seguir. irritado professor. Quando as lousas foram final- Carl foi uma das mais notáveis crianças prodí- mente viradas, o professor surpreso verificou que Carl tinha sido o único a acertar a resposta correta, gio, dessas que aparecem de raro em raro. Diz-se 5 050, mas sem fazê-la acompanhar de nenhum que com a idade de três anos detectou um erro cálculo. Carl havia mentalmente calculado a soma aritmético no borrador de seu pai. Há uma história da progressão aritmética 1 1 2 1 3 1 ... 1 98 1 segundo a qual o professor de Carl na escola pública, 1 99 1 100, observando que 100 1 1 5 101, 99 1 quando ele tinha dez anos de idade, teria passado 1 2 5 101, 98 1 3 5 101, e assim por diante, com à classe, para mantê-la ocupada, a tarefa de somar266 Unidade 6 Sequências numéricas os cinquenta pares possíveis dessa maneira, sendo A soma dos n primeiros termos de umaa soma portanto 50 ? 101 5 5 050. Mais tarde, progressão aritmética finita pode ser calculadaquando adulto, Gausscostumava jactar-se de The Pushkin State Museum a1 1 anter aprendido a contar of Fine Arts, Moscou 2antes de aprender a falar. [ ]pela relação: Sn 5 ? n, em que n é o número de termos, sae1qéuoênpcriima. eiro termo, e an é o último termo dessa Exemplos: 1. Vamos calcular a soma dos 100 primeiros nú- meros naturais ímpares. Carl Friedrich A sequência é formada pelos seguintes núme- Gauss (1777-1855) ros: (1, 3, 5, ..., a100). Assim, precisamos calcular inicialmente o centésimo termo: Eves, Howard. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 519. an 5 a1 1 (n 2 1) ? r a100 5 a1 1 99r Carl, no texto, é o primeiro nome de Carl Friedrich a100 5 1 1 99 ? 2 ⇒ a100 5 199Gauss, personagem marcante pelas contribuições Substituindo na fórmula da soma:dadas à Matemática e à Física. O procedimento uti-lizado por Carl, conforme o texto, para o cálculo da a1 1 ansoma dos números naturais de 1 a 100 pode ser utili- 2zado para explicar como obter a soma dos termos de 1 2 Sn 5 ?nqualquer progressão aritmética, pois representa umapropriedade vista anteriormente: a1 1 a100 2 1 2 Sn 5 ? 100Em qualquer progressão aritmética finita, os 1 1 199termos equidistantes dos extremos têm a mesma 2soma que a dos termos extremos. 1 2 S100 5 ? 100 ⇒ S100 5 10 000 Utilizando essa propriedade, vamos agora con- 2. Considere que a soma dos n termossiderar a soma dos n primeiros termos de uma pro- de uma progressão aritmética seja dada porgressão aritmética finita e obter uma fórmula para o Sn 5 n2 1 4n. Vamos obter, de duas maneiras diferen-cálculo dessa soma: tes, o 10o termo dessa sequência. Escrevemos a soma dos n termos de duas Primeiro modo: calculamos o primeiro termo, a maneiras diferentes: razão e, depois, o 10o termo: Sn 5 a1 1 a2 1 a3 1 ... 1 an 2 2 1 an 2 1 1 an (I) n 5 1 → S1 5 12 1 4 ? 1 Sn 5 an 1 an 2 1 1 an 2 2 1 ... 1 a3 1 a2 1 a1 (II) a1 5 5 Adicionando membro a membro (I) e (II), vem: n 5 2 → S2 5 22 1 4 ? 2 2 ? Sn 5 (a1 1 an) 1 (a2 1 an 2 1) 1 (a3 1 an 2 2) 1 a1 1 a2 5 12 1 ... 1 (an 2 2 1 a3) 1 (an 2 1 1 a2) 1 (an 1 a1) 5 1 a2 5 12 ⇒ a2 5 7 Considerando que as adições entre parênteses r 5 a2 2 a1 5 7 25 5 2 a10 5 a1 1 9r têm a mesma soma dos extremos, escrevemos: a10 5 5 1 9 ? 2 ⇒ a10 5 23 2 ? Sn 5 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 ... 1 Segundo modo: o 10o termo é igual à soma 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) 1 (a1 1 an) dos 10 primeiros termos menos a soma dos 9 primeiros termos: n pares à direita da igualdade, a10 5 S10 2 S9 a10 5 (102 1 4 ? 10) 2 (92 1 4 ? 9)2 ? Sn 5 (a1 1 an) ? n a10 5 140 2 117 ⇒ a10 5 23Sn 51 2 a11 an ?n 2 Progressão aritmética Capítulo 18 267 Exercícios resolvidos 1. Calcule a soma dos termos da P.A. (223; 219; ...; 121). Por inspeção, verificamos que o primeiro e o último múltiplo de 3 no intervalo considerado são, respecti-Sendo r a razão da P.A., temos que: vamente, 1 002 e 1 998.223 1 r 5 219 ⇒ r 5 4 Assim, a P.A. é (1 002; 1 005; ...; 1 998)Sendo an 5 121, temos que: Sendo an 5 1 998, temos que:an 5 a1 1 (n 2 1) ? r ⇒ 121 5 223 1 (n 2 1) ⋅ 4 ⇒ an 5 a1 1 (n 2 1) ? r ⇒ 1 998 5 1 002 1 (n 2 1) ? 3 ⇒⇒ 4n = 148 ⇒ n 5 37 3n ⇒ 5 999 ⇒ n 5 333Logo, Logo,Sn 5 (a1 1a n)n ⇒ S37 5 (223 1 121)37 5 1 813 (a1 1 a n)n (1 002 1 1 998)333 2 2 2 2 Sn 5 ⇒ S333 5 ⇒Portanto, a soma dos termos da P.A. (223; 219; ...; 121) é ⇒ S333 = 499 5001 813. 2. Determine a soma dos múltiplos de 3 que estão entre Portanto, a soma dos múltiplos de 3 que estão entre 1 000 e 2 000. 1 000 e 2 000 é 499 500.Exercícios propostos em cada termo são acrescentadas duas bolinhas. Ao Adilson Secco chegarmos ao 13o termo, qual será o total de bolinhas 1. Qual é o número de termos que deve ter a P.A. (212; utilizadas em toda a sequência? 29; 26; 23; ...) para que a soma de todos os termos seja igual a zero? 1º- termo 2. Considere a P.A. (4, 9, 14, 19,...). Calcule a soma dos trinta 2º- termo primeiros termos. 10. Várias agendas, com 2,5 cm de espessura cada uma, 3. A soma dos 30 primeiros termos de uma P.A. é igual a serão empilhadas sobre uma prateleira, dispostas 1 440, e a10 5 26. Obtenha essa sequência. da seguinte forma: na primeira pilha será colocada uma agenda e, nas seguintes, acrescenta-se uma 4. Em uma P.A., a soma dos termos é igual a 480; a razão, agenda a cada nova pilha. Qual deverá ser a altu- r 5 2; e o primeiro termo é 5. Determine an. ra, em centímetros, da soma das nove primeiras pilhas? 5. O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 24 cm. As medidas dos lados desse triângulo estão em P.A. Se 11. Calcule o valor de k na equação a seguir, considerando a hipotenusa mede 10 cm, quais são as medidas dos que o primeiro membro é uma P.A. catetos? 27 1 21 1 15 1 ... 1 k 5 2600. 6. Considere a soma de todos os números ímpares 12. Elabore dois problemas relacionados à progressão aritmé- positivos formados por dois algarismos. Se dessa tica, conforme sugestão a seguir. soma subtrairmos a soma de todos os números pares a) Primeiro problema: relacionando as medidas positivos também formados por dois algarismos, que dos ângulos internos de um quadrilátero com resultado obteremos? uma progressão aritmética. b) Segundo problema: observando uma situação em 7. A letra grega o (lê-se: sigma) é usada para indicar o so- que a soma dos 9 primeiros termos de uma pro- 10 gressão aritmética seja igual a zero. matório de uma sequência. A expressão o 3i representa o somatório dos termos de uma sequênic=ia1, os quais são obtidos multiplicando 3 por i, com i variando de 1 até 10. a) Escreva os termos dessa sequência. b) Qual será o resultado obtido ao somarmos todos os termos dessa sequência? 8. As medidas, em graus, dos ângulos internos de um triângulo formam uma progressão aritmética. Se o menor desses ângulos mede 40o, qual deverá ser a medida dos outros dois ângulos? 9. Distribuindo-se bolinhas conforme mostra a figura a seguir, formamos uma sequência, de modo que268 Unidade 6 Sequências numéricas PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 19CAPÍTULO No capítulo anterior, apresentamos uma Organizando essas informações em umasituação em que Marta fez um empréstimo de tabela, temos:R$ 2 500,00, na modalidade juros simples. E sefossem cobrados dela juros sobre juros, isto é, Mês Juros simples Dívidajuros compostos? 1o 50,00 2 550,00 Vamos retomar a tabela em que o cálculo foifeito, considerando sempre juros fixos de R$ 50,00, 2o 51,00 2 601,00para depois considerarmos juros compostos. 