Quais são os números que são primos?

Números primos são os números naturais maiores que um que não são produtos de dois números naturais menores

Número primo é qualquer número cujo conjunto dos divisores não inversíveis não é vazio, e todos os seus elementos são produtos de por números inteiros inversíveis. De acordo com esta definição, e não são números primos. Um número inteiro primo é aquele que tem somente quatro divisores distintos, e Já um número natural primo tem unicamente dois divisores naturais distintos: o número um e ele mesmo.

Uma das questões pesquisadas sobre os números primos é de como eles se distribuem nos naturais, com que frequência isso ocorre e qual a distância que existe entre eles. Por exemplo, existem vários pares de números primos que se diferem em duas unidades: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109). Pares de números primos com essa propriedade são denominados de primos gêmeos. Ainda não se provou que existem ou não existem infinitos primos gêmeos.[1]

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo, se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto ( e também não são compostos). Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..[2] O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatorização).

Existem 168 números primos positivos menores do que 1000.[3] São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 (sequência A000040 na OEIS).

Exemplos de decomposições:

Para todo primo p seja p# o produto de todos os números primos q inferiores ou iguais a p. De acordo com a terminologia empregada por Dubner (1987), p# é chamado o primorial de p. Temos dois problemas em aberto sobre a noção de primorial:[4]

a) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja primo? b) Existe uma infinidade de números primos p tais que p# + 1 seja composto?

O que se sabe:

• O maior número primo conhecido da forma p# + 1 é 392113# + 1, com 169966 algarismos, foi descoberto por D. Heuer et al. Em 2001.
• A lista completa dos números primos p < 632700 tais que p# + 1 seja primo é a seguinte: P = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439 e 392113.
• Caldwell e Gallot publicaram em 2002 a lista para p < 120000. O primo 145823# + 1 foi descoberto em 2000 por A.E. Anderson, D.E. Robinson et al. O primo 366439# + 1 foi descoberto em 2001 por D. Heuer et al.
• 15877# – 1 é o maior primo encontrado da forma p# – 1; tem 6845 algarismos e estava incluído na lista de Caldwell e Gallot de 2002.
• A lista dos números primos p < 650000 tais que p# – 1 é primo é a seguinte: 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033 e 15877.
• A lista para p < 120000 foi publicada em 2002 por Caldwell e Gallot, posteriormente nenhum outro primo p# – 1 foi descoberto.

Os átomos da aritmética[editar | editar código-fonte]

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de a Em seguida escolhia o primeiro primo, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Eratóstenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes. Observe a ilustração a seguir:

• 

  Crivo de Eratóstenes

Assim obtemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... A partir desse procedimento podemos simplificar a descobertas de primos usando o lema: Se um número natural n > 1 não é divisível por nenhum primo p tal que ≤ n, então ele é primo. (demonstrado adiante). Este lema fornece um teste de primalidade, pois, para verificar se um dado número n é primo, basta verificar que não é divisível por nenhum p que não supere

Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número era primo: calcule elevado a potência e divida-o por se o resto for então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular em um relógio com horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até mas falha para Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como

Teoremas sobre números primos[editar | editar código-fonte]

Existem vários teoremas e estudos sobre os números primos, desde resultados tratados na matemática elementar, até conjecturas que não foram provadas. Todos os teoremas desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Teorema 1: (Teorema Fundamental da Aritmética)[5] Todo número natural maior do que ou é primo ou se escreve de modo único (exceptuando a ordem dos fatores) como um produto de números primos.

Demonstração:

Tomemos a segunda forma do Princípio de Indução. Seja sabemos que ele é primo. Suponha o resultado válido para todo número natural menor que e vamos provar que vale para Observe que que se é primo, nada temos a provar. Sendo composto, existem números naturais e tais que com e Por hipótese de indução, existem primos e tais que e logo

Provaremos agora a unicidade da escrita. Suponha que onde os e são números primos. Como temos que para algum (provaremos mais adiante), que por conveniência, podemos supor que seja logo teremos então que (já que temos ). De forma análoga, podemos afirmar que como temos que para algum que por conveniência, podemos supor que seja assim teremos Como a hipótese de indução acarreta em que e os elementos e são iguais.

