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ik • n (1) Por outro lado, o juro a uma taxa única i dos capitais C1, C2, C3, ..., Ck, será: (Cl + C2 + C3 + ... + Ck) • i • n (2) Portanto (2) é igual a (1), logo temos: k321 kk332211 CCCC iCiCiCiC i ++++ ⋅++⋅+⋅+⋅ = L L A taxa i é única e substitui as taxas anteriores, e portanto chamamos de taxa média a juros simples. Obs.: Observe que se os capitais forem iguais, a taxa média será igual à média aritmética entre as taxas. Exemplo: Um investidor aplicou seu capital de R$ 12.000.000,00 da seguinte forma: R$ 6.000.000,00 a 40% a.m. R$ 4.000.000,00 a 60% a.m. R$ 2.000.000,00 a 90% a.m. Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capi- tal, para obter o mesmo rendimento? Solução: 55%i = == ++ = ++ ⋅+⋅+⋅ = 55,0000.000.12 000.600.6i 000.000.12 000.800.1000.400.2000.400.2i 000.000.2000.000.4000.000.6 %90000.000.2%60000.000.4%40000.000.6i 3.8 VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL Chamamos de Valor Nominal de um título, ao seu valor na data de vencimento. Também é conhecido como valor face. Chamamos de Valor Atual de um título, ao seu valor em qualquer data anterior ao seu vencimento. No caso de capitalização simples, o valor atual de um título será o valor que aplicado, a juros simples, durante os n períodos de antecipação ao seu vencimento, produ- zirá como montante o valor nominal do título. Chamando de N o valor nominal e V o valor atual com n períodos de antecipação teremos: Dessa forma: N = V • [1 + i • n] ni1 NV ⋅+ = Exemplo: O valor nominal de um título é de R$ 1.600,00 sendo que seu vencimento ocorrerá daqui a 3 meses. Se a taxa de juros simples de mercado é de 20% a.m., determine o valor atual do título hoje. Solução: N = R$ 1.600,00 i = 20% a.m. n = 3 meses de antecipação ni1 NV ⋅+ = ∴ 3%201 600.1V ⋅+ = V = R$ 1.000,00 Matemática Financeira Professor Joselias Santos da Silva 12 04. Calcule a taxa de juros simples de uma aplica- ção, sabendo que apliquei R$ 5.200,00 e resgatei R$ 6.448,00, depois de 4 meses. Solução: C = R$ 5.200, 00 M = R$ 6.448, 00 n = 4 meses J = R$ 1.248, 00 (por que ?) → (J = M – C) J = C • i • n 1.248 = 5.200 • i • 4 → → → → → 4200.5 248.1i ⋅ = i = 0,06 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ i = 6% a.m. Resposta: 6% a.m. 05. Em quantos meses um capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., a juros simples, renderá juro necessário para a formação de um montante de R$ 953.120,00? Solução: C = R$ 740.000,00 M = R$ 953.120,00 i = 3,6% a.m. J = R$ 213.120,00 (por que?) J = C • i • n 213.120 = 740.000 • 3,6% • n %6,3000.740 120213 n ⋅ ⋅ = = 8 meses Resposta: 8 meses 06. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8%a.m., triplica em que prazo? Solução: C = Capital aplicado M = 3 C (por que ?) → (triplica) i = 8% a.m. J = 2 C (por que ?) → (J = M – C) Como: J = C • i • n 2C = C • 8% • n → 8% • n = 2 8 200 n = = 25 meses Resposta: 25 meses EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Calcule a taxa de juro mensal, proporcional às seguintes taxas: a. 300% a.a. b. 90% a.s. Solução: a. 12 %300i = = 25% a.m. b. 6 90i = = 15% a.m. Respostas: a. 25% a.m. b. 15% a.m. 02. Seja um capital de R$ 800.000,00, investido duran- te 4 meses e a taxa de juros simples de 120% a.a.. Calcule: a. O juro obtido b. O montante Solução: C = R$ 800.000,00 i = 120% a.a. (equivalente a i = 10% a.m.) n = 4 meses a. J = C • i • n J = 800.000 • 10% • 4 J = R$ 320.000,00 b. M = C + J M = 800.000 + 320.000 M = R$ 1.120.000,00 Respostas: a. J = R$ 320.000,00 b. M = R$ 1.120.000,00 03. Em que prazo R$ 12.000,00 rende R$ 1.800,00, se a taxa de juros simples utilizada é 5% a.m.? Solução: C = R$ 12.000,00 J = R$ 1.800,00 i = 5% a.m. J = C • i • n 1.800 = 12.000 . 