3o 52,02 2 653,02Mês Juros simples Dívida 4o 53,06 2 706,081o 50,00 2 550, 00 5o 54,12 2 760,202o 50,00 2 600,00 6o 55,20 2 815,403o 50,00 2 650,00 Observando as duas tabelas anteriores, po- demos dizer que a dívida cresce em progressão4o 50,00 2 700,00 aritmética quando a modalidade é juros simples.5o 50,00 2 750,00 E na modalidade juros compostos, como é o crescimento?6o 50,00 2 800,00 Questões e reflexões ... ... ... Utilize uma calculadora, se necessário, e procure discutir com os colegas as respostas Considerando que queremos agora calcular para as questões a seguir.os juros sempre sobre o saldo devedor, mês a mês,vamos calcular o juro de 2%, isto é: 1. De quantos por cento é o aumento da dívida, mês a mês, na modalidade juros 1o mês: 2 500 1 0,02 ? 2 500 5 compostos? 5 2 500 1 50 5 2 550 2. Dividindo o valor da dívida em um mês 2o mês: 2 550 1 0,02 ? 2 550 5 pelo valor da dívida no mês imediatamente 5 2 550 1 51 5 2 601 anterior, qual é o resultado obtido? 3o mês: 2 601 1 0,02 ? 2 601 5 Nosso objetivo aqui não é o estudo de Ma- 5 2 601 1 52,02 5 2 653,02 temática financeira, pois faremos isso no próximo livro. Entretanto, já é possível diferenciar juros sim- 4o mês: 2 653,02 1 0,02 ? 2 653,02 5 ples de juros compostos. Uma forma é dizer que o 5 2 653,02 1 53,06 5 2 706,08 saldo devedor (ou credor, conforme o caso), tam- bém chamado montante, cresce em progressão 5o mês: 2 706,08 1 0,02 ? 2 706,08 5 aritmética quando a modalidade é juros simples. 5 2 706,08 1 54,12 5 2 760,20 Já quando a modalidade é juros compostos, o sal- do cresce em progressão geométrica. 6o mês: 2 760,20 1 0,02 ? 2 760,20 5 5 2 760,20 1 55,20 5 2 815,40 Progressão geométrica Capítulo 19 269 Progressão geométrica é toda sequência 2. Quando consideramos três termos consecu-numérica de termos não nulos, na qual cada tivos em progressão geométrica, o termo do meiotermo, a partir do segundo, é igual ao termo é, em módulo, a média geométrica dos outros dois.anterior multiplicado por uma constante. Essa é uma propriedade que pode ser obtida a partirEssa constante é chamada de razão da da definição de P.G. Considere, por exemplo, a pro-progressão. gressão geométrica (..., a, b, c, ...). Outra maneira de conceituar uma progressão Como um termo dividido pelo seu anteceden-geométrica (representada também por P.G.) é a se- te resulta na razão da sequência, temos:guinte: sequência de números na qual o quociente bcentre cada termo, a partir do segundo, e o termo an- a5bterior é constante. Representamos a constante pelaletra q (razão da progressão geométrica). b2 5 a ? c (a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an, ...) Ï·b2 5 Ï·a ? c q5 a2 5 a3 5 a4 5 ... 5 an 5 ... ↓ a1 a2 a3 an 2 1 Ï·x2 5 |x| Exemplo: |b| 5 Ï·a ? c São exemplos de progressão geométrica (P.G.): T ermo geral de uma (10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, ...) progressão geométrica É uma progressão geométrica infinita de Numa progressão geométrica, assim como emrazão 2 (q 5 2). Note que essa P.G. é crescente. progressão aritmética, quando conhecemos o pri- meiro termo e a razão, podemos obter o segundo (7Ï·2, 14, 14Ï·2, 28, 28Ï·2) termo. A partir do segundo, multiplicando-o pela razão, chegamos ao terceiro termo. Tendo o tercei- É uma progressão geométrica finita de ro, multiplicando-o também pela razão, obtemosrazão Ï·2 (q 5 Ï·2). Aqui temos uma P.G. crescente. o quarto termo, e assim sucessivamente. Imagine agora que queiramos determinar o centésimo termo (8, 8, 8, 8, 8, 8, ...) da P.G. (1, 23, 9, 227, 81; ...). Claro que podemos ob- ter o centésimo termo por construção, um a um. Po- É uma progressão geométrica infinita de razão rém, esse processo será muito trabalhoso. Há uma re- lação matemática que permite obter qualquer termo1 (q 5 1). Nesse exemplo, a P.G. é dita constante ou da P.G. conhecendo-se apenas o primeiro termo e aestacionária. Essa sequência é simultaneamente razão. Essa relação é chamada de fórmula do termo geral da P.G. Vamos obtê-la:uma progressão geométrica e uma progressão arit- a2 5 a1 ? qmética (r 5 0). a3 5 a2 ? q 5 (a1 ? q) ? q 5 a1 ? q2 a4 5 a3 ? q 5 (a1 ? q2) ? q 5 a1 ? q3 1 2 4, 2, 1, 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 a5 5 a4 ? q 5 (a1 ? q3) ? q 5 a1 ? q4 É uma progressão geométrica infinita de razão Aq1 2151 . Nesse exemplo, a P.G. é dita decrescente. Observando que o expoente da razão, nos casos 2 particulares acima, é uma unidade inferior ao índice do2 termo considerado, podemos dizer que, de modo geral: (24, 8, 216, 32, 264, 128, ...) É uma progressão geométrica infinita de razão22 (q 5 22). Nesse exemplo, a P.G. é dita oscilante. Observações: 1. Quanto ao crescimento de uma progressãogeométrica, portanto, temos as seguintes possibili-dades: crescente, decrescente, estacionária (constan-te) ou oscilante.270 Unidade 6 Sequências numéricas an 5 a1 ? qn 2 1 (fórmula do termo geral) Assim, existem duas possibilidades para a razão da progressão: 2 ou 22. Nessa relação, temos: an → termo geral Juros compostos a1 → primeiro termo n → número de termos (ou ordem do termo) vinnstock/Shutterstock.com q → razão da progressão geométrica No começo do capítulo abordamos os juros Exemplo: compostos. Na situação apresentada, construímos a tabela a seguir, referente aos juros de 2% cobrados so- Vamos determinar o 10o termo da progressão bre um valor de R$ 2 500,00:geométrica (21, 2, 24, ...). Mês Juros simples Dívida Como a razão da P.G. é igual a 22, o 10o termo é: a10 5 a1 ? q9 1o 50,00 2 550,00 a10 5 (21) ? (22)9 a10 5 (21) ? (2512) ⇒ a10 5 512Interpolação geométrica Numaprogressãogeométricafinita(a1,a2,a3,...,an),os termos a1 e an são chamados termos extremos, en-quanto todos os demais são chamados meios. Assim,como ocorre com a progressão aritmética, tambémpodemos considerar uma situação em que fornece-mos os dois termos extremos da sequência e deseja-mos inserir entre eles meios, de modo a obter umaprogressão geométrica. Temos aí um problema deinterpolação geométrica.Interpolar ou inserir k meios geométricos entre 2o 51,00 2 601,00dois números dados (extremos) é obter umaprogressão geométrica na qual os dois númerosdados sejam o primeiro e o último termos.Exemplo:Vamos inserir cinco meios geométricos entre 3 3o 52,02 2 653,02e 192. Para isso, devemos obter a razão da progressãogeométrica formada por sete termos: (3, –, –, –, –, –, 192) 4o 53,06 2 706,08 Pela fórmula do termo geral, temos: an 5 a1 ? qn21 5o 54,12 2 760,20 a7 5 a1 ? q6 192 5 3 ? q6{ 64 5 ? q6 q52 6o 55,20 2 815,40 q 5 6 Ï6 w64 ⇒ q 522 Progressão geométrica Capítulo 19 271 A sequência formada pelos montantes (última Questões e reflexõescoluna) é uma progressão geométrica de razão 1,02.Note que cada termo é 102% do termo anterior, ou Utilize uma calculadora para responder à seguinteseja, 2% a mais que o anterior: questão: Aumentar mensalmente um valor em 2% é o mesmo Começando com o valor R$ 2 500,00, a dívida que aumentar qual percentual em 1 ano? nos meses seguintes, com o acréscimo de 2% na modalidade de juros compostos, é: OBSERVAÇÃO: Multiplicar um número por 1,02 equivale a aumentar esse a1 5 2500 ? 1,02 número em 2%. a2 5 2500 ? 1,02 ? 1,02 5 2500 ? 1,022 a3 5 2500 ? 1,02 ? 1,02 ? 1,02 5 2500 ? 1,023 AExercícios resolvidos 1. Numa P.G., o quarto termo é 224, e o sétimo termo é 2192. Determine o segundo termo dessa P.G. Sendo a4 5 224 e a7 5 2192, podemos escrever a7 como: a7 5 a4 ? q724 ⇒ a7 5 a4 ? q3 Assim: a7 5 a4 ? q3 ⇒ 2192 5224 ? q3 ⇒ q3 5 8 ⇒ q 52 Logo: a4 5 a2 ? q422 ⇒ a4 5 a2 ? q2 ⇒ 224 5 a2 ? 