Teorema 2:[6]

Dado um número natural existem primos e naturais univocamente determinados, tais que

Demonstração:

Decorre do Teorema Fundamental da Aritmética, agrupando-se os primos repetidos e ordenando os primos em ordem crescente.

Teorema 3:[7]

Sejam … . … . e com tem-se que … . e … .

Demonstração:

Temos que … . é um divisor comum de e Seja um divisor comum de e logo … . onde ≤ e, portanto … . Do mesmo modo, prova-se o m.m.c.( Mínimo Múltiplo Comum).

Teorema 4:[8]

Existem infinitos números primos.

Demonstração:

Suponha que exista apenas um número finito de números primos Considere o número natural O número possui um fator primo que, portanto, deve ser um dos Mas isso implica que divide o que é absurdo.

Teorema 5: (Pequeno Teorema de Fermat)[9]

Dado um número primo tem-se que divide o número para todo .

Demonstração:

Vamos provar pelo Princípio da Indução Infinita. O resultado vale para já que Supondo valido para um natural iremos provar que é válido para o natural

– = – + + ... + O segundo membro da igualdade é divisível por (Lema 2), o resultado se segue.

Teorema 6: (Euclides-Euler)[10]

Um número natural é um número perfeito par se, e somente se, = (– ), onde – é um primo de Mersenne.

Demonstração:

Suponha que = (– ), onde é um primo de Mersenne. Logo e consequentemente, é par. Como é ímpar, temos que Pela Proposição 5, Corolário 2 e Lema 3, temos: Portanto, n é perfeito. (Denota-se por a soma de todos os divisores de ).

Reciprocamente, suponha que é perfeito e par. Seja a maior potência de que divide Logo, e com ímpar. Temos então que e, pela Proposição 5 e Corolário 2, segue-se que Como segue-se que

Temos então, que pois Logo, existe com tal que Substituindo, segue-se: portanto, Como e são dois divisores distintos de tais que Nesta situação, De fato, suponha por absurdo que Temos então que segue-se que contradição. Logo, concluímos que assim é primo. Temos então que com primo.

Teorema 7: (Legendre)[11]

Sejam n um número natural e p um número primo, Então + + + ⋯ . (Denotaremos pelo expoente de maior potência de que divide e por o quociente da divisão de a por b, na divisão euclidiana)

Demonstração:

A soma apresentada no teorema é finita, pois existe um números natural tal que para todo portanto se Vamos demonstrar o resultado por indução sobre A fórmula vale para Suponha que vale para um natural com Sabemos que os múltiplos de entre e são 2p, ..., p. Portanto, + Pela hipótese de indução temos que = + + + ... . O resultado decorre da Proposição 6.

Teorema 8:[12]

Sejam * com primo. Suponha que seja a representação p-ádica de Então =

Demonstração:

Sendo temos que ..., Portanto, = + + + ⋯ = = =

Teorema 9: Teorema de Vantieghems[13][14]

Exemplos:

1) Para n=7 temos o produto 1*3*7*15*31*63 = 615195.: 615195 = 7 mod 127.7 é primo.

2) Para n=9 temos o produto 1*3*7*15*31*63*127*255 = 19923090075.19923090075 = 301 mod 511.9 é composto.

Lemas sobre números primos[editar | editar código-fonte]

Todos os lemas desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Lema 1:[15]

Se um número natural não é divisível por nenhum primo tal que então ele é primo.

Demonstração:

Suponha, por absurdo, que não seja divisível por nenhum número tal que e que não seja primo. Seja o menor número primo que divide logo, com Desse modo temos o que mostra que é divisível pelo número primo tal que absurdo.

Lema 2: [9]

Seja um número primo. Os números onde são todos divisíveis por

Demonstração:

O resultado é válido para Suponha então, Neste caso, Como o concluímos que, e o resultado se segue, pois

Lema 3:[10]

Seja *, Tem-se que se, e somente se, é um número primo.