5% . n %5000.12 800.1 n ⋅ = = 3 meses Resposta: 3 meses Professor Joselias Santos da Silva Matemática Financeira 13 07. Um investidor recebeu R$ 480.000,00 por uma aplicação de R$ 300.000,00 à taxa de juros sim- ples de 10% a.m.. De quantos meses foi essa apli- cação? Solução: M = R$ 480.000,00 C = R$ 300. 000,00 i = 10% a.m. J = R$ 180.000,00 (por que ?) → (J = M – C) J = C • i • n 180.000 = 300.000 • 10% • n %10000.300 000.180 n ⋅ = n = 6 meses Resposta: 6 meses 08. Possuo uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 1.300.000,00, que é resgatável daqui a 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples corrente de mercado é de 10% a.m., quanto devo pagar por esta letra hoje? Solução: N = R$ 1.300.000,00 n = 3 meses (período de antecipação) i = 10% a.m. ni1 NV ⋅+ = 3%101 000.300.1V ⋅+ = V = R$ 1.000.000,00 Resposta: R$ 1.000. 000,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (BACEN/Vunesp) – Na capitalização simples a taxa mensal que faz duplicar um capital, em 2 meses, vale a. 100% b. 50% c. 40% d. 30% e. 10% Resposta: B 02. (BACEN/Vunesp) – Na capitalização simples, os juros correspondentes à aplicação de R$ 2.000,00 por 2 meses, à taxa de 4% ao mês é ? Resposta: R$ 160,00 03. (CVM) – Os capitais de R$ 12.000,00, R$ 20.000,00 e R$ 16.000,00 foram aolicados à mes- ma taxa de juros simples, durante 9, 5 e 8 meses, respectivamente. A soma desses capitais, isto é, R$ 48.000,00, para produzir um juro simples igual à soma dos juros produzidos por aqueles capi- tais nos prazos respectivos, deveria ser aplicada durante quantos meses? a. 6 meses b. 7 meses c. 8 meses d. 9 meses e. 10 meses Resposta: B 04. (INSS/97) – Diz-se que a taxa i é equivalente à taxa i’ se, ao fim de determinado período, ambas pro- duzirem o mesmo montante, quando aplicadas ao mesmo capital. Considerando o regime de ju- ros simples e a informação acima, julgue os itens que se seguem. Responder: Certo (C) ou Errado (E) a. ( ) O Capital que, aplicado à taxa de juros de 12% a.a., transforma-se, ao final de 10 meses, em R$ 308,00 é superior a R$ 270,00. b. ( ) Um capital apl icado a 200% a.a. e capitalizado semestralmente dobrará em 6 meses. c. ( ) A juros de 10% a.a., uma dívida que, ao final de 2 anos, atingir R$ 1.200,00 poderá ser imediatamente liquidade por R$ 990,00. d. ( ) Se uma taxa mensal i e uma taxa diária i’ são equivalentes, então i = 30 • i’. e. ( ) Três taxas mensais e consecutivas de 2%, 3% e 5% equivalem a uma taxa trimestral de 10%. Resposta: a. (C) b. (C) c. (E) d. (C) e. (C) Matemática Financeira Professor Joselias Santos da Silva 14 Capitulo 4 JUROS COMPOSTOS 4.1 MONTANTE Vimos no Capítulo I, que no regime de capitalização com- posta, o montante no fim de cada período é que gera juro para o período seguinte. Seja o capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos i, por período. Assim temos: No início do primeiro período C • O montante após o primeiro período: C (1 + i) • O montante após o segundo período: C (1 + i)² • O montante após o terceiro período: C (1 + i)³ generalizando: O montante após o n-ésimo período C • (1 + i)n Então o montante da aplicação de um capital C, durante n períodos será denotado por M e expresso por: M = C • (1 + i)n Obs.: O fator (1 + i)n é chamado de fator de capitaliza- ção, e encontra-se tabelado para diversos valores de i e n. Exemplos: 01. Um capital de R$ 500.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 anos, à taxa de 10% a.a.. a. Qual o montante? b. Qual o total de juros auferidos? Solução: Temos: C = R$ 500.000.00 i = 10% a.a. n = 3 anos Então: a. M = C • (1 + i)n M = 500.000,00 (1 + 10%)3 M = 500.000,00 • (1,331000) (ver tabela I, pág.42) M = R$ 665.500,00 b. J = M – C J = 665.500 – 500.000 J = R$ 165.500,00 02. Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 15% a.a.,