22 ⇒ ⇒ a2 5 26 Portanto, o segundo termo dessa P.G. é igual a 26. 2. Considere a sequência (2; x; 27). Determine o valor de x para que essa sequência seja uma progressão geométrica. Temos que:x 5 27 ⇒ x²5 54 ⇒ x5 ±3Ï6w2 xAssim, a progressão geométrica pode ser(2; 3Ï6w; 27) de. razão 3Ïw6 ou (2; 23Ï6w; 27) de razão 22 3Ï6w . 2 3. O produto de três termos em P.G. é 1 728, e a soma desses três termos é 42. Sabendo que é uma P.G. crescente, escreva os três termos dessa P.G.1Sendo x o termo central e q a razão dessa progressão, podemos escrevê-la como x , x, xq . Assim, qxq ? x ? xq 5 1 728 ⇒ x3 5 1 728 ⇒ x 512.Como a soma desses termos é 42, temos que: 12 1 12 1 12q 5 42 ⇒ 12 1 12q 1 12q25 42q ⇒ q⇒ 2q2 2 5q 1 2 5 0 ⇒ q 5 2 ou q 5 1 (Não 2convêm, pois a progressão é crescente.)Portanto, a P.G. é (6; 12; 24).272 Unidade 6 Sequências numéricas Exercícios propostos 7. Elabore uma progressão geométrica decrescente em que todos os seus termos sejam números reais 1. A sequência (6, 212, 24, 248, 96, 2192) é uma P.G. de negativos. seis termos. Qual é a razão q? 8. Invente um problema com quatro números não intei- 2. De acordo com a sequência, cada quadrado tem como ros formando uma progressão geométrica. medida do lado o dobro da medida do lado do quadrado anterior, e o lado do primeiro quadrado mede 1 cm. 9. Em uma P.G. finita, de razão q 5 1 , o primeiro termo 2 é 512. Determine o 7o termo dessa P.G. … 10. Para que os números 2x; 6x 2 4; 5x 1 6 formem, nessa ordem, uma P.G., qual deverá ser o valor de x?a) A sequência das medidas dos lados forma uma P.G. O que podemos dizer em relação à sequência dos 11. Escreva uma progressão geométrica: perímetros dos quadrados? a) de quatro termos, em que a1 523 e q 5 2. b) de cinco termos, em que a1 5 100 e q 5 0,5.b) C omo podemos representar o termo geral da se- c) de quatro termos, em que a15 1023 e q 5 10². quência das medidas dos lados dos quadrados? 12. Numa progressão geométrica decrescente, o 4o termoc) C omo podemos representar o termo geral da se- é igual a 64, e o 9o termo é 2. Então: quência dos perímetros? a) obtenha a razão dessa progressão geométrica.d) E screva os oito primeiros termos de cada sequência. b) determine o primeiro termo. c) calcule o sétimo termo. 3. Classifique cada P.G. como crescente, decrescente, constante ou oscilante e, em seguida, determine sua 13. Em cada progressão geométrica a seguir, determine o razão: termo geral an: a) (7; 49; ...) a) (3, 6, 12, 24, 48, ...) b) (1; 4; ...) c) (10; 5; ...)b) (–100, –50, –25, ...) d) (Ï3·; 3; ...)c) (5, –10, 20, –40, 80, ...) 14. Considere que o termo geral de uma progressão geo­d) (3, 3, 3, 3, 3, ...) métrica seja dado por an 5 22 ? 3n 2 1, sendo n um número natural maior que zero. Assim, responda:e) (5, 15, 45, 135, ...) a) Qual é o primeiro termo dessa sequência? b) Qual é o valor da razão dessa progressão geo-f ) (900, 450, 225, ...) métrica? c) Qual é o quinto termo dessa sequência? 4. Se x 5 3 ou x 5 1 , a sequência (5, 2x 1 4, 6x 1 2) 2 15. Escreva os seis primeiros termos de uma P.G., sabendo que a2 1 a3 5 4 e a5 1 a6 5 108.formará uma P.G. Classifique as progressões nos dois 16. Assim como em progressões aritméticas, em progres-casos. sões geométricas também existem problemas de interpolação. Entre 4 e 4 096 devem ser inseridos 9 5. Os termos de uma P.G. são x, y, z, nessa ordem. Temos meios geométricos. Determine: x ? y ? z 5 64 e x 1 y 1 z 526. Determine os valores a) a razão dessa progressão geométrica. de x, y e z. b) os termos inseridos. 6. Verifique se é progressão geométrica a sequência cujo termo geral é: a) an 5 2 ? 3n , para n ∈ ℕ*. b) an 5 2 1 3n, para n ∈ ℕ*. c) an 5 3 ? n², para n ∈ ℕ*. Progressão geométrica Capítulo 19 273 Funções e progressão geométrica Exemplo: Há uma relação direta entre uma progressão Vamos considerar a função exponencial defini-geométrica e uma função exponencial. Para obser-var melhor essa relação, vamos considerar, por exem- 1 2da no conjunto dos reais por f(x) 5 1 x, e obter aplo, a progressão geométrica (1, 2, 4, 8, 16, ...). Essasequência é uma função f de domínio ℕ* formada 5pelos índices que indicam a ordem de seus termos, sequência formada por (f(1), f(2), f(3), f(4), ...)como ilustrado no diagrama a seguir. Substituindo x na lei de formação da função f por valores em ℕ*, temos: 11 1 2f(1) 5 1 1 1 22 5 34 55 48 5 16 1 2f(2) 5 1 2 1 5 25 5 1 2f(3) 5 1 3 1 5 125 5 1 2f(4) 5 1 4 5 1 5 625 A… 1 2A sequência obtida é 1 , 1 , 1215, 1 , ... , ou … 5 25 625 Representando essa função no plano cartesia- seja, uma progressão geométrica de razão 1 .no, temos um conjunto formado por pontos: 5 Observações: y 1. Uma função exponencial“transforma”valores 8 reais de x que estão em progressão aritmética em va- 7 6 lores, na mesma ordem, em progressão geométrica: 5 4 (x1, x2, x3, ...) → P.A. (razão r) 3 2 f(x) = ax → f(x1) = ax1 1 f(x2) = ax2 = ax1 1 r = ax1 ? ar x f(x3) = ax3 = ax1 1 2r = ax1 ?a2r = ax1 ?(ar)2282726252423222121 1 2 3 4 5 6 7 8 A 22 (f(x1), f(x2), f(x3), ...) → P.G. ( razão q 5 ar) Note que esses pontos estão posicionados de 2. Uma função logarítmica “transforma” valoresacordo com uma curva exponencial. Utilizando afórmula do termo geral da progressão geométrica, reais positivos de x que estão em progressão geomé-podemos obter o termo de ordem n em função den, e essa função é do tipo exponencial com domínio trica em valores, na mesma ordem, em progressãoem ∈ ℕ*, isto é: aritmética: (x1, x2, x3, ...) → P.G. (razão q)(1, 2, 4, 8, 16, ...) f(x1) 5 logax1an 5 a1 ? qn 2 1 f(x2) 5 logax2 5 loga (x1 ? q) 5 5 logax1 1 logaqan 5 1 ? 2n 2 1 f(x) = loga x → f(x3) 5 logax3 5 loga (x1 ? q2) 5an 5 2n ⇒ an 5 f(n) 5 1 ? 2n Função 5 logax1 1 2logaq 2 2 exponencial A com domínio em ℕ*. (f(x1), f(x2), f(x3), ...) → P.A. ( razão r 5 loga q)274 Unidade 6 Sequências numéricas Exemplos: Como as diferenças são iguais, temos que (log a, log b, log c) forma uma progressão 1. Vamos mostrar que se os números positivos aritmética.(a, b, c) estão em progressão geométrica, nessa or-dem, os seus logaritmos decimais formam na mesma 2. Seja a progressão geométrica (1, 4, 16, 64,ordem uma progressão aritmética. 256, ...) e a função real definida por f(x) 5 log2 x. Va- mos determinar as imagens dessa sequência segun- Conforme definição de progressão geométri- do a função dada, ou seja: ca, podemos escrever: f(1) 5 log2 1 5 0 (a, b, c) P.G. f(4) 5 log2 4 5 2 f(16) 5 log2 16 5 4 b 5 c f(64) 5 log2 64 5 6 a b f(256) 5 log2 256 5 8 A Aplicando logaritmo decimal aos dois mem- bros e observando a propriedade operatória Considerando as imagens nessa ordem, temos do logaritmo do quociente, vem: uma progressão aritmética de razão igual a 2.1 2 1 2 logb c a 5 log b log b 2 log a 5 log c 2 log bExercícios resolvidos 1. Um galpão foi alugado por um período de 5 anos. A taxa de reajuste anual é de 10%. Sabendo que o valor inicial do aluguel é de R$ 1 000,00, determine: a) uma função A(x) que relacione o valor do aluguel com o ano x, sendo x 51 para o valor do primeiro ano do aluguel.b) o valor do aluguel no quinto ano.Os valores do aluguel formam uma P.G. de razão 1,1: (1 000; 1 100; ...)a) Pela relação de termo geral da P.G., temos que: an 5 a1 ? qn 2 1 ⇒ an 5 1 000 ?1,1n 2 1 Assim, a função é A(x) 5 1 000 ? 1,1x 2 1.b) A(5) 5 1 000 ? 1,15 2 1 5 1 000 ? 1,14 5 1 461,1Portanto, o valor do aluguel no quinto ano será R$ 1 461,10. 