Qual a probabilidade de uma moeda?

Quem tem mais de quinze anos já se deparou com essa pergunta, mesmo que não tivesse prestando atenção à aula. Exite uma resposta errada e duas respostas certas*, com consequências muito importantes para a nossa existência. É sério!

Na hora de responder, a maioria das pessoas responde uma das respostas certas: é 50% de chance de dar coroa. O passado não influencia o futuro, e uma moeda tem 50% de chance de dar cada lado, sempre.

Mas quem estudou (pouco) matemática também aprendeu que se a probabilidade de um resultado é 50% e eu tenho N sorteios, então 50% deles deve ter aquele resultado. E a gente tem mesmo essa vontade de ver metade pra lá, metade pra cá, e cai na armadilha de achar que a probabilidade de dar cara na próxima vez aumenta.

Você dirá “Ah, Tiago, eu não caio nessa!” Não cai mesmo? Só complicar um pouquinho a pergunta que todo mundo cai. É uma característica humana de nome curioso: a Falácia do Apostador. Pode-se resumir ao comentário comum na roda de buraco do domingo lá na casa da sua avó: “tá na hora de sair um coringa!” Mas é um problema sério se você revisa currículos, por exemplo. Você pode rejeitar um ótimo candidato simplesmente porque ele apareceu depois de uma sequência de ótimos candidatos. Um estudo mostrou que goleiros são vulneráveis em cobrança de pênalti. O pessoal do reakonomics, em uma excelente entrevista, mostrou que o erro acontece quando a gente decide apressadamente uma questão e que incentivos fortes podem melhorar o desempenho das pessoas.

Mas tem outra resposta também correta, e muito perspicaz. É a resposta de Tony Gorducho: depois de ver 99 caras seguidas, ele afirma sem pestanejar: “provavelmente vai dar cara. É mais provável que haja algo errado com essa moeda e você não saiba do que dar 100 caras seguidas em uma moeda honesta.”

Segundo Tony, o mundo está aí nos dando informações novas o tempo todo. Uma sequência de tantas caras não acontece todo dia. Aliás, a chance de alguém ver 99 caras seguidas é menor que uma em 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (29 zeros!), então é mais provável ter mesmo algo errado com essa moeda em particular. Sempre vale a pena calcular todas as probabilidades.

Mas quão honestas são as moedas honestas? Pesquisadores concluíram que não mais do que duas casas decimais: uma moeda tem ligeiramente mais de 50% de chance de cair do mesmo lado em que ela estava na mão antes de lançada. Eles sabem até explicar por quê. Assista ao vídeo aqui (em inglês):