Demonstração:

Se segue-se que e que os únicos divisores de são e logo é primo. Reciprocamente, se é primo, pela Proposição 5, segue-se que

Corolários sobre números primos[editar | editar código-fonte]

Todos os corolários desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Corolário 1:[16]

Se é um número primo e se é um número natural não divisível por então divide

Demonstração:

Sabendo que (Pequeno Teorema de Fermat), então e como podemos concluir que

Corolário 2:[17]

A função é multiplicativa, isto é, se então

Demonstração:

Segue-se diretamente da demonstração da Proposição 5.

Proposições sobre números primos[editar | editar código-fonte]

Todos as proposições desta sessão tem como fonte o livro de HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

Proposição 1:[18]

Sejam *, com primo. Se então ou

Demonstração:

Se e então Mas se temos que

Proposição 2:[6]

Seja um número natural escrito decomposto em números primos. Se então onde para natural.

Demonstração:

Seja um divisor de e seja a potência de um primo presente na decomposição de em um produto de seus fatores primos. Sabendo que segue que divide algum por ser primo com os demais e, consequentemente, e

Proposição 3:[19]

Sejam e números naturais maiores do que Se é primo, então é par e com

Demonstração:

Suponha que seja primo, onde e Logo tem que ser par, pois caso contrário, seria par e maior do que dois, o que contraria o fato de ser primo. Se tivesse um divisor primo diferente de teríamos com *. Logo, concretizando o fato desse último número ser primo. Isto implica que é da forma

Proposição 4:[20]

Sejam e números naturais maiores que Se é primo, então e é primo.

Demonstração:

Suponha que seja primo, com e Suponha por absurdo, que Logo e e, portanto, não é primo, contradição. Consequentemente, Por outro lado, suponha, que não é primo. Temos com e Como divide segue que não é primo, contradição, logo é primo.

Proposição 5:[17]

Seja onde são números primos e *. Então,

Demonstração:

Considere a igualdade .. = onde o somatório do primeiro membro da igualdade é tomado por todas as k-uplas () ao variar cada no intervalo para Como tal somatório, pela Proposição 2, representa soma de todos os divisores de a fórmula resulta aplicando a fórmula da soma de uma progressão geométrica a cada soma do segundo membro da igualdade.

Proposição 6:[21]

Sejam e *, temos que (Denotaremos por o quociente da divisão de por na divisão euclidiana).

Demonstração:

Sejam e Logo, com e com Portanto, Como segue-se que é o quociente da divisão de por ou seja,

Teoria dos números[editar | editar código-fonte]

Sabe-se que, à medida que avançamos na sequência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?

SEGUNDO EUCLIDES[22]

Suponhamos que a sucessão dos números primos seja finita. Tomemos e seja p um número primo que divide O número não pode ser igual a nenhum dos números porque então mele dividiria a diferença o que é impossível, Assim é um número primo que não pertence à sucessão e, por consequência, não pode formar o conjunto de todos os números primos.

SEGUNDO KUMMER (uma variante da demonstração de Euclides)[23]

Suponha que exista um número finito de números primos seja O inteiro sendo o produto de fatores primos, teria então um fator primo que dividiria também então, dividiria o que é absurdo.

SEGUNDO HERMITE[24]

Para todo número natural existe um número primo Para isto basta escolher um número qualquer dividindo (teorema fundamental da aritmética). Se tivermos então divide como divide logo dividiria absurdo.

SEGUNDO GOLDBACH[24]

Suponha uma sucessão infinita de naturais primos entre si, dois a dois, nenhum deles tem fator primo em comum. Se é um fator primo de é um fator primo de é um fator primo de então são todos distintos. Os números de Fermat (para ) são, dois a dois, primos entre si. Por recorrência sobre demonstra-se que então, se divide Se existisse um número primo p que dividisse e dividiria portanto dividiria então O que é impossível porque é ímpar.

Dado um número natural qual é a proporção de números primos entre os números menores que

• A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:

= onde denota o produtório.

