Verifique se os pontos A(0, 4), B(–6, 2) e C(8, 10) estão alinhados.
Determine o valor de y de maneira que os pontos P(1, 3), Q(3, 4) e R(y, 2) sejam os vértices de um triângulo qualquer.
(PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os pontos A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(–1, 6) são colineares.
(UFMG) Determine o valor de m para que os pontos A(2m+1, 2), B(–6, –5) e C(0, 1) sejam colineares.
Diagonal principal
0 * 2 * 1 = 0
4 * 1 * 8 = 32
1 * (–6) * 10 = –60
32 + (– 60)
32 – 60
–28
Diagonal secundária
4 * (–6) * 1 = –24
0 * 1 * 10 = 0
1 * 2 * 8 = 16
–24 +
16
–8
Determinante
–28 – (–8)
–28 + 8
– 20
Temos que o determinante é diferente de zero. Dessa forma, os pontos não estão alinhados.
Para que os pontos P, Q e R sejam os vértices de um triângulo qualquer, eles não podem estar alinhados. Dessa forma, o valor do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos dados deverá ser diferente de zero.
Diagonal principal
1 * 4 * 1 = 4
3 * 1 * y = 3y
1 * 3 * 2 = 6
Diagonal secundária
1 * 4 * y = 4y
1 * 1 * 2 = 2
3 * 3 * 1 = 9
4 + 3y + 6 – (4y + 2 + 9) ≠ 0
4 + 3y + 6 – 4y – 2 – 9 ≠ 0
3y – 4y + 4 + 6 – 2 – 9 ≠ 0
–y + 10 – 11 ≠ 0
–y ≠
11 – 10
–y ≠ 1
y ≠ –1
Temos que valor de y que torna o problema verdadeiro corresponde a –1.
O valor de t corresponde a 3/5.
Diagonal principal
(2m+1) * (–5) * 1 = –10m – 5
2 * 1 * 0 = 0
1 * (–6) * 1 = –6
Diagonal secundária
1 * (–5) * 0 = 0
(2m + 1) * 1 * 1 = 2m + 1
2 * (–6) * 1 = –12
–10m – 5 – 6 – (2m + 1 – 12) = 0
–10m – 5 – 6 – 2m – 1 + 12 = 0
– 12m – 12 + 12 = 0
–12m = 0
m = 0
Para que os pontos sejam colineares, o valor de m deve ser igual a 0.
Três pontos não alinhados em um plano cartesiano formam um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). A sua área poderá ser calculada da seguinte forma:
A = 1/2 . |D|, ou seja, |D| / 2, considerando D = .
Para que exista a área do triângulo esse determinante deverá ser diferente de zero. Caso seja igual a zero os três pontos, que eram os vértices do triângulo, só poderão estar alinhados.
Portanto, podemos concluir que três pontos distintos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) estarão alinhados se o determinante correspondente a eles for igual a zero.
Exemplo:
Verifique se os pontos
A(0,5), B(1,3) e C(2,1) são ou não colineares (são alinhados).
O determinante referente a esses pontos é
= 10 + 1 – 6 – 5 = 9 – 6 – 5 = 5 – 5 = 0
Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados.
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Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
RAMOS, Danielle de Miranda. "Condição de alinhamento de três pontos utilizando determinantes"; Brasil Escola. Disponível em: //brasilescola.uol.com.br/matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos-utilizando-determinantes.htm. Acesso em 03 de janeiro de 2023.
De estudante para estudante
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Considere três pontos distintos do plano cartesiano A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc). Esses pontos estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero. Ou seja:
Exemplo 1. Verifique se os pontos A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5) estão alinhados.
Solução: devemos fazer
o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C e verificar se o resultado é igual a zero.
Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em um valor diferente de zero, podemos concluir que os pontos A, B e C não estão alinhados.
Exemplo 2. Determine o valor de c para que os pontos A(4, 2), B(2, 3) e C(0, c) estejam
alinhados.
Solução: para que os pontos A, B e C estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:
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Fazendo o cálculo do determinante obtemos:
12 + 0 + 2c – 4 – 4c – 0 = 0
ou
8 – 2c = 0
2c = 8
c = 4.
Exemplo 3. Para quais valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 – k, 2) são colineares?
Solução: dizer que os pontos são colineares é o mesmo que dizer que eles estão alinhados. Dessa forma, devemos fazer o cálculo do determinante e igualá-lo a zero.
Desenvolvendo o determinante, obtemos:
– k2 + 3k + 10 = 0
ou
k2 – 3k – 10 = 0
Resolvendo a equação acima, obtemos:
k = 5 ou k = – 2
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