Transcrição de vídeo

RKA - Agora, vamos começar a lidar com problemas mais interessantes. Uma das coisas legais que vai encontrar em probabilidade é poder resolver um problema de forma mais interessante. Vamos pensar a respeito. Vou pegar uma moeda de verdade e joga-lá três vezes porque quero descobrir a probabilidade de ter "pelo menos uma cara nas três jogadas"... ..."pelo menos uma cara nas três jogadas". Portanto, o modo mais fácil de imaginar é: quantas prováveis possibilidades existem? No último vídeo, a gente viu que, se jogar a moeda três vezes, tem oito possibilidades. Para a primeira jogada, tem duas possibilidades; para a segunda, duas possibilidades; e, na terceira jogada, há duas possibilidades. Então, 2 vezes 2 vezes 2... tem 8 possibilidades iguais se eu jogar a moeda três vezes. Em quantas daquelas possibilidades a gente consegue pelo menos uma cara? Mostramos todas as possibilidades aqui. Então, tem que contar em quantas dessas conseguiremos pelo menos uma cara. É um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete destes têm pelo menos uma cara neles. E esta última não tem nada. 7 de 8 têm pelo menos uma cara. Agora, você deve estar pensando: ok, você foi capaz de fazer isso escrevendo todas as possibilidades, mas seria realmente difícil se eu dissesse pelo menos uma cara em vinte jogadas; e funcionou bem porque só tinha três jogadas. Melhor deixar mais claro que é em três jogadas! E seria muito mais difícil fazer se fossem vinte jogadas. Tem algum atalho aqui? Alguma outra forma de resolver? Não daria para resolver de um jeito simples. Não pode só dizer "ah, tá, a probabilidade de "obter cara" vezes a probabilidade de "obter cara" porque obteve cara na primeira vez; e, agora, não tem mais que obter cara, ou poderia obter cara de novo. Não precisa... ...então, fica um pouco mais complicado, mas tem um modo mais simples de resolver, que dá para usar este método. Na realidade, deve encontrar em muitos exames, onde fazem parecer como um problema muito mais difícil; mas, se pensar assim, de repente, fica mais simples. Uma forma de resolver o problema é: a probabilidade de "pelo menos uma cara em três jogadas" é igual a probabilidade de "não obter só coroas", certo? Se tem "só coroas" (não tem nenhuma cara), então, essas duas coisas são equivalentes. A probabilidade de obter "pelo menos uma cara em três jogadas" é igual a probabilidade de "não obter só coroa em três jogadas". Qual é a probabilidade de "não obter só coroa"? É 1 menos a probabilidade de "obter só coroas". A probabilidade de "só obter coroas em três jogadas" é a probabilidade de "coroa, coroa e coroa", porque qualquer uma das outras situações terá, pelo menos, uma cara, então, esta é a única possibilidade que resta. Se somar todas, vai obter 1. Vou escrever assim... ...eu vou escrever em outra cor, assim você enxerga de onde vem... a probabilidade de "nem todas as coroas" mais a probabilidade de "todas as caras". Bom, é tremendamente exaustivo. Todas estas são circunstâncias possíveis, portanto, suas chances de obter "nem só coroas" ou "só coroas"... e estas são mutuamente exclusivas, daí dá para somar... a probabilidade de "não obter todas as coroas", ou ...só para esclarecer o que estamos fazendo... ...a probabilidade de "nem todas as coroas" ou a probabilidade de "todas as coroas" vai ser igual a 1. Estas são mutuamente exclusivas: ou só terá no "coroas" (o que significa que as caras aparecerão apenas) ou "só coroas"; mas não pode ter as duas coisas acontecendo. E, sendo mutuamente exclusivas, você diz que a probabilidade disso ou disto é que pode somar suas probabilidades; o que, basicamente, são todos os possíveis eventos. Esta é a probabilidade de qualquer um desses eventos acontecerem, e será 1 ou 100% de chance. Então, outra forma de resolver, é a probabilidade de "nem todas as coroas" serão de 1 menos a probabilidade de "todas as coroas". Foi exatamente o que fizemos aqui. E a probabilidade de "todas as coroas" é bem direta. Esta é a probabilidade de obter 1/2 porque terá 1/2 chance de obter uma "coroa" na primeira jogada vezes ...vou escrever aqui para deixar mais claro... 1 menos a probabilidade de "obter só coroas". E terá 1/2 chance de obter coroas na primeira jogada; e, aí, vai ter que conseguir outra coroa na segunda jogada; depois, na terceira, obter outra coroa; e aí 1/2 vezes 1/2 vezes 1/2 é 1/8. 1 menos 1/8, ou 8/8 menos 1/8, será igual a 7/8. Dá para aplicar em um problema mais difícil de resolver, do que escrever todos os cenários, como a gente fez no primeiro problema; digamos que tem dez jogadas... a probabilidade de "pelo menos uma cara em dez jogadas". Bom, usamos a mesma ideia. Será igual a probabilidade de "não obter só coroas em dez jogadas". Então, só estamos dizendo que a probabilidade de "não obter coroas em todas as jogadas"... "todas as jogadas são coroas"... "nem todas as coroas em dez jogadas"... e vai ser 1 menos a probabilidade de "obter coroas dez vezes". Então, é 1 menos dez coroas seguidas, que vai ser igual a esta parte bem aqui! Eu vou escrever! É igual a 1 menos... e esta parte vai ser uma coroa, e outra coroa... 1/2 vezes 1/2... ...1/2 vezes 1/2. Agora, eu vou repetir dez vezes. Vou escrever um pouco para ficar mais claro ainda... 1/2... serão cinco, seis, sete, oito, nove e dez. A gente, simplesmente, tem o numerador 1; então, será 1... ...vai ser igual a 1... ...(vou escrever com o mesmo verde)... vai ser igual a 1 menos nosso numerador; e você tem 1 vezes ele mesmo dez vezes. Enfim, tem 1. No denominador, obtém 2 vezes 2, que é 4; 4 vezes 2 é 8... 16.. 32.. 64... 128... 256... 512... 1.024... ...sobre 1.024. É exatamente igual a 1.024 sobre 1.024 menos 1 sobre 1.024, que é igual a 1.023... ...1.023 sobre 1.024. A gente obtém um denominador comum aqui. ...vou fazer em azul... sobre 1.024. Se joga uma moeda dez vezes seguidas, sua probabilidade de "obter pelo menos uma cara em dez jogadas" é muito alta: é 1.023 sobre 1.024; e pode usar uma calculadora para entender em termos de porcentagem. Na realidade, vou fazer só por diversão. Se eu tenho 1.023 dividido por 1.024, isso dá... você tem 99,9% de chance de ter, pelo menos, uma cara. Isso, se arredondar. Isto é igual a 99,9% de chance. Eu arredondei um pouquinho. Esta é uma ferramenta bem poderosa. Na verdade, um jeito bem poderoso de pensar sobre por que você levaria uma eternidade para escrever todos os cenários. Na verdade, teria que escrever 1.024 cenários. Portanto, fazer o exercício para dez jogadas teria tomado todo o nosso tempo; mas, quando pensa diferente, é levado a ter a probabilidade de "obter pelo menos uma cara em dez jogadas", que é igual a probabilidade de "não ter só coroas"; e isso é 1 menos a probabilidade de "só obter coroas", o que é bastante fácil de pensar. Espero que tenha curtido!

Como calcular a probabilidade da moeda?

Qual a probabilidade de ao jogar uma moeda?

Qual é a probabilidade de uma moeda cair em pé?

Qual a probabilidade de uma moeda dar cara 3 vezes?