2. A produção de camisetas em uma fábrica cresce a uma taxa de 20% a cada ano. Se no ano 2000 a produção dessa fábrica era de 3 000 camisetas, determine:a) u ma função T(c) que forneça o tempo de acordo com a quantidade de camisetas produzidas naquele ano. Considere T 5 0 para o ano 2000.b) o ano em que foram produzidas 5 184 camisetas.a) A quantidade de camisetas produzidas a partir do ano 2000 forma uma P.G. de razão 1,2: (3 000; 3 600; ...).Sendo c a quantidade de camisetas fabricadas no ano T, temos que: c 5 3 000 ? 1,2T ⇒ c 5 1,2T 3 000Aplicando a definição de logaritmos, temos que: 1 2c c 3 0003 0005 1,2T ⇒ log1,2 5T1 2Portanto, a função é T(c) 5 log1,2c 3 0001 2b) Queremos saber T(5 184). Assim, T(5 184) 5 log1,25 184 5 log1,21,728 3 000Sendo log1,21,728 5 k, temos pela definição de logaritmos que: 1,2k 5 1,728. Por inspeção, chegamos a k 5 3.Portanto, a fábrica produziu 5 184 camisetas no ano de 2003. Progressão geométrica Capítulo 19 275 Exercícios propostos 1. A produção de uma indústria de autopeças, nos três 8. Considere a sequência (1; 3; 9; 27; ...) e a função loga- primeiros meses do ano, forma uma P.G. Se a produ- rítmica definida por f(x) 5log3x. Obtenha a sequência ção, em janeiro, foi de 150 mil peças e, em março, de formada pelos valores de (f(1); f(3); f(9); f(27); ...). Em 181 500 peças, qual foi a produção referente ao mês seguida, responda: de fevereiro? a) Qual é o 8o termo da sequência (1; 3; 9; 27; ...)? 2 Uma empresa que estampa camisetas produziu um total de 400 camisetas no mês de março. Produzindo a metade b) Qual é o 8o termo da sequência (f(1); f(3); f(9); f(27); ...)? do mês anterior a mais, a cada mês, qual é o primeiro mês em que a produção ultrapassará 2 000 camisetas? 9. Uma população de bactérias é atualmente dada 3. Na tabela a seguir, apresentamos a produção de uma por A0 (chamada população inicial). Sabe-se que o empresa ao longo de alguns anos: crescimento dessa população é de 10% no intervalo de 1 minuto. Indique a população de bactérias em função da população inicial após o intervalo:Ano Produção (em unidades) a) de 1 minuto. c) de 3 minutos.2007 15 0002008 18 000 b) de 2 minutos. d) de n minutos.2009 21 6002010 25 920 10. Responda:2011 31 104 a) Multiplicar um número por 1,10 significa aumentar esse número em quanto por cento? b) Multiplicar um número por 0,90 significa diminuir esse número em quanto por cento?a) Q ual é o percentual de aumento da produção de 11. A quantia de R$ 80 000,00 foi aplicada numa instituição 2007 a 2008? E de 2008 a 2009? E de 2009 a 2010? financeira à taxa fixa de 9% ao ano na modalidade de E de 2010 a 2011? juros compostos.b) Q ual é a razão entre as unidades produzidas em a) Com o auxílio da calculadora, determine os mon- 2008 e 2007, nessa ordem? E entre 2009 e 2008? E tantes dessa aplicação após cada um dos cinco entre 2010 e 2009? E entre 2011 e 2010? primeiros anos.c) A sequência formada pelas unidades produzidas, b) A sequência formada pelos montantes, do primei- na ordem apresentada na tabela, é uma progressão ro ao quinto ano de aplicação, é uma progressão geométrica? Qual é a razão? geométrica? Qual é a razão? 4. Para transportar sua mudança, Luís contratou uma 12. Considere a função real definida por f(x) 5 200 ? (1,03)x21. Determine a sequência formada pelos valores de f(1); empresa especializada em desmontar móveis. Ela co- f(2); f(3); ... a) Essa sequência é progressão aritmética ou geo- bra seus serviços da seguinte forma: uma taxa fixa de métrica? b) Qual é a razão? R$ 250,00 e um valor por hora de trabalho. A primeira hora custa R$ 120,00, e as demais, 80% da hora anterior. 13. Em uma pesquisa em um município, chegou-se à Quanto ele pagará pelo serviço se a empresa levar 4 conclusão de que a cesta básica de alimentos diminuiu de preço aproximadamente 0,5% ao mês durante os horas para executá-lo? seis primeiros meses do ano. Considerando que esse preço era, inicialmente, igual a R$ 250,00, determine: 5. Suponha que um alpinista, ao escalar uma montanha, suba 100 metros na primeira hora de escalada. Depois a) o valor da cesta básica nos seis primeiros meses disso, a cada hora, ele consegue apenas a metade do daquele ano. que escalou na hora anterior. Quanto tempo ele levará para completar um total de 187,5 metros? b) s e a sequência formada por esses valores é uma pro- gressão geométrica ou aritmética e qual é a razão. 6. Suponha que o preço de um automóvel se desvalorize,em média, 5% ao ano nos seus três primeiros anos deuso. Se esse automóvel, novo, custou R$ 50 000,00,determine seu preço após: c) 3 anos de uso. 14. Seja a função logarítmica definida por f(x) 5 log x e a sequência (101; 103; 105; 107; 109; ...).a) 1 ano de uso. a) Essa sequência é uma progressão aritmética oub) 2 anos de uso. geométrica? Qual é a razão? 7. Considere a sequência (1; 3; 5; 7; ...) e a função expo- b) Determine os termos da sequência (f(101); f(103); nencial definida por f(x) 5 2x. Obtenha a sequência formada pelos valores de (f(1); f(3); f(5); f(7); ...). Em f(105); f(107); f(109); ...). seguida, responda: c) A sequência obtida no item b é uma progressãoa) Qual é o 10o termo da sequência (1; 3; 5; 7; ...)? aritmética ou geométrica? Qual é a razão?b) Qual é o 10o termo da sequência (f(1); f(3); f(5); f(7); ...)?276 Unidade 6 Sequências numéricas Soma dos termos do estar não apenas dando o que este lhe soli- Kristina Kostova/Dreamstime.com citara, como também muito mais grãos de trigo. Agora vamos conhecer uma lenda muito curio- O sábio insistiu que desejava exatamente a quan-sa a respeito da criação do jogo de xadrez. tidade que havia solicitado, nem um grão a mais nem a menos. Conta-se que um rajá da Índia antiga esta-va muito entediado com os jogos que havia em Novamente o rajá estranhou tal solicitação,seu reino. Observava que, em todos eles, acabava mas a alegria era tanta pelo novo jogo que re-prevalecendo a sorte, e não a inteligência do jo- solveu chamar alguém versado na arte de contargador. Queria um jogo novo, que, acima de tudo, e calcular. Incumbiu o calculista de obter exata-enaltecesse a perícia e a habilidade do jogador. Foi mente a quantidade de grãos de trigo solicitadaentão que solicitou a um sábio de sua corte que in- pelo sábio.ventasse um jogo que tivesse como característicaprincipal a valorização de qualidades mais nobres Após inúmeros cálculos, o rajá foi informadoque a sorte. que a quantidade solicitada pelo sábio era extrema- mente absurda. A conclusão era de que nem todo Algum tempo depois, o sábio se apresentou o trigo produzido na Índia ou no mundo seria sufi-ao rajá dizendo que havia inventado um jogo con- ciente. O calculista chegou à seguinte quantidade:forme o soberano tinha solicitado. Tratava-se de 18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo.um tabuleiro diferente, todo quadriculado, forma-do por 64 quadrados de mesmo tamanho e por Sem saber o que fazer, o rajá chamou à suapeças diferentes: bispos (inicialmente eram car- presença o sábio criador do jogo de xadrez. O sábioros indianos), cavalos, torres (inicialmente eram disse ao soberano que já sabia do resultado e tam-elefantes), peões (inicialmente eram os soldados bém da impossibilidade de juntar aquela quanti-indianos), um rei e uma rainha. O tema escolhido dade de grãos. Além disso, informou ao rajá que apara o jogo era a guerra, pois, para o sábio, con- quantidade daria para cobrir toda a superfície daforme este explicou ao