Grupos e sequências de números primos[editar | editar código-fonte]

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma tal como etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo:

, e são primos mas não é, pois

Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número é seguido de cento e onze[25] números compostos e não existem[26] primos entre os números e

Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo fornece primos quando [27][28] Veja que para x = 41, a fórmula resulta em que não é primo.

Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de de fato em 1752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de

Não se sabe se há uma expressão polinomial com que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se e não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

representa infinitos primos, quando e assumem valores positivos inteiros.

Fermat pensou que a fórmula forneceria números primos para Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por Os cinco primeiros números são:

sendo todos primos.

Aproximações para o n-ésimo primo[editar | editar código-fonte]

Como consequência do teorema do número primo, uma expressão assintótica para o n-ésimo primo é:

Uma aproximação melhor é:

[29]

O teorema de Rosser mostra que é maior que É possível melhorar esta aproximação com os limites[30][31]:

Maior número primo conhecido[editar | editar código-fonte]

Em Janeiro de 2013, foi divulgado o maior número primo já calculado até então. Tem 17.425.170 dígitos e, se fosse escrito por extenso, ocuparia 3,4 mil páginas impressas com cinco mil caracteres cada. É o número . Foi descoberto por Curtis Cooper, da Universidade Central do Missouri em Warrensburg, EUA, como parte do Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), um projeto internacional de computação compartilhada desenhado para encontrar números primos de Mersene.[32]

Em janeiro de 2016, um grupo de matemáticos da mesma universidade descobriu um número primo com 22.338.618 dígitos, que recebeu o nome "M74207281".[33] É o número que tem 5 milhões de dígitos a mais que o último conhecido.[34] O achado foi divulgado pelo programa GIMPS.

Em dezembro de 2017 um engenheiro eletrotécnico da empresa de entregas FedEx descobriu um número primo ainda maior: “M77232917”, como foi batizado, tem mais de 23 milhões de dígitos. O homem que o descobriu chama-se Jonathan Pace, tem 51 anos, é norte-americano e também participa do GIMPS.[35] Em dezembro de 2018 uma nova marca de maior número primo foi registrada, alcançando a quantidade de 24 milhões de dígitos.

Números primos e a natureza[editar | editar código-fonte]

• A estratégia evolutiva usada por cigarras do gênero "Magicicada" faz uso de números primos. Evolutivamente, à medida que algumas espécies foram alongando seus períodos de "hibernação", também os de seus predadores naturais foram se alongando. Foram favorecidas aquelas que só emergiam após número primo de anos (13, 17), pois isso reduz ao máximo as chances de encontrar seus predadores naturais.[36] Um exemplo para entender isso é: Imagine uma espécie de cigarra que vire ninfa a cada 2 anos, e uma outra a cada 4. Um predador natural de cigarras que fique hibernando 4 anos, quando sair de sua hibernação, terá como fonte de alimentação ambas espécies, aumentando a quantidade de comida disponível. Já com as cigarras que ficam hibernando um número primo de anos, seus predadores naturais terão que hibernar esse período de temp também, e terão menos opções de comida.

• Há uma espécie de bambu, "Phyllostachys bambusoides", que tem sua florada a cada 23 anos.[37] Cientistas acreditam que esse "número primo de tempo" para cada floração é um diferencial evolutivo dessa espécie frente as demais.

Números primos na Mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Começando com o trabalho de Hugh Montgomery e Freeman Dyson na década de 1970, matemáticos e físicos especularam que os zeros da função zeta Riemann estão conectados aos níveis de energia dos sistemas quânticos.[38][39] Os números primos também são significativos na ciência da informação quântica, graças a estruturas matemáticas como bases mutuamente imparciales e medidas de valor positivo de operadores positivos.[40][41]

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Crivo de Eratóstenes
• Números primos gêmeos
• Elemento Primo
• Elemento Irredutível
• Função de contagem de números primos
• Teorema do número primo
• Teste de primalidade
• Certificado de Primalidade
• Função total de fatores primos não repetidos
• coprimo
• Primorial
• Série dos inversos dos primos
• Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos
• Fator primo
• PrimeGrid
• Hipótese de Riemann sobre os números primos