soberano, era exatamente Índia com uma camada bem espessa. Tratava-se,ali que mais pesava a sabedoria, entre tantas ou- apenas, de uma brincadeira com os números, poistras habilidades. essa era uma de suas paixões. O rajá, logo após a apresentação do jogo Texto elaborado pelo autorpelo sábio, ficou encantado. A admiração foi tantaque disse ao sábio para escolher o que quisesse A curiosidade dessa lenda é numérica: acomo recompensa. O sábio, entretanto, recusava quantidade de grãos de trigo que foi solicitada équalquer prêmio, pois não existia para ele maior astronômica. Mas como podemos chegar a essarecompensa do que ter criado o jogo. Mas a in- quantidade?sistência do rajá fez com que o sábio acabasseconcordando e fazendo uma solicitação estranhís- Inicialmente, observe que a sequência for-sima: “Como recompensa, desejo 1 grão de trigo mada pelas quantidades nas casas do tabuleiropara a primeira casa do tabuleiro, 2 grãos de trigo é uma progressão geométrica de 64 termos e depara a segunda casa, 4 grãos de trigo para a tercei- razão 2:ra casa, 8 grãos de trigo para a quarta casa, e assimpor diante, até a última casa do tabuleiro”. O rajá considerou que tal pedido era muitomodesto e até tentou persuadir o sábio, orientan-do-o a pedir recompensa mais valiosa. Contudo, osábio insistiu no pedido dizendo que não desejavanada mais do que aquilo. Intrigado, o rajá ordenouque dessem um saco de trigo para o sábio, julgan- Progressão geométrica Capítulo 19 277 Casa do Quantidade Termo da PG A soma dos n termos de uma progressãotabuleiro de grãos geométrica finita com razão diferente de 1 5 20 a1 5 20 1a a2 5 21 1 (q ≠ 1) é: 2 5 21 a3 5 22 an q2 a1 2a a4 5 23 Sn 5 ? 21 4 5 22 a5 5 24 q 3a A soma dos n termos de uma progressão 8 5 23 ... geométrica finita de razão igual a 1 (q 5 1) e 4a 16 5 24 primeiro termo a1 é: 5a Sn 5 n ? a1 ... ... Observação: No caso de a razão da progressão geométrica ser diferente de 1, podemos também obter a soma de seus n termos conhecendo-se o número de termos, a razão e o primeiro termo, substituindo na fórmula64a 263 a64 5 263 anterior an por a1 ? q n 2 1: Para que possamos obter a quantidade total, Sn 5 an ? q 2 a1precisaremos calcular a soma dos termos dessa se- q21quência, isto é: a1 ? qn 2 1 ? q 2 a120 1 21 1 22 1 23 1 24 1 ... 1 263 Soma dos Sn 5 q21 termos de uma P.G. Sn 5 a1 ? qn 2 a1 ⇒ Sn 5 a1 ? (qn 2 1) q21 q21 Assim como ocorreu com a progressão aritmé- Exemplo:tica, também temos uma relação que permite calcu- Vamos calcular a quantidade de grãos de trigo cor-lar a soma Sn dos n termos de uma progressão geo- respondente à lenda da criação do jogo de xadrez:métrica finita, conforme mostramos a seguir: 20 1 21 1 22 1 23 1 24 1 ... 1 263Sn 5 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 .... 1 an22 1 an21 1 an Como são 64 termos, utilizamos a relação an- terior substituindo n por 64: M ultiplicamos a igualdade anterior, mem- Sn 5 an ? q2 a1 bro a membro, pela razão da progressão q 21 geométrica: S64 5 a64 ? q2 a1 S64 5 q 21Sn ? q 5 a1 ? q 1 a2 ? q 1 a3 ? q 1 a4 ? q 1 ... 11 an2 ? q 1 an1? q1 an? q 263 ? 2 2 1 221Sn ? q 5 a2 1 a3 1 a4 1 a5 1 ... 1 an1 1 an 1 an? q S64 5 26421 O bservando que a2 1 a3 1 a4 1 a51.... 1 an21 1 an 5 Sn 2 a1 Apenas para ter ideia dessa quantidade, pode- mos fazer uma aproximação, considerando que Sn ? q 5 Sn 2 a1 1 an ? q 210 > 103. Assim, vamos estimar o valor de 264: 264 5 24 ? 260 Sn ? q 2 Sn 5 an ? q 2 a1 264 5 16 ? (210)6 264 > 16 ? (103)6 Sn ? (q 2 1) 5 an ? q 2 a1 ⇒ Sn 5 an ? q2 a1 264 > 16 ? 1018 q 21 264 > 16 ? 1 000 000 000 000 000 000 264 > 16 000 000 000 000 000 000Assim, temos:278 Unidade 6 Sequências numéricas Limite da soma De modo geral, temos que: Vamos considerar uma situação que relaciona Em uma progressão geométrica em que omedidas de segmentos com progressão geométrica: número de termos tende ao infinito e o último ter- Um segmento de comprimento L é divididoem três partes iguais. Retira-se a parte central, e os mo tende a zero, o limite da soma de seus termosdois segmentos restantes são também divididos emtrês partes iguais. Retiram-se novamente as partes é dado por:centrais. Os quatro segmentos restantes são dividi-dos também em três partes iguais e, novamente, são Sn 5 a1retiradas as partes centrais. Se esse processo conti- 12 qnuar indefinidamente (conforme sugere a figura aseguir), pergunta-se: Qual será a tendência da soma em que a1 é o primeiro termo, e q é a razãodos comprimentos dos segmentos retirados? da progressão geométrica. Observações: 1. O procedimento adotado para chegar à rela- L ção S 5 a1 é intuitivo. Rigorosamente, essa rela- 12q —L3 ção é obtida por meio da teoria dos limites, que não —9L é aqui abordada. Entretanto, pode ser assim descrita:2—L7 1 2S … 5 lim an ? q 2 a1 ªn → 0 q21 Vamos observar a sequência dos comprimentos (Lemos: limite de an ?q2 a1 quando an tende a zero.)dos segmentos que foram retirados: q21 Após a 1a divisão → L 2. Nas progressões geométricas em que 3 0 , |q| , 1, constata-se que a soma dos n primeiros Após a 2a divisão → 2L termos tem um limite finito quando n tende ao infinito. 9 Exemplos: 4L Após a 3a divisão → 27 1. Vamos obter agora a tendência da soma dos comprimentos dos segmentos que foram retirados na Após a 4a divisão → 8L situação apresentada anteriormente. 81 A sequência é uma progressão geométrica infi- Queremos obter S, sendo:dniatasodme aradzoãsoinqfi5nito32s. Queremos calcular a tendência S 5 L 1 2L 1 4L 1 8L 1 ... termos dessa sequência: 3 9 27 81 L 1 2L 1 4L 1 8L 1 ... 5 ? Utilizando a relação que permite calcular o 3 9 27 81 limite da soma, temos: Note que, nessa situação, podemos dizer que a1quando o número de termos n tende ao infinito, o S 5 1 2 qtermo an tende a zero. Com base nessa ideia, pode- Lmos descobrir para que valor tenderá a soma. 3 Retornando à relação matemática que fornece S5 2a soma dos termos de uma progressão geométrica 1 2 3finita, e considerando que o último termo an tende S5 L ? 3 → S 5 La ser zero, podemos obter intuitivamente a “tendên- 3 1cia S da soma dos termos” substituindo an por zero Assim, podemos dizer que a tendência é a soma(ele tende a ficar tão próximo de zero que pode ser ser o comprimento do próprio segmento, isto é, L.desprezado). Progressão geométrica Capítulo 19 279 2. Utilizando o limite da soma dos termos de uma 23progressão geométrica, vamos obter a fração da gera- 100triz da dízima periódica 0,2323232323... x 5 1 1 Vamos expressar essa dízima periódica por meio 2 100 de uma soma: x 5 0,2323232323... x 5 23 ? 100 ⇒ x5 23 x 5 0,23 1 0,0023 1 0,000023 1 100 99 99 1 0,00000023 1 0,0000000023 1... Há um procedimento mais simples para obter a fração geratriz de uma dízima periódica. x 5 23 1 23 1 23 1 23 1 100 1 000 1 000 000 100 000 000 x 5 0,2323232323... (I) 1 23 1 ... ↓ 10 000 000 000 (Multiplicamos os dois lados da igualdade por 100) A soma indicada é dos termos de uma progres- 100x 5 23,23232323... (II)são geométrica. Como são infinitos termos e o ↓termo de ordem n tende a zero, podemos uti- (Como as igualdades I e II têm a mesma parte deci-lizar o limite da soma: mal, subtraímos uma da outra, membro a membro)x5S a1 100x 2 x 5 23,23232323... 2 0,23232323... 2x 5 1 q 99x 5 23 ⇒ x 5 23 99Exercícios resolvidos 1. Calcule a soma dos 8 primeiros termos de uma P.G. cuja razão é 2 e o primeiro termo é 3.Sn 5 a1(qn 2 1) ⇒ S8 5 3(28 2 1) 5 765 q21 221 2. A soma dos n primeiros termos de uma P.G. cuja razão é 3 e o primeiro termo é 22 é igual a 2242. Qual é o valor de n?Sn 5 a1(qn 2 1) ⇒ 2242 5 22(3n 2 1) ⇒ 243 5 3n ⇒ n 5 5 q21 321 3. Calcule o limite da soma dos infinitos termos da P.G.:1 225 , 2 15 ,2 45 , ... 2 8 32 15 2 8Temos que: q 5 2 5 5 3 .Logo, 4 2 5 2 2S 5 1 a1 q ⇒S5 12 3 5 210 2 4 4. Obtenha a fração geratriz da dízima 0,898989...Observe que 0,898989... 5 0,89 1 0,0089 1 0,000089 1 ... 5 0,89 1 0,89 ? 10 2 2 1 0,89 ? 10 2 4 1 ... .A dízima 0,898989... pode ser escrita como uma soma infinita de uma P.G. de razão 1022 e primeiro termo igual a 0,89.Assim,S 5 1 a1 q ⇒ S 5 0,89 5 0,89 5 89 2 1 2 0,01 0,99 99280 Unidade 6 Sequências numéricas Exercícios propostos a) ( 3, 1, 1 , 1 , ...) 3 9 1. Uma empresa foi contratada para escavar um poço com 8 metros de profundidade. O primeiro metro escavado b) (Ï2w; 2; 2 Ï2w; 4; ...) custa R$ 100,00 e, a cada metro que o poço avança, o preço dobra em relação ao preço do metro anterior. c) (21; 22; 24; 28; ...) Qual será o valor que a empresa receberá ao concluir o trabalho? d) (1; 0,1; 0,01; 0,001; ...) 2. O vazamento de uma mangueira fez com que fossem des- 1 2 e) 3;3 ; 1; 1 ; ... perdiçados 2 litros de água em um único dia. Suponha que Ï3w Ïw3 o orifício por onde ocorreu o vazamento fosse aumentando, de modo que no segundo dia vazassem 4 litros, no terceiro f ) (24; 8; 216; 32; 264, ...) dia, 8 litros, e assim por diante. Nessas condições, quantos litros de água teriam sido perdidos em 12 dias? 11. Das sequências que você identificou como decrescentes no exercício anterior, quais têm o termo de ordem n 3. Em relação à progressão geométrica (3; 9; 27; ... ; 39), tendendo a zero? responda: 12. Calcule o limite da soma dos infinitos termos de cada a) Quantos são seus termos? progressão geométrica a seguir. b) Qual é a soma dos termos? 1 2a) 1; 1 ; 1 ; 1 ; ... 3 9 27 4. Na progressão geométrica (2; 8; 32; ...; 2 048), determine: a) o número de termos dessa sequência. 1 2b) 16; 4; 1; 1 ; ... b) a soma de todos os termos dessa sequência. 4 c) (0,2; 0,02; 0,002; 0,0002;...) 5. Calcule o valor de x na igualdade: x 1 2x 1 4x 1 ... 13. Naigualdadeaseguir,vocêdeveráobterovalordex,consi- 1 128x 5 765. derando que são infinitas as parcelas no segundo membro da igualdade: x 5 625 1 125 1 25 1 5 1 1 1 ... 6. Quantos termos devemos considerar na progressão geométrica (12; 24; 48; ...) para que a soma de todos 14. Utilizando progressão geométrica, obtenha a fração os termos seja igual a 756? geratriz de cada dízima periódica indicada a seguir. 7. Considere que o termo geral da progressão geométrica a) x 5 0,77777... é an 5 a1 ? qn 2 1 e que a soma dos n termos é dada por: b) x 5 0,12121212...Sn 5 an ? q 2 a1 . c) x 5 0,35353535... 12qa) O btenha a soma dos n termos em função do primei- d) x 5 0,41414141... ro termo, da razão e do número de termos. 15. Considere um triângulo equilátero de lado medindo 20 cm. Unindo os pontos médios de seus lados, obtemosb) Se an 5 0, qual é a expressão que fornece a soma um segundo triângulo equilátero. Unindo os pontos dos n termos da progressão geométrica? médios dos lados desse novo triângulo equilátero, obte- mos outro triângulo equilátero. Esse processo continua 8. Em uma potência de base 2, seus divisores naturais são indefinidamente, como sugere a figura a seguir. também potências de base 2. Observe o exemplo no quadro a seguir:Os divisores naturais de 25, isto é, do número 32,são: 1; 2; 4; 8; 16; 32 (potências de base 2). a) Determine a sequência formada pelos divisores a) Determine a sequência formada pelas medidas dos la- naturais de 220. dos desses triângulos. Qual é a soma dos termos dessa progressão geométrica infinita (limite da soma)? b) Obtenha a soma dos divisores naturais de 220. b) Determine a sequência formada pelas medidas 9. Conforme a atividade anterior, encontre a expressão que dos perímetros desses triângulos. Qual é a soma fornece a soma de todos os divisores naturais de 2n. dos termos dessa progressão geométrica infinita (limite da soma)? 10. Identifique quais das progressões geométricas abaixo são decrescentes: Progressão geométrica Capítulo 19 281 Vestibulares e Enem 1. (Uerj) Admita a seguinte sequência numérica para o microempresa, a menor entre elas, doou a quantia de número natural n: R$ 350,00; a segunda doou R$ 50,00 a mais que a primeira, a1 5 1 e an = an21 1 3 e cada uma das microempresas seguintes doou R$ 50,00 a 3 mais que a anterior. Quantas microempresas participaram dessa campanha? Sendo 2 # n # 10, os dez elementos dessa sequência, a) 8 c) 15 e) 35 em que a1 5 1 e a10 5 82 , são: b) 11 d) 20 3 3 8. (Uerj) 1 21,10 , 19 , 28 , 37 , a6, a7, a8, a9, 82 3 3 3 3 3 3 A média aritmética dos quatro últimos elementos da sequência é igual a: a) 238 c) 219 12 4 b) 137 d) 657 6 9 2. (Uece) Os números reais positivos x, y e z são tais que log x, log y, log z formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Nestas condições, podemos concluir acerta- damente que entre os números x, y e z existe a relação: a) 2y 5 x 1 z c) z2 5 xy b) y 5 x 1 z d) y2 5 xz 3. (PUC-RJ) Os números a1 5 5x 2 5, a2 5 x 1 14 e a3 5 Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, 5 6x 2 3 estão em P.A. em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, uma A soma dos 3 números é igual a: progressão aritmética. O vigésimo termo dessa progres- a) 48 c) 72 e) 130 são corresponde a: b) 54 d) 125 a) 250 c) 230 4. (Enem) Um ciclista participará de uma competição e b) 240 d) 220 treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro dia, pedalará 60 km; no segundo dia, a mesma distância 9. (PUC-PR) Um consumidor, ao adquirir um automóvel, do primeiro mais r km; no terceiro dia, a mesma distância assumiu um empréstimo no valor total de R$ 42.000,00 do segundo mais r km e, assim, sucessivamente, sempre (já somados juros e encargos). Esse valor foi pago em 20 pedalando a mesma distância do dia anterior mais r km. parcelas, formando uma progressão aritmética decres- No último dia, ele deverá percorrer 180 km, completando cente. Dado que na segunda prestação foi pago o valor o treinamento com um total de 1560 km. de R$ 3 800,00, a razão desta progressão aritmética é: a) 2300 A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada b) 2200 dia, em km, é: c) 2150 d) 2100 a) 3 c) 10 e) 20 e) 2350 b) 7 d) 13 10. (UFRGS-RS) Para fazer a aposta mínima na Mega Sena, uma pessoa deve escolher 6 números diferentes em um 5. (PUC-RJ) A soma dos números inteiros compreendidos cartão de apostas que contém os números de 1 a 60. Uma entre 100 e 400, que possuem o algarismo das unidades pessoa escolheu os números de sua aposta, formando igual a 4, é: uma progressão geométrica de razão inteira. a) 1 200 c) 4 980 e) 7 470 b) 2 560 d) 6 420 Com esse critério, é correto afirmar que: 6. (Unicamp-SP) Se (a1, a2, ..., a13) é uma progressão aritmé- a) essa pessoa apostou no número 1. tica (P.A.) cuja soma dos termos é 78, então a7 é igual a: b) a razão da P.G. é maior do que 3. a) 6 c) 8 c) essa pessoa apostou no número 60. d) a razão da P.G. é 3. b) 7 d) 9 e) essa pessoa apostou somente em números ímpares. 