Referências

1. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011 (pag. 90)
2. ↑ Euclides, Os Elementos, Livro IX, Proposição 20 [em linha]
3. ↑ «Números Primos». www.primos.mat.br. Consultado em 1 de julho de 2018
4. ↑ RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. (pag. 2 e 3)
5. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 83)
6. ↑ a b HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 84)
7. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 85)
8. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 88)
9. ↑ a b HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 92)
10. ↑ a b HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 102)
11. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 105)
12. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 107)
13. ↑ Kilford, L.J.P. (2004). «A generalization of a necessary and sufficient condition for primality due to Vantieghem». Int. J. Math. Math. Sci. (69-72): 3889-3892. Zbl 1126.11307. arXiv:math/0402128
    
    . An article with proof and generalizations
14. ↑ Vantieghem, E. (1991). «On a congruence only holding for primes». Indag. Math., New Ser. 2 (2): 253-255. Zbl 0734.11003
15. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 89)
16. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011. (pag 93)
17. ↑ a b HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 101)
18. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011. (pag. 83)
19. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 97)
20. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 98)
21. ↑ HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.(pag. 104)
22. ↑ RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 1)
23. ↑ RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 3)
24. ↑ a b RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.(pag 4)
25. ↑ Conforme cálculo feito pelo Wolfram Alpha.
26. ↑ Conforme cálculo feito pelo Wolfram Alpha.
27. ↑ Hua (2009), p. 176-177"
28. ↑ Ver lista dos valores, calculada pelo Wolfram Alpha
29. ↑ Ernest Cesàro (1894). «Sur une formule empirique de M. Pervouchine». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 119: 848–849 (em francês)
30. ↑ Eric Bach, Jeffrey Shallit (1996). Algorithmic Number Theory. 1. [S.l.]: MIT Press. p. 233. ISBN 0-262-02405-5
31. ↑ Pierre Dusart (1999). «The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k-1) for k>=2» (PDF). Mathematics of Computation. 68: 411–415
32. ↑ «World's largest prime number discovered -- all 17 million digits»
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Bibliografia[editar | editar código-fonte]

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• Marcus du Sautoy, Os mistérios dos números: Uma viagem pelos grandes enigmas da matemática (que até hoje ninguém foi capaz de resolver), Jorge Zahar Editor Ltda, 2013 ISBN 8-537-81099-1
• Luogeng Hua, Additive theory of prime numbers, American Mathematical Soc. ISBN 0-821-89750-0 (em inglês)
• Mary Jane Sterling, Álgebra I Para Leigos, Alta Books Editora, 2013 ISBN 8-576-08256-X
• Edward S. Wall, Teoria dos Números para Professores do Ensino Fundamental, McGraw Hill Brasil, 2014 ISBN 8-580-55353-9
• PAULO BOUHID, NÚMEROS CRUZADOS, biblioteca24horas ISBN 8-578-93055-X
• LAURA LEMAY, ROGERS CADENHEAD, APRENDA EM 21 DIAS JAVA 2 - TRADUÇÃO DA 4a ED. Elsevier Brasil ISBN 8-535-21685-5
• HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.
• RIBENBOIM, Paulo. Números Primos. Velhos mistérios e novos recordes. 1ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
• SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução à teoria dos Números. 3ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.
• LOVÁSZ, L. PELIKÁN, J. e VESZTERGOMBI, K. Matemática Discreta. 1ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010.
• http://paginapessoal.utfpr.edu.br/rwprobst/formacao-academica/curriculo/primos.pdf

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

• Primos de Mersenne de maneira didática
• Prime curiosat the prime pages
• The prime pages
• MacTutor history of prime numbers
• The "PRIMES is in P" FAQ
• Lista dos maiores números provavelmente primos
• The prime puzzles
• Uma tradução para o inglês da demonstração de Euclides da infinitude dos primos
• Primesfrom WIMS is an online prime generator.
• Prime Spiral pattern
• 12 digit primesKnown 12-digit prime factors of Googolplex - 1
• An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
• Primos de Mersenne - Os maiores primos já encontrados

• 
  Portal da matemática

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Como saber se um número é primo ou não?