7. (UPE) Uma campanha entre microempresas, para ajudar o Hospital do Câncer, arrecadou R$ 16.500,00. A primeira282 11. (Enem) Uma maneira muito útil de se criar belas figuras A mercantilização da cultura impulsionou o mercado de decorativas utilizando a matemática é pelo processo de artes nos grandes centros urbanos. Hoje, o quadro Jardim autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Infor- das Flores, de Van Gogh, é avaliado em aproximadamente malmente, dizemos que uma figura é autossemelhante 84 milhões de dólares. Supondo que há 61 anos essa se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como obra custasse 84 dólares e que sua valorização até 2013 um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, tenha ocorrido segundo uma P.G., assinale a alternativa criado por um processo recursivo, descrito a seguir: que apresenta, corretamente, o valor dessa obra em 2033, considerando que sua valorização continue conforme a Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove mesma P.G. quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo a) 1,68 ? 109 dólares. removendo o quadrado central, restando 8 quadrados b) 8,40 ? 109 dólares. pretos (Figura 2). c) 84,00 ? 107 dólares. d) 168,00 ? 106 dólares. Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos qua- e) 420,00 ? 107 dólares. drados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de 13. (PUC-MG) Depois de percorrer um comprimento de arco cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3). de 7 m, uma criança deixa de empurrar o balanço em que está brincando e aguarda até o balanço parar completa- Passo 3: Repete-se o passo 2. mente. Se o atrito diminui a velocidade do balanço de modo que o comprimento de arco percorrido seja sempre igual a 80% do anterior, a distância total percorrida pela criança, até que o balanço pare completamente, é dada pela expressão D 5 7 1 0,80 ? 7 1 0,80 ? (0,80 ? 7) 1 ... Considerando-se que o segundo membro dessa igualdade é a soma dos termos de uma progressão geométrica, é Figura 1 Figura 2 correto estimar que o valor de D, em metros, é igual a: a) 28 c) 42 b) 35 d) 49 14. (UFRGS-RS) Considere o padrão de construção represen- tado pelo desenho abaixo. Figura 3 A B CD PAdmita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja,divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9quadrados idênticos e remove-se o quadrado central decada um deles. O número de quadrados pretos restantesnesse momento é:a) 64 c) 568 e) 648 O disco A tem raio medindo 1. O disco B é tangenteb) 512 d) 576 ao disco A no ponto P e passa pelo centro do disco A.12. (UEL-PR) Leia o texto a seguir. O disco C é tangente ao disco B no ponto P e passa pelo centro do disco B. O disco D é tangente ao disco C no Van Gogh (1853-1890) vendeu um único quadro em vida a seu irmão, por 400 francos. Nas palavras do artista:“Não ponto P e passa pelo centro do disco C. O processo de posso evitar os fatos de que meus quadros não sejam vendáveis. Mas virá o tempo em que as pessoas verão construção dos discos é repetido infinitamente. que eles valem mais que o preço das tintas”. Considerando a sucessão infinita de discos, a soma das (Disponível em: . Acesso em: 2 out. 2013.) áreas dos discos é: a) p c) 2p e) 4p 4 3 3 b) p d) p 3 Progressão geométrica Capítulo 19 283 Vestibulares e Enem 15. (UFG-GO) Devido às condições geográficas de uma cida- III. cn é uma progressão aritmética; de, um motorista, em seu veículo, desloca-se pelas ruas IV. dn é uma progressão geométrica. somente nas direções norte-sul e leste-oeste, alternando o deslocamento entre essas direções. Cada um desses São verdadeiras apenas: deslocamentos foi medido em intervalos iguais de tempo, nas duas direções e com o mesmo número de medições a) I, II e III. c) I e III. e) III e IV. em ambas, obtendo-se os seguintes dados: b) I, II e IV. d) II e IV. direção norte-sul: x1 5 1 km, x2 5 3 km e x3 5 5 km; 19. (UEM-PR) Sejam (a1,a2,a3,....) e (b1,b2,b3,....), com ai , bi ∈ ℝ, respectivamente, uma progressão aritmética (P.A.) e uma direção leste-oeste: y1 5 1 km, y2 5 2 km e y3 5 4 km. progressão geométrica (P.G.) infinitas. Nessas condições, Sabendo que o motorista inicia seu deslocamento na assinale o que for correto. direção norte-sul, que este padrão de deslocamento manteve-se ao longo de todo o percurso e que a soma das 01) Se a1 1 a2 1 a3 5 3 e a1 ? a2 5 1 , então a razão da distâncias percorridas no sentido norte-sul foi de 36 km, 2 determine a soma dos deslocamentos do motorista, em 1 km, no sentido leste-oeste. P.A. é 2 . 16. (Unesp) Para cada n natural, seja o número 02) Se b1 5 1 e a razão da P.G. é 21, e se n ∈ ℕ, então a soma dos n primeiros termos dessa P.G. é zero. Ï Ïkn = 3 ?Ï3 ?Ï3 ? (...) ? Ïw3 2 2 ?Ï2 ?Ï2 ? (...) ? Ï2w 04) Se todos os ai forem positivos, então a P.A. é crescente. n vezes n vezes 08) Se a razão da P.G. for negativa, então a P.G. é decres- cente. Se n → 1∞, para que valor se aproxima Kn? 16) Se a4 5 16 ? 104 e a12 5 32 ? 104, então a101 5 21?105. 17. (UPM-SP) Se os números 3, A e B, nessa ordem, estão em 20. (UFG-GO) Candidatos inscritos ao vestibular da UFG/2014-1 progressão aritmética crescente e os números 3, A 2 6 leram o livro O cortiço, com 182 páginas, de uma deter- e B, nessa ordem, estão em progressão geométrica, então minada edição, iniciando-se na página 1. Considere que o valor de A é: dois desses candidatos leram o livro do seguinte modo: o primeiro leu duas páginas no primeiro dia e, em cada a) 12 c) 18 e) 24 um dos dias seguintes, leu mais duas páginas do que b) 15 d) 21 no dia anterior, enquanto o segundo leu uma página no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, leu o 18. (Fuvest-SP) Dadas as sequências an = n2 1 4n 1 4, dobro do número de páginas do dia anterior. bn 1 1 bn 5 2n2, cn 5 an11 2 an e dn 5 bn , definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes Admitindo-se que os dois candidatos começaram a ler o livro no mesmo dia e que o primeiro acabou a leitura afirmações: no dia 26 de outubro, determine em qual dia o segundo candidato acabou de ler o livro. I. an é uma progressão geométrica; Dado: log2183 > 7,6. II. bn é uma progressão geométrica; DESAFIO (IME-RJ) Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de seus quadrados é S2. 1 1 2Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da equação x2 2 S1x 1 S2 2 2 5 0. A razão desta P.A. é: a) 1 6 Ï6w b) 6 c) Ïw6 d) Ïw6 3 e) 1284 EXPLORANDO HABILIDADES E COMPETÊNCIASAnil Yanik/iStockphoto.com ão Particular Coleç A teoria populacional malthusiana foi a principal Thomas Malthuscontribuição do economista inglês Thomas Robert (1766-1834).Malthus para a sociedade. Malthus é até hoje conside-rado o precursor da demografia, que é a ciência que es-tuda o desenvolvimento quantitativo das populações. Thomas Malthus nasceu em 14 de fevereiro Esse tipo de crescimento se assemelha ao que éde 1766 na Inglaterra e se formou no colégio em considerado“praga biológica”, situação em que uma popu-1784. Tornou-se pastor em 1797 e, em 1798, publi- lação tem alta taxa de natalidade e baixa taxa de mortalida-cou seu primeiro ensaio chamado Um ensaio sobre de, não sendo controlada nem por doenças nem por pre-o princípio de população. dadores. Em geral, esse tipo de crescimento populacional descontrolado continua até que a população seja limitada Neste livro e no livro seguinte (Uma pesquisa pela escassez de alimentos, que gera morte por competi-sobre a causa do presente alto preço dos alimentos), ção entre seres da mesma espécie ou pela própria fome.Malthus desenvolveu sua teoria a partir de dadosobtidos acerca do crescimento populacional hu- Malthus defendia a ideia de que esse seria o fu-mano no planeta. turo da humanidade, já que a produção de alimentos só poderia crescer em progressão aritmética, sendo Malthus notou que desde 1650 até sua épo- limitada pelo fato de que o território destinado à agro-ca a população da Terra tinha praticamente do- pecuária não se reproduz.brado. Sua teoria defendia que, devido à Revolu-ção Industrial e às melhorias trazidas por ela ao O grande economista inglês publicou outrossaneamento e ao tratamento de doenças, haveria livros até seu falecimento, em 23 de dezembro deuma tendência de que a população aumentasse 1834, quando ainda defendia a ideia de que a sobre-cada vez mais num período menor de tempo, do- vivência da humanidade dependia do controle debrando a cada 25 anos, crescendo em progressão natalidade e que as misérias sociais eram causadasgeométrica. exatamente pelo excedente populacional. Progressão geométrica Capítulo 19 285 Suas ideias foram refutadas com dados, já que 1650 500 milhõeso crescimento da população se mostrou variável e 1850 1 bilhãosujeito a inúmeros fatores. Entretanto, suas teorias fo-ram retomadas após a Segunda Guerra Mundial, por 1950 2,5 bilhõesvolta de 1950. 1960 3 bilhões Veja abaixo uma tabela com uma aproximação do 1975 4 bilhõescrescimento populacional da humanidade no planeta. 1990 5,3 bilhões 2000 6 bilhões 2012 7 bilhõesQuestões e investigações 1. Segundo a teoria de Malthus, se a população crescesse em P.G. a cada 25 anos, a partir do 1 bilhão de pessoas existentes em 1850, qual seria a população mundial no ano 1900? 2. Após 1950, com o fim da Segunda Guerra Mundial, surgiu a teoria neomalthusiana. Suponha que, com o intuito de estudar o crescimento populacional a cada 5 anos e sustentando a ideia de que a população, a partir de 1950, realmente começaria a dobrar a cada 25 anos, tenha sido construída a tabela abaixo. 2,5 5bilhões bilhõesa1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ... an1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 ... 2020 Com base nos dados já colocados, determine a razão da P.G. e a população esperada para 2020.3. Segundo a teoria de Malthus, se em 1850 a população produzisse alimento suficiente para se manter, essa produção continuaria sendo suficiente nos próximos 25 anos, mas já seria escassa 50 anos depois. Considerando essa afirmação, responda às questões a seguir. a) Considere que a produção total de alimentos em 1850 tenha sido de x toneladas e que toda essa produção tenha sido consumida. Sabendo que a população teria dobrado em 25 anos e o alimento teria sido exatamente na quantidade suficiente, quantas toneladas de alimento (em função de x) teriam sido produzidas em 1875? b) Se o aumento da produção aumenta em P.A. a cada 25 anos, de acordo com a resposta do item anterior, determine os 5 primeiro termos dessa P.A. em função de x. c) Seguindo esse raciocínio, a produção do ano 2000 seria suficiente para alimentar que porcen- tagem da população?4. Pesquise sobre quais fatos e períodos históricos influenciaram o crescimento populacional e agrícola, invalidando a teoria de Malthus.286 Unidade 6 Sequências numéricas BibliografiaLeituras complementares Ao longo desta Coleção, você encontra alguns textos que selecionamos e que versam sobreconteúdos de Matemática, sobre o desenvolvimento da própria Matemática e, também, sobre avida de importantes personagens, que oferecem valiosas contribuições para esse universo. Casovocê queira ampliar um pouco esse contato por meio dos textos relacionados a esses temas, suge-rimos algumas referências elaboradas numa linguagem semelhante, algumas vezes, aos romances.São textos que contêm informações e curiosidades diversas relacionadas à história da Matemática. Boa leitura!ATALAY, Bulent. A Matemática e a Mona Lisa: a confluência da arte com a ciência. Tradução deMário Vilela. São Paulo: Mercuryo, 2007.BELLOS, Alex. Alex no país dos números: uma viagem ao mundo maravilhoso da Matemática.Tradução de Berilo Vargas e Claudio Carina. São Paulo: Companhia das Letras, 2011.BENTLEY, Peter J. O livro dos números: uma história ilustrada da Matemática. Tradução de MariaLuiz X. de A. Borges. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 2009.DEVLIN, Keith. O gene da Matemática: o talento para lidar com números e a evolução do pen-samento matemático. Tradução de Sergio Moraes Rego. Rio de Janeiro: Record, 2004._______. O instinto matemático: Por que você é um gênio da Matemática. Tradução deMichelle Dysman. Rio de Janeiro: Record, 2009.DEWDNEY, A. K. 20 000 léguas matemáticas: um passeio pelo misterioso mundo dos números.Tradução de Vera Ribeiro. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 2000.DU SAUTOY, Marcus. A música dos números primos: a história de um problema não resolvidona Matemática. Tradução de Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 2007.ENZENSBERGER, Hans Magnus. O diabo dos números. Tradução de Sérgio Tellaroli. São Paulo:Cia. das Letras, 1997.GUEDJ, Denis. O teorema do papagaio. Tradução de Eduardo Brandão. São Paulo: Cia. dasLetras, 1999.LIVIO, Mario. A equação que ninguém conseguia resolver. Tradução de Jesus de Paula Assis. Riode Janeiro: Record, 2008._______. Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente. Tradução de Marco ShinobuMatsumura. Rio de Janeiro: Record, 2006.NETZ, Reviel; NOEL, William. O codex Arquimedes. Tradução de Pedro Bernardo e Pedro ElóiDuarte. Lisboa: Edições 70, 2007.SINGH, Simon. O último teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores men-tes do mundo durante 356 anos. Tradução de Jorge Luiz Calife. Rio de Janeiro: Record, 1998. Bibliografia 287 Referências bibliográficas As obras a seguir representam importantes referências para o estudo e a reflexão sobre a Matemática. ALDER, Ken. A medida de todas as coisas: a odisseia de sete anos e o erro encoberto que trans- formaram o mundo. Tradução de Adalgisa Campos da Silva. Rio de Janeiro: Objetiva, 2003. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. 2. ed. Lisboa: Gradiva, 1998. BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1999. EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Tradução de H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2007. COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que é Matemática? Uma abordagem elementar de métodos e conceitos. Tradução de Alberto da Silva Brito. Rio de Janeiro: Editora Ciência Mo- derna Ltda., 2000. DAVIS, P.J.; HERSH, R. A experiência matemática. Tradução de João Bosco Pitombeira. 3. ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989. GARBI, Gilberto G. A rainha das ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Livraria da Física, 2006. _______. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997. HOGBEN, Lancelot Thomas. Maravilhas da Matemática: Influência da Matemática nos conhe- cimentos humanos. [S.l]. São Paulo. Globo, 1958. LIMA, Elon Lages. Logaritmos. 2. ed. Rio de Janeiro: S.B.M., 1996. (Coleção do Professor de Matemática.) MLODINOW, Leonard. A janela de Euclides: a história da Geometria: das linhas paralelas ao hi- perespaço. Tradução de Enézio de Almeida. São Paulo: Geração Editorial, 2004.288 Bibliografia Imagem meramente ilustrativa. Praticidade para o professor e mais estímulo ao alunoValorizando as especi cidades de cada disciplina, a SÉRIE BRASIL – Ensino Médio oferece um pacote de recursos didáticos integrados nos formatos impresso e digital, na medida certa para os desa os do Ensino Médio. Conheça mais a SÉRIE BRASIL – Ensino Médio. Acesse: www.seriebrasilensinomedio.com.br ou ligue: